2020高考数学(理科)二轮复习_课时跟踪检测28_不等式选讲_含答案

课时跟踪检测（二十八）不等式选讲1．(2018·广州模拟)已知定义在R 上的函数f ()＝|－m |＋||，m ∈N *，存在实数使f ()<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α≥1，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β≥3.解：(1)因为|－m |＋||≥|(－m )－|＝|m |. 所以要使不等式|－m |＋||<2有解，则|m |<2， 解得－2<m <2.因为m ∈N *，所以m ＝1. (2)证明：因为α≥1，β≥1， 所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4， 即α＋β＝3，所以4α＋1β＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)＝13⎝⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ＝3.当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立，故4α＋1β≥3.2．(2018·唐山模拟)设f ()＝||＋2|－a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f ()≤4； (2)若f ()≥4，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f ()＝||＋2|－1|＝⎩⎨⎧2－3x ，x <0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x >1.当<0时，由2－3≤4，得－23≤<0；当0≤≤1时，由2－≤4，得0≤≤1； 当>1时，由3－2≤4，得1<≤2.综上，不等式f ()≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2.(2)f ()＝||＋2|－a |＝⎩⎨⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .可见，f ()在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当＝a 时，f ()取得最小值a . 若f ()≥4恒成立，则应a ≥4. 所以a 的取值范围为[4，＋∞)．3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f ()＝|2＋1|＋|－1|. (1)画出y ＝f ()的图象；(2)当∈[0，＋∞)时，f ()≤a ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f ()的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f ()的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f ()≤a ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.4．(2018·开封模拟)已知函数f ()＝|－m |，m <0. (1)当m ＝－1时，求解不等式f ()＋f (－)≥2－； (2)若不等式f ()＋f (2)<1的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)设F ()＝f ()＋f (－)＝|－1|＋|＋1|＝⎩⎨⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，G x 2－x ，2x ，x ≥1，由F ()≥G ()解得{|≤－2或≥0}． (2)f ()＋f (2)＝|－m |＋|2－m |，m <0. 设g ()＝f ()＋f (2)，当≤m 时，g ()＝m －＋m －2＝2m －3，则g ()≥－m ； 当m <<m2时，g ()＝－m ＋m －2＝－，则－m 2<g ()<－m ；当≥m2时，g ()＝－m ＋2－m ＝3－2m ，则g ()≥－m2.则g ()的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m2，＋∞，不等式f ()＋f (2)<1的解集非空， 即1>－m2，解得m >－2， 由于m <0，则m 的取值范围是(－2,0)．5．(2018·昆明模拟)设函数f ()＝|－a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a (a ≠0，a ∈R)．(1)当a ＝1时，解不等式f ()≤5；(2)记f ()的最小值为g (a )，求g (a )的最小值． 解：(1)当a ＝1时，f ()＝|－1|＋|＋2|，故f ()＝⎩⎨⎧2x ＋1，x >1，3，－2≤x ≤1，－2x －1，x <－2.①当>1时，由2＋1≤5，得≤2，故1<≤2； ②当－2≤≤1时，由3≤5，得∈R ，故－2≤≤1； ③当<－2时，由－2－1≤5，得≥－3，故－3≤<－2.综上，不等式的解集为[－3,2]． (2)f ()＝|－a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ⎝⎛⎭⎪⎫x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ≤0时等号成立，所以g (a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≥2|a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ＝22，当且仅当|a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ，即a ＝±2时等号成立， 所以g (a )min ＝2 2.6．(2018·陕西模拟)已知函数f ()＝|2－1|＋|＋1|. (1)解不等式f ()≤3；(2)记函数g ()＝f ()＋|＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，于是f ()≤3⇔⎩⎨⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎨⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎨⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤≤1.故不等式f ()≤3的解集为{|－1≤≤1}．(2)证明：g ()＝f ()＋|＋1|＝|2－1|＋|2＋2|≥|2－1－2－2|＝3， 当且仅当(2－1)(2＋2)≤0时取等号， ∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3t≥0，t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t＝t －3t 2＋1t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴t －3t 2＋1t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .7．(2018·福州模拟)设函数f ()＝|－1|. (1)求不等式f ()≤3－f (－1)的解集；(2)已知关于的不等式f ()≤f (＋1)－|－a |的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f ()≤3－f (－1)， 所以|－1|≤3－|－2|， 即|－1|＋|－2|≤3，则⎩⎨⎧ x <1，3－2x ≤3或⎩⎨⎧ 1≤x ≤2，1≤3或⎩⎨⎧x >2，2x －3≤3，解得0≤<1或1≤≤2或2<≤3， 所以0≤≤3，故不等式f ()≤3－f (－1)的解集为[0,3]．(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，所以当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f ()≤f (＋1)－|－a |恒成立，而f ()≤f (＋1)－|－a |⇔|－1|－||＋|－a |≤0⇔|－a |≤||－|－1|，因为∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以|－a |≤1，即－1≤a ≤＋1，由题意，知－1≤a ≤＋1对于∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.8．(2018·郑州模拟)已知f ()＝|2－1|＋|a －5|(0<a <5)．(1)当a ＝1时，求不等式f ()≥9的解集； (2)若函数y ＝f ()的最小值为4，求实数a 的值．解：(1)当a ＝1时，f ()＝|2－1|＋|－5|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x <12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，∴f ()≥9⇔⎩⎨⎧x <12，6－3x ≥9或⎩⎨⎧12≤x <5，x ＋4≥9或⎩⎨⎧x ≥5，3x －6≥9.解得≤－1或≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)． (2)∵0<a <5，∴5a>1，则f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x ＋6，x <12，2－a x ＋4，12≤x ≤5a ，a ＋2x －6，x >5a.∵当<12时，f ()单调递减，当>5a时，f ()单调递增，∴f ()的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得，∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f ()单调递增，当2<a ≤5时，f ()单调递减，∴⎩⎨⎧0<a ≤2，f x min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎨⎧2<a ≤5，f x min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a ＝2.。

教学资料范本【2020最新】数学高考（理）二轮专题复习检测：第一部分专题一集合、常用逻辑用语、不等式1Word版含答案编辑：__________________时间：__________________(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1,或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}2.(20xx浙江镇海中学5月模拟)设集合A={x|x<-2,或x>1,x∈R},B={x|x<0,或x>2,x∈R},则(∁RA)∩B是( )A.(-2,0)B.(-2,0]C.[-2,0)D.R3.原命题为“若<an,n∈N*,则数列{an}是递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假4.“直线l与平面α内的两条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知α,β∈(0,π),则“sin α+sin β<”是“sin(α+β)<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},则集合A×B中属于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素个数是( )B.4A.3D.9C.87.(20xx浙江“超级全能生”8月联考)设A,B是有限集合,定义:d(A,B)=,其中card(A)表示有限集合A中的元素个数,则下列不一定正确的是( )A.d(A,B)≥card(A∩B)B.d(A,B)=C.d(A,B)≤D.d(A,B)=[card(A)+card(B)+| card(A)-card(B)|]8.已知集合A={x∈R|x2-2x-3<0},B={x∈R|-1<x<m},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数m的取值范围为( )A.(3,+∞)B.(-1,3)C.[3,+∞)D.(-1,3]二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知集合A={3,m2},B={-1,3,2m-1}.若A⊆B,则实数m的值为.10.已知集合A={x|(x-2)(x+5)<0},B={x|x2-2x-3≥0},全集U=R,则A∩B=,A∪(∁UB)= .11.设全集U=R,集合A={x|x(x-2)<0},B={x|x<a},若A与B的关系如图所示,则实数a的取值范围是.12.设集合P={t|数列{n2+tn(n∈N*)}单调递增},集合Q={t|函数f(x)=kx2+tx在区间[1,+∞)上单调递增},若“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要条件,则实数k的最小值为.13.给出下列四个命题:①在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B;②若0<a<1,则函数f(x)=x2+ax-3只有一个零点;③函数y=2sin xcos x在上是单调递减函数;④若lg a+lg b=lg(a+b),则a+b的最小值为4.其中真命题的序号是.14.若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:①X属于τ,空集⌀属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ:①τ={⌀,{a},{c},{a,b,c}};②τ={⌀,{b},{c},{b,c},{a,b,c}};③τ={⌀,{a},{a,b},{a,c}};④τ={⌀,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分15分)已知集合A={x|2<x<7},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁RA)∩B;(2)若C⊆B,求实数a的取值范围.16.(本小题满分15分)已知p:-x2+16x-60>0,q:> 0,r:关于x的不等式x2-3ax+2a2<0(x∈R).(1)当a>0时,是否存在a使得r是p的充分不必要条件?(2)若r是p的必要不充分条件,且r是q的充分不必要条件,试求a的取值范围.参考答案专题能力训练1 集合与常用逻辑用语1.A 解析A∩B={x|-2<x<-1}.故选A.2.C 解析∵集合A={x|x<-2或x>1,x∈R},∴∁RA={x|-2≤x≤1}.∵集合B={x|x<0或x>2,x∈R},∴(∁RA)∩B={x|-2≤x<0}=[-2,0).故选C.3.A 解析由<an,得an+an+1<2an,即an+1<an.所以当<an时,必有an+1<an,则数列{an}是递减数列.反之,若数列{an}是递减数列,必有an+1<an,从而有<an.所以原命题及其逆命题均是真命题,从而其否命题及其逆否命题也均是真命题.4.B 解析根据线面垂直的判定:l与α内的两条相交直线垂直⇔l⊥α,故是必要不充分条件,应选B.5.A解析当α=β=时,sin α=sin β=1,sin α+sin β=2,sin(α+β)=0<,所以后不能推前,又sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β<sin α+sin β,所以前推后成立.故选A.6.B解析由给出的定义得A×B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2 ),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}.其中log22=1,log24=2,log28=3,log44=1,因此一共有4个元素,应选B.7.C 解析∵card(A∪B)≥card(A∩B),∴d(A,B)≥card(A∩B),选项A正确;∵d(A,B)===,∴选项B正确;∵d(A,B)=,∴选项C错误;又|card(A)-card(B)|≥0,∴d(A,B)≤[card(A)+card(B)+|card(A)-card(B)|],选项D正确.故选C.8.A 解析A={x∈R|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},∵x∈A是x∈B 的充分不必要条件,∴A⫋B,∴m>3.故选A.9.1 解析∵A⊆B,∴m2=2m-1或m2=-1(舍).由m2=2m-1得m=1.经检验m=1时符合题意.10.{x|-5<x≤-1} {x|-5<x<3} 解析由题意知集合A={x|(x-2)(x+5)<0}={x|-5<x<2},B={x|x2-2x-3≥0}={x|x≥3或x≤-1},所以∁UB={x|-1<x<3},A∩B={x|-5<x≤-1},A∪(∁UB)={x|-5<x<3}.11.a≥2解析因为A={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},又Venn图表达的集合关系是A⊆B,B={x|x<a},所以a≥2.12. 解析因为数列{n2+tn(n∈N*)}单调递增,所以(n+1)2+t(n+1)>n2+tn,可得t>-2n-1,又n∈N*,所以t>-3.因为函数f(x)=kx2+tx在区间[1,+∞)上单调递增,所以其图象的对称轴x=-≤1,且k>0,所以t≥-2k,又“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要条件,所以-2k≤-3,即k≥.故实数k的最小值为.13.①④解析在△ABC中,A>B⇒a>b⇒2Rsin A>2Rsin B⇒sinA>sin B,故①为真命题.在同一直角坐标系内作出函数y1=3-x2,y2=ax(0<a<1)的图象如图所示.由图知两函数图象有两个交点,故②为假命题.由y=2sin xcos x=sin 2x,又x∈时,2x∈,可知y=2sin xcos x 在上是增函数,因此③为假命题.④中由lg a+lg b=lg(a+b)知ab=a+b,且a>0,b>0.又ab≤,所以令a+b=t(t>0),则4t≤t2,即t≥4,因此④为真命题.14.②④解析①τ={⌀,{a},{c},{a,b,c}},但是{a}∪{c}={a,c}∉τ,所以①错;②④都满足集合X上的一个拓扑的集合τ的三个条件,所以②④正确;③{a,b}∪{a, c}={a,c,b}∉τ,故错.所以答案为②④.15.解(1)A∪B={x|2<x<10},∁RA={x|x≤2或x≥7},(∁RA)∩B={x|7≤x<10}.(2)①当C=⌀时,满足C⊆B,此时5-a≥a,得a≤;②当C≠⌀时,若C⊆B,则解得<a≤3.故由①②得实数a的取值范围是a≤3.16.解 (1)由-x2+16x-60>0,解得6<x<10,当a>0时,由x2-3ax+2a2<0,解得a<x<2a.若r是p的充分不必要条件,则(a,2a)⊆(6,10)且两集合不相等,则a无解,不存在.(2)由-x2+16x-60>0,解得6<x<10,由>0,解得x>1.当a>0时,由x2-3ax+2a2<0,解得a<x<2a.若r是p的必要不充分条件,则(6,10)⊆(a,2a),此时5≤a≤6.①若r是q的充分不必要条件,则(a,2a)⊆(1,+∞),此时a≥1.②由①②得5≤a≤6.当a<0时,由x2-3ax+2a2<0,解得2a<x<a<0,而若r是p的必要不充分条件,(6,10)⊆(a,2a)不成立,(a,2a)⊆(1,+∞)也不成立,不存在a值.当a=0时,由x2-3ax+2a2<0,解得r为⌀,(6,10)⊆⌀不成立,不存在a值.综上,5≤a≤6为所求.。

课时跟踪检测（二十八）不等式选讲1．(2018·广州模拟)已知定义在R 上的函数f ()＝|－m |＋||，m ∈N *，存在实数使f ()<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α≥1，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β≥3.解：(1)因为|－m |＋||≥|(－m )－|＝|m |. 所以要使不等式|－m |＋||<2有解，则|m |<2， 解得－2<m <2.因为m ∈N *，所以m ＝1. (2)证明：因为α≥1，β≥1， 所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4， 即α＋β＝3，所以4α＋1β＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)＝13⎝⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ＝3.当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立，故4α＋1β≥3.2．(2018·唐山模拟)设f ()＝||＋2|－a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f ()≤4； (2)若f ()≥4，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f ()＝||＋2|－1|＝⎩⎨⎧2－3x ，x <0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x >1.当<0时，由2－3≤4，得－23≤<0；当0≤≤1时，由2－≤4，得0≤≤1； 当>1时，由3－2≤4，得1<≤2.综上，不等式f ()≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2.(2)f ()＝||＋2|－a |＝⎩⎨⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .可见，f ()在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当＝a 时，f ()取得最小值a . 若f ()≥4恒成立，则应a ≥4. 所以a 的取值范围为[4，＋∞)．3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f ()＝|2＋1|＋|－1|. (1)画出y ＝f ()的图象；(2)当∈[0，＋∞)时，f ()≤a ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f ()的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f ()的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f ()≤a ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.4．(2018·开封模拟)已知函数f ()＝|－m |，m <0. (1)当m ＝－1时，求解不等式f ()＋f (－)≥2－； (2)若不等式f ()＋f (2)<1的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)设F ()＝f ()＋f (－)＝|－1|＋|＋1|＝⎩⎨⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，G x 2－x ，2x ，x ≥1，由F ()≥G ()解得{|≤－2或≥0}． (2)f ()＋f (2)＝|－m |＋|2－m |，m <0. 设g ()＝f ()＋f (2)，当≤m 时，g ()＝m －＋m －2＝2m －3，则g ()≥－m ； 当m <<m2时，g ()＝－m ＋m －2＝－，则－m 2<g ()<－m ；当≥m2时，g ()＝－m ＋2－m ＝3－2m ，则g ()≥－m2.则g ()的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m 2，＋∞，不等式f ()＋f (2)<1的解集非空， 即1>－m2，解得m >－2， 由于m <0，则m 的取值范围是(－2,0)．5．(2018·昆明模拟)设函数f ()＝|－a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a (a ≠0，a ∈R)．(1)当a ＝1时，解不等式f ()≤5；(2)记f ()的最小值为g (a )，求g (a )的最小值． 解：(1)当a ＝1时，f ()＝|－1|＋|＋2|，故f ()＝⎩⎨⎧2x ＋1，x >1，3，－2≤x ≤1，－2x －1，x <－2.①当>1时，由2＋1≤5，得≤2，故1<≤2； ②当－2≤≤1时，由3≤5，得∈R ，故－2≤≤1； ③当<－2时，由－2－1≤5，得≥－3，故－3≤<－2. 综上，不等式的解集为[－3,2]． (2)f ()＝|－a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ⎝⎛⎭⎪⎫x －a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a≤0时等号成立，所以g (a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≥2|a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ＝22，当且仅当|a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ，即a ＝±2时等号成立， 所以g (a )min ＝2 2.6．(2018·陕西模拟)已知函数f ()＝|2－1|＋|＋1|. (1)解不等式f ()≤3；(2)记函数g ()＝f ()＋|＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，于是f ()≤3⇔⎩⎨⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎨⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎨⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤≤1.故不等式f ()≤3的解集为{|－1≤≤1}．(2)证明：g ()＝f ()＋|＋1|＝|2－1|＋|2＋2|≥|2－1－2－2|＝3， 当且仅当(2－1)(2＋2)≤0时取等号， ∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3t≥0，t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t＝t －3t 2＋1t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴t －3t 2＋1t≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .7．(2018·福州模拟)设函数f ()＝|－1|. (1)求不等式f ()≤3－f (－1)的解集；(2)已知关于的不等式f ()≤f (＋1)－|－a |的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f ()≤3－f (－1)， 所以|－1|≤3－|－2|， 即|－1|＋|－2|≤3，则⎩⎨⎧ x <1，3－2x ≤3或⎩⎨⎧ 1≤x ≤2，1≤3或⎩⎨⎧x >2，2x －3≤3，解得0≤<1或1≤≤2或2<≤3， 所以0≤≤3，故不等式f ()≤3－f (－1)的解集为[0,3]．(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，所以当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f ()≤f (＋1)－|－a |恒成立，而f ()≤f (＋1)－|－a |⇔|－1|－||＋|－a |≤0⇔|－a |≤||－|－1|，因为∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以|－a |≤1，即－1≤a ≤＋1，由题意，知－1≤a ≤＋1对于∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.8．(2018·郑州模拟)已知f ()＝|2－1|＋|a －5|(0<a <5)． (1)当a ＝1时，求不等式f ()≥9的解集； (2)若函数y ＝f ()的最小值为4，求实数a 的值．解：(1)当a ＝1时，f ()＝|2－1|＋|－5|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x <12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，∴f ()≥9⇔⎩⎨⎧x <12，6－3x ≥9或⎩⎨⎧12≤x <5，x ＋4≥9或⎩⎨⎧x ≥5，3x －6≥9.解得≤－1或≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)． (2)∵0<a <5，∴5a>1，则f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x ＋6，x <12，2－a x ＋4，12≤x ≤5a ，a ＋2x －6，x >5a.∵当<12时，f ()单调递减，当>5a时，f ()单调递增，∴f ()的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得，∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f ()单调递增，当2<a ≤5时，f ()单调递减，∴⎩⎨⎧0<a ≤2，f x min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎨⎧2<a ≤5，f x min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a ＝2.。

不等式[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练]一、选择题1．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.2．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.3．(2019·宁波北仑中学模拟)设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是( )A ．|a －b |≤|a －c |＋|b －c |B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC ．|a －b |＋1a －b≥2 D.a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a解析：选C 对于A ，由绝对值三角不等式的性质易得恒成立；对于B ，由a 2＋1a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝a 4－a 3－a ＋1a 2＝(a －1)2(a 2＋a ＋1)a 2≥0，得a 2＋1a 2≥a ＋1a，B 恒成立；对于C ，取a ＝2，b ＝3，则不满足选项中的不等式，C 不恒成立；对于D ，因为a ＋3＞a ＋2＞a ＋1＞a ，所以a ＋3＋a ＋1＞a ＋2＋a ，则2a ＋3＋a ＋1＜2a ＋2＋a ，即2(a ＋3－a ＋1)(a ＋3＋a ＋1)(a ＋3－a ＋1)＜2(a ＋2－a )(a ＋2＋a )(a ＋2－a )，即a ＋3－a ＋1＜a ＋2－a ，D 恒成立，故选C.4．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋4y 的取值范围是( )A ．[－6,4]B ．[2,4]C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易得当目标函数 z ＝x ＋4y 经过平面区域内的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13时，z ＝x＋4y 取得最小值，z min ＝23＋4×13＝2，因为目标函数向右平移可取得无限大，所以 z ＝x ＋4y 的取值范围为[2，＋∞)，故选C.5．关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋3＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝3，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)解析：选C 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．若平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝3，则说明直线x －2y ＝3与区域有交点，即点A (－m ，m )位于直线x －2y ＝3的下方即可，则点A 在区域x －2y －3＞0内，即－m －2m －3＞0，得m ＜－1，即实数m 的取值范围是(－∞，－1)，故选C.6．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y ≤1，y ≥mx (m ∈R )所表示的区域面积为S .若S ≤1，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[－2,0]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 如图，当x ＋y ＝1与y ＝mx 交点为(－1,2)时，不等式组所表示的区域面积为1，此时m ＝－2，若S ≤1，则m ≤－2，故选A.7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2×a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.8．已知函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2－x (a >0，b >0)在x ＝1处取得极小值，则1a ＋4b 的最小值为( )A ．4B ．5C ．9D ．10解析：选C 由f (x )＝13ax 3＋12bx 2－x (a >0，b >0)，得f ′(x )＝ax 2＋bx －1，则f ′(1)＝a＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，故选C. 9．若a ＞0，b ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a ＋b ，x ·y ＞a ·b是⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，y ＞b的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由a ＞0，b ＞0，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，y ＞b ，则根据不等式的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a ＋b ，xy ＞ab ，但反之不成立，取x ＝1，y ＝5，a ＝b ＝2，满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a ＋b ，xy ＞ab ，但不能得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，y ＞b ，故选B.10．(2019·稽阳联谊学校联考)下列结论正确的是( )A ．log2 0172 018＜log2 0182 019＜2 0192 018B ．log2 0182 019＜log2 0172 018＜2 0192 018C.2 0192 018＜log2 0182 019＜log2 0172 018 D.2 0192 018＜log2 0172 018＜log2 0182 019 解析：选B 因为log n ＋1(n ＋2)－log n (n ＋1) ＝ln (n ＋2)ln (n ＋1)－ln (n ＋1)ln n ＝ln n ln (n ＋2)－ln 2(n ＋1)ln n ln (n ＋1)<⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln n ＋ln (n ＋2)22－ln 2(n ＋1)ln n ln (n ＋1)＝[ln n (n ＋2)＋ln (n ＋1)][ln n (n ＋2)－ln (n ＋1)]ln n ln (n ＋1)，又因为当n ∈N *时，n (n ＋2)＜n ＋1，所以ln n (n ＋2)－ln(n ＋1)＜0， 则log n ＋1(n ＋2)－log n (n ＋1)＜0， log n ＋1(n ＋2)＜log n (n ＋1)，当n ＝2 017时，log2 0182 019＜log2 0172 018； 2 0192 018－log 2 0172 018＝2 0192 018－ln 2 018ln 2 017 ＝2 019ln 2 017－2 018ln 2 0182 018ln 2 017＝ln 2 017＋2 018ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172 0182 018ln 2 017＞0，所以2 0192 018＞log2 0172 018，综上所述，故选B.二、填空题11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是________．解析：由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________________．解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：(－3,1)∪(3，＋∞)13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y ≥1，x ＋3y －3≤0，则由不等式组确定的可行域的面积为________，z ＝2x －y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，所以可行域的面积为1，因为目标函数z ＝2x －y 的斜率为2，所以过点A (3,0)时取到最大值6.答案：1 614．已知x >3y >0或x <3y <0，则(x －2y )2＋4y (x －3y )的最小值是________．解析：(x －2y )2＋4y (x －3y )≥(x －2y )2＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋(x －3y )22＝(x －2y )2＋16(x －2y )2≥8，当4y ＝x ，x －2y ＝±2时取等号．答案：815．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝yx ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：116．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________．解析：由题知，xy ＋5x ＋4y ＝(xy ＋2x ＋3y )＋3x ＋y ＝42＋3x ＋y ， 而(x ＋3)(y ＋2)＝48，因此144＝(3x ＋9)(y ＋2)≤⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋y ＋1122，因此3x ＋y ≥13，当且仅当3x ＋9＝y ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝10时取等号．故xy ＋5x ＋4y ＝42＋3x ＋y ≥55，则xy ＋5x ＋4y的最小值为55.答案：5517．若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)(a ≠0)恒成立，则实数x 的取值范围是________．解析：不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)(a ≠0)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min.因为|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，当且仅当(2a ＋b )(2a －b )≥0，即2|a |≥|b |时等号成立，所以|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4，所以|2＋x |＋|2－x |≤4，解得－2≤x ≤2.故实数x 的取值范围为[－2，2]．答案：[－2,2][B 级——能力小题保分练]1．(2019·台州高三调研)已知a ，b ∈R ，则“a ＞b ＋1”是“|a |＞b ＋1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由|a |＞b ＋1得a ＞b ＋1或a ＜－b －1，所以“a ＞b ＋1”是“|a |＞b ＋1”的充分不必要条件，故选A.2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．∵a >0，b >0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6， ∴2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋2b )×13＝53＋2b 3a ＋2a 3b ≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，∴1a ＋2b 的最小值为3.故选B.3．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2B.6－2 C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ca －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2当且仅当t ＝62时等号成立，当t ＝0时，b2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.4．(2019·名校预测冲刺卷(二))已知a ，b ，c ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则a 2＋2b 2＋c 2ab ＋bc 的取值范围是________．解析：a 2＋2b 2＋c 2ab ＋bc ＝a 2＋b 2＋b 2＋c 2ab ＋bc ≥2ab ＋2bcab ＋bc ＝2，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．由a ，b ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，得a b ＋b a ≤52，即a 2＋b 2≤52ab .同理b 2＋c 2≤52bc ，故a 2＋2b 2＋c 2≤52ab ＋52bc ，可得a 2＋2b 2＋c 2ab ＋bc ≤52.所以a 2＋2b 2＋c 2ab ＋bc 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 5．过P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P 关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，|PA |＋|AB |＝|P 1B |，过点P 1作直线x ＋y －2＝0的垂线，则|PA |＋|AB |＝|P 1B |的最小值为|－1－1－2|2＝2 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x ＋y －9＝0得B 0(2,3)，则|PA |＋|AB |＝|P 1B |的最大值为|P 1B 0|＝(2＋1)2＋(3＋1)2＝5.故22≤|PA |＋|AB |≤5. 答案：[22，5]6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －3y ＋5≥0，x ＋my －1≤0，且目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为15，则实数m ＝________；设min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则z ＝min{x ＋y ＋2,2x ＋y }的取值范围是________．解析：因为直线x ＋y －3＝0与x －3y ＋5＝0交于点A (1，2)，而直线x ＋my －1＝0过点(1,0)，则当m >0时，不等式组不能构成可行域．当m ＝0时，可行域为点A (1,2)，不符合题意．当－1m >13，即－3<m <0时，不等式组构成的可行域是以A (1,2)，B ⎝⎛⎭⎪⎫3m －1m －1，－2m －1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5m m ＋3，6m ＋3为顶点的三角形区域(含边界)，过点C 时，目标函数z ＝3x ＋y 有最大值15－15m m ＋3，由15－15mm ＋3＝15，得m ＝－1.当0<－1m ≤13，即m ≤－3时，不等式组构成的可行域是一个开放区域，此时，目标函数z ＝3x ＋y 没有最大值．综合得m ＝－1.此时，可行域是以A (1,2)，B (2,1)，C (4,3)为顶点的三角形区域(含边界)．而z ＝min{x ＋y ＋2,2x ＋y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2，x ≥2，2x ＋y ，x <2，直线x ＝2把可行域分成以A (1,2)，B (2,1)，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，73为顶点的三角形区域，和以B (2,1)，C (4,3)，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，73为顶点的三角形区域．故只要求z ＝2x ＋y 在三角形ABD 区域上的范围，z ＝x ＋y ＋2在三角形BCD 区域上的范围即可．当平行直线系2x ＋y ＝z 在三角形ABD 区域内运动时，z ＝2x ＋y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，193.当平行直线系x ＋y ＋2＝z 在三角形BCD 区域内运动时，z ＝x ＋y ＋2∈[5,9]． 从而有z ＝min{x ＋y ＋2,2x ＋y }的取值范围是[4,9]． 答案：－1 [4,9]。