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三角函数中三角变换常用的方法和技巧1

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三角函数中三角变换常用的方法和技巧 一、角的变换 当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．

例1 函数ππ2sincos()36yxxxR的最小值等于（ ）．

（A）3 （B）2 （C）1 （D）5 解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ362xx，所以将函数()fx的表

达式转化为πππ()2coscoscos666fxxxx，故()fx的最小值为1．故选（C）． 评注：常见的角的变换有：()，2()()，

2()，22，3πππ()442，

ππ44





．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往

会发现角之间的关系． 例2、已知 ,,1411)cos(,71cos均是锐角，求cos。

解：。。）21734143571)1411(cos1435sin(,734sin.sin)sin(cos)cos(])cos[(cos 小结：本题根据问题的条件和结论进行])[(的变换。 例3、已知cos(91)2,sin(2-)=32,且,20,2求.2cos

分析：观察已知角和所求角，可作出)2()2(2的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。 解：.2757329543591)]2()2cos[(2cos,35(1)2cos(,954(1)2sin(.224,24,20,2)32)9122• 例4、已知),2sin(sinm求证： ).1(tan11)tan(mm

m

分析：由角的特点，因已知条件所含角是,,2所证等式含角,,所以以角为突破口。

证明：.tan11tan(1sin)cos()1(cos)sin()1(,sin)cos(cos)sin(sin)cos(cos)sin(],)sin[(])sin[(,)(,)(2mmmmmmmm）即 小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。

二、函数名称变换 三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．

例1、若sin（α+β）=12, sin （α—β）＝110，求tantan

解：由sin=（α+β）=12, s in （α—β）＝110得 1sincoscossin312sincos,cossin1105sincoscossin10

解得

－

∴tantan＝sincoscossin＝32 例2、当π04x时，函数22cos()cossinsinxfxxxx的最小值是（ ）． （A）4 （B）12 （C）2 （D）14 解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于sinx与cosx的齐二次式，所以，分子与分母同时除以2cosx转化为关于tanx的函数进行求解．因为π04x，所以

0tan1，所以2211()4tantan11tan24fxxxx≥．故选（A）．

评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法： （1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；

（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式sintancosxxx

将“弦函数”化为“切函数”进行解答． 例3、化简：000cos10(tan103)sin50

解：原式00000000000sin10cos10sin103cos10cos102cos40(3)2cos10sin50cos10sin50sin50 例4、已知tan()34，求22sincossinsincos1的值。

解：∵tan()14tantan()2441tan()4， ∴222222sincos2sincos2tan47sinsincos1sinsincossincos2tantan1 点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。

三、升幂与降幂变换 分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正 确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一． 例1、 已知为第二象限角，且15sin4，求πsin4sin2cos21的值． 分析：由于已知条件中知道sin的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答．

解：原式22(sincos)2(sincos)22sincos2cos4cos(sincos) 当为第二象限角，且15sin4时，sincos0，1cos4，所以πsin242sin2cos214cos



．

评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1． 例2、求值：480sin20sin220sin820sin433

解：原式：＝20sin3)20sin21(20sin432＝20sin340cos20sin43 =20sin340cos20sin4)2040sin(2=

20sin320sin40cos20cos40(sin2

＝20sin3)2040sin(2＝332 注：怎样处理sin320°和3是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。

四、常数变换 例1、已知πtan24，求212sincoscos的值． 分析：由已知易求得tan的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为22sincos，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．

解：由π1tantan241tan，得1tan3，

于是原式2222sincostan122sincoscos2tan13． 评注：对于题中所给三角式中的常数（如：231323，，，等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．

例2、 求值（21cos80o—23cos10o）·1cos20o

解：∵21cos80o—23cos10o＝2222cos103cos80cos80cos10oooo－ ＝223cos10sin10oooooo（cos10+3sin10）（cos10－sin10） ＝22cos10cos10sin10oooooooooo4（sin30+cos30sin10）（sin30cos10－cos30sin10） ＝24sin40sin201sin204ooo＝16sin40sin20oo＝32cos20o ∴原式＝32 五、消参变换 当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决． 例1、已知sinsin(3)m，1m且ππ()2kkZ，π()2kkZ．

求证：1tan()tan1mm． 分析：由于已知和结论中都含有参数m，所以我们可以把已知变形，求出sinsin(2)mm，，代入1tan1mm化简，即可证得等式成立． 评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法．本例并未给出证明过程，同学们可试着自己完成．

六、变换公式的方法 使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。 三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cosα

＝sin22sin，tanα±tanβ＝tan（α＋β）（1tanαtanβ）等。

例1：求值：212cos412csc)312tan32（ 解：先看角，都是12°；再看“名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。

原式＝212cos412sin1)312cos12sin3(2（切、割化为弦）

=)112cos2(12cos12sin212cos312sin32=24cos24sin)12cos2312sin21(32(逆用二倍角) =24cos24sin)60sin12cos60cos12(sin32（常数变换） =24cos24sin2)6012sin(34（逆用差角公式）＝48sin)48sin(34 ＝－４3（逆用二倍角公式） 注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其他变通形式常可以开拓解题思路。

例2、求28tan17tan28tan17tan的值。

解：原式=128tan17tan)28tan17tan1(45tan28tan17tan)28tan17tan1)(2817tan( 小结：对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用

tantan1

tantan)tan(的变形式).tantan1)(tan(tantan

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三角函数角的变换总结

三角函数角的变换总结

．
升幂公式
降幂公式 ， ．
．
4、
（后两个不用判断符号，更加好用）
5、合一变形 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。 ，其中 ．
课后练习
学生活动
教师活动
一、选择题
1．已知 ， ，则 （ ） NhomakorabeaA． B． C． D．
2．函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
3．在△ABC中， ，则△ABC为（ ）
；
=；
=；（其中 ；）
； ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。
如： ；
。
2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
； ；
； ；
（ ）；
（ ）．
3、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
备 注
签字时间
班主任审批
教学主任审批
二、填空题
1．求值： _____________。
2．若 则 。
3．函数 的最小正周期是___________。
课后作业
学生成长记录
本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□____________________________
学生的接受程度： 5 4 3 2 1 ______________________________
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判定
4．设 ， ， ，则 大小关系（ ）
A． B． C． D．
5．函数 是（ ）
A.周期为 的奇函数 B.周期为 的偶函数
高考数学大二轮复习 微专题(三) 三角函数问题的解题技巧——“变角”“变式”

高考数学大二轮复习 微专题(三) 三角函数问题的解题技巧——“变角”“变式”

而 ∈
π
,
π
2
因此 sin
,所以
π
+4
所以 2sin
12
1
于是 t +t2
2
∈ -
π
+4
=
π
θ+4
∈
π
+
4
3π 5π
,
4 4
2 2
,
2 2
,
,
,
∈(-1,1),即 t∈(-1,1).
1
(t+1)2-1∈(-1,1).
2
故 sin θ+cos θ+sin θcos θ 的取值范围是(-1,1).
考查角度
角度一 变角
5π
12
[例 1—1](2021·山东淄博月考)已知 θ∈(0,π),cos 6 - =-13,则 tan +
π
=
6
.
5
答案
12
解析 由于
又因为 cos
π
θ∈(0,π),所以-6
5π
-
6
<
12
π
=- ,所以
13
2
因此 sin
5π
-
6
=
所以 tan
5π
-
6
5
=-12,
4
4
立联系.
,sin 2α,cos 2α等式子也都可以相互转化建
[例2-4](2021·山东潍坊月考)已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值
范围是
.
答案 (-1,1)
2 -1
θ= ,于是
2
三角函数图像变换方法

三角函数图像变换方法

三角函数图像变换方法是数学和工程领域中非常重要的概念，其应用范围广泛，包括但不限于信号处理、图像处理、机械振动分析等领域。

下面将详细介绍三角函数图像变换的原理、方法和应用。

一、三角函数图像变换的基本原理三角函数图像变换的核心是通过调整三角函数的参数（如振幅、频率、相位等），从而改变其图像的形状和位置。

具体来说，可以通过以下几种方式来实现三角函数图像的变换：1. 振幅变换：通过改变三角函数的振幅参数，可以改变图像在垂直方向上的大小。

振幅增加时，图像的高度增加；振幅减小时，图像的高度减小。

2. 频率变换：通过改变三角函数的频率参数，可以改变图像在水平方向上的周期性。

频率增加时，图像的周期减小，图像变得更密集；频率减小时，图像的周期增加，图像变得更稀疏。

3. 相位变换：通过改变三角函数的相位参数，可以改变图像在水平方向上的平移。

相位增加时，图像向右平移；相位减小时，图像向左平移。

二、三角函数图像变换的常见方法1. 振幅变换法：通过直接调整三角函数的振幅参数，实现图像在垂直方向上的大小变化。

例如，将正弦函数y=sin(x)的振幅扩大2倍，得到y=2sin(x)的图像，其高度变为原来的2倍。

2. 频率变换法：通过调整三角函数的频率参数，实现图像在水平方向上的周期性变化。

例如，将正弦函数y=sin(x)的频率增加2倍，得到y=sin(2x)的图像，其周期变为原来的1/2。

3. 相位变换法：通过调整三角函数的相位参数，实现图像在水平方向上的平移。

例如，将正弦函数y=sin(x)的相位增加π/2，得到y=sin(x+π/2)的图像，其向右平移π/2个单位。

此外，还可以结合使用上述方法，实现更复杂的图像变换。

例如，可以同时调整振幅、频率和相位参数，得到不同形状和位置的三角函数图像。

三、三角函数图像变换的应用三角函数图像变换在各个领域有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用示例：1. 信号处理：在信号处理中，三角函数图像变换常用于分析信号的频率成分和相位关系。

高一培优讲义6三角函数变换的方法与技巧

高一培优讲义6三角函数变换的方法与技巧

1高一培优讲义6三角函数变换的方法与技巧一 角的变换常见角的变换方式有：ββαα-+=)(；)()(2βαβαα-++=；αβαβα+-=-)(2；22αα=等等.1. 已知1),tan()tan(-≠-=+n n βαβα，求证：112sin 2sin +-=n n αβ.2. 知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______.3.已知α，β为锐角，cos α=17 ，sin （α+β）=5 1314，求cos β.二 函数名称的变换4. 已知k =++αααtan 12sin sin 22)24(παπ<<，试用k 表示ααcos sin -的值.5. 已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值.6.已知tan α=2，求值：sin 3α+2cos αsin α+cos α.三 常数的变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换.7. 求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期，最大值和最小值.8.化简：1−cos 4α−sin 4α1−cos α−sin α.四 公式的变形与逆用9. 求212cos 412csc )312tan 3(0200--的值.10. 设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形.五 引入辅助角11.求7cos 30sin 202sin 6cos 52+-+-=x x x x y 的最大值与最小值 12. 当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______. 13.=︒+︒-︒20sin 6420cos 120sin 3222______.六 幂的变换14. 化简βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222-+.15. 知,(0,)2παβ∈，且满足：223sin 2sin 1,3sin 22sin 20αβαβ+=-=．求2αβ+的值．216.化简：七 消元法如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解.17. 已知sin sin sin 0a b c αβγ++= ①cos cos cos 0a b c αβγ++= ②,其中,,0a b c ≠.求证:sin()sin()sin()abcβγγααβ---==.18.已知0<α<β<γ<2π，且cos α+cos β+cos γ=0，sin α+sin β+sin γ=0，求β−α的值.八 变换结构三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等. 19. 化简：xx xx cos sin 1cos sin 1++-+.20.求证：21tan1sin 212sin1tan22αααα++=--21. 化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+.九 正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”.22.已知4sinxcosx-5sinx-5cosx-1=0，求n 3x +cos 3x 的值.23.已知sin α，cos α是关于x 的二次方程2x 2+ 2+1 x +m=0的两根，求cos α1−cot 2α+sin α1−tan 2α值.24.求函数f (x)=sinx ∙cosx 1+sinx +cosx的值域.25. 求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.26. 求值：.27. 设向量，若，，求的值. 28：证明：证明tan 3x 2 －tan x 2 ＝2sin xcos x ＋cos2x .29.求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)- 3(θ+15°)的值.答案：1.略；2. 43(1)55y x x =<<；3.12；4. 1−k ；5. 18；6.65；7. π，43，41；8.23；9.-4 3；10.等边；11.16±10 13;12. 32-;13.32；14.12；15.π2；16.1；17.略；18.23π；19.tan x 2；20.略；21. 1cos 22x ；22.-1116；23.3 2−54；24.[−2+12,−1)∪(−1,2−12]；25. 6；26. 3；27.2427；28.略；29.0 )4(sin )4tan(21cos 222απαπα+⋅--3 80sin 22140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==0,αβπ<<<且45a b →→∙=4tan 3β=tan α。