等积转换等积转换在平面几何图形中，我们往往可以根据同底等高、等底同高、等地等高等发现面积相等的图形，这些图形有的形状相同，有的形状不同，但既然面积与面积之间具有相等关系，我们就可以相应地进行一些转化，从而使问题解决起来简便。
【例1】 如图，ABCD 是边长为4的正方形，长方形DEFG 的长是5.求长方形DEFG 的宽。
【分析与解】 已知长方形的长，如果知道它的面积，那么就很容易求出它的宽。
如果将正方形的面积与长方形的面积联系起来，是解决问题的关键。
连接图中AG 两个点，我们发现：三角形ADG 占长方形面积的一半，同时也占正方形面积的一半，所以长方形的面积=正方形的面积。
从而算出长方形的宽：4×4÷5=3.2【例2】 如图，梯形上底AB 长是18厘米，三角形ABD 的面积是198平方厘米，三角形COD 的面积比三角形AOD 的面积多66平方厘米，求梯形ABCD 的面积。
【分析与解】 因为三角形ABD 与三角形ABC 是等底等高的三角形，所以三角形AOD 的面积与三角形BOC 的面积相等。
又知三角形COD 的面积比三角形AOB 的面积多66平方厘米，可知三角形BDC 的面积与三角形ABD 的面积多66平方厘米，也就是198+66=264平方厘米。
所以梯形ABCD的面积就是198+66+198=462平方厘米。
【例3】 已知大正方形的边长是5，小正方形的边长是4，求阴影部分的面积。
【分析与解】 连接AC ，AC 和GE 都是正方形的对角线，所以 AC 与GE 是平行的，由此可以得到三角形GEA 和三角形GEC 是同 底等高的三角形，所以要求阴影部分的面积，也就是求三角形GEC 的面积，也就是小正方形面积的一半：4×4÷2=8。
【例4】 长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，求三角形ABC 的面积。
【分析与解】 连接AE ，我们可以看出，三角形ADE 的面积等于长方形面积的一半，也就是8平方厘米。
教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T (等积变换) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期时段教学内容一、同步知识梳理知识点1：等积变换模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；baS2S1DCBA如左图12::S S a b=③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCDS S=△△；反之，如果ACD BCDS S=△△，则可知直线AB平行于CD．④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、同步题型分析题型1：等积变换的基本应用。
例1：如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBA AB CD E【解析】连接BE．∵3EC AE=∴3ABC ABES S=又∵5AB AD=∴515ADE ABE ABCS S S=÷=÷，∴1515ABC ADES S==．例2：如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC的面积.【解】根据定理：ABCBED∆∆=3211⨯⨯=61，所以四边形ACDE的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。
题型2：等积变换的能力提升。
例1：如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEFS=⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．例2：长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影_H_G_F_E_D_C_B_A_A_B_C_D_E_F_G_H12EFGB S =边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积． P DCBAA B C D(P )PDC BA【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．检测题3：如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。
等积变换与共角定理我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；S△ACD=S△BCD；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如下两图例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。
例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ＝四边形ＡＢＣＤ例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积等积变换与共角定理习题1. 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积2. 如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？3. 如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD 的面积。
一年级数学奥数：一个图形的等积变换
把一个图形切开后组拼成另一个图，它的形状变了但（面积）大小未变，这样的过程叫做图形的等积变换.
例1 把下面的长方形剪一刀，将它分成两个同样的直角三角形.然后用这两个直角三角形拼成另外形状的图形.试试看.
解：
例2 给你一个梯形，先将它折叠两次（如图示），再沿三角形一边的那条折痕剪开，拼成一个三角形.
解：
例3右图由五个小正方形组成，请先用剪刀把它剪开，然后重新拼成一个大正方形.
解：此题有很多种不同的切拼方法，这里只举一种.把小正方形剪下来，再将剩下的大正方形等分成四个直角三角形，再像下面的右图那样拼成一个大正方形.
习题十五
1．把一个平行四边形折叠展开描痕分成二等分，沿折痕剪开后，再拼成另一个平行四边形.
2．把下图中的长方形纸片先剪成两个大小相同的正方形，再把每个正方形纸片剪成两块，然后拼成一个大正方形.怎样剪，怎样拼？
3．下图所示这块木料可看成由五个小正方形组成.聪明的木工只据了两次，就拼出了一个正方形桌面.想一想，他是怎样锯、怎样拼的？
4．请把下图中的长方形分成形状相同、大小相等的两块，然后再拼成一个正方形.
5．请把下图中的正方形分成形状相同、大小相等的四块，然后再拼成一个等腰直角三角形.
6．把下面的图形剪两刀变成三块，再把这三块拼成一个正方形.
习题十五解答。
