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若干重要不等式等价性证明及其应用

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第３１卷第２期　Ｖｏｌ　３１，Ｎｏ　２　温州大学学报・自然科学版　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｗｅｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ’Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　２０１０年４月　Ａｐｒ，２０１０　若干重要不等式等价性证明及其应用　赵焕光，王娜　（温州大学数学与信息科学学院，浙江温州　３２５０３５）　摘要：证明了平均值不等式、Ｙｏｕｎｇ不等式、ＨＯｌｄｅｒ不等式、柯西不等式、Ｒａｄｏｎ不等式与幂平均　不等式等一系列重要不等式的相互等价，并举例说明其应用．　关键词：重要不等式；等价：证明　中图分类号：Ｏ１２２．３　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４—３５６３（２０１０）０２—０００６．０５　ＤＯＩ：１０．３８７５￣．ｉｓｓｎ．１６７４—３５６３．２０１０．０２．００２　本文的ＰＤＦ文件可以从ｘｕｅｂａｏ．ＷＺＨ．ｅｄｕ．ｃａ获得　众所周知，平均值不等式、Ｙｏｕｎｇ不等式、Ｈ／５１ｄｅｒ不等式、柯西不等式、Ｒａｄｏｎ不等式（也　称权方和不等式）、幂平均不等式等一系列重要不等式在不等式研究中具有举足轻重的地位　，　应用非常广泛　。６】．实际上，这些重要不等式都是相互等价的，只不过是用表面上看起来差异很大　的方式进行表述．从本质上说，它们都是关于凸函数ｆ（ｘ）＝ｅ　的Ｊｅｎｓｅｎ不等式　的特例．本文　将给出这些重要不等式相互等价的等价性证明，并举例说明其应用．　１主要结果　定理下述命题成立，而且相互等价：　１）加权ＡＧ不等式　若　＞０，　＞０（ｆ＝ｌ，２，…，，ｚ），而且　＝１，则兀ｉ＝１口　ｉ∑＝１　以　・　２）Ｙｏｕｎｇ不等式　若Ａ，Ｂ＞０，　∈（０，１），则Ａ　Ｂ　一　Ａ＋（１一ｏ）８．　３）Ｈ６１ｄｅｒ不等式　若　＞０，　＞０（ｆ：１，２，…，，ｚ），１＜ｐ＜＋ｃ．。，且　＋　：１，则　薹口　（　以　）　（　易　）　．　４）Ｃａｕｃｈｙ不等式　若　＞。，易　＞。　＝・，２，…，，ｚ，，贝　（薹　易　）２　（薹以　）（　易　）．　收稿日期：２００９．０９—１１　

作者简介：赵焕光（１９５５一），男，浙江瑞安人，教授，研究方向：数学教育，泛函分析　赵焕光等：若干重要不等式等价性证明及其应用　５）Ｒａｄｏｎ不等式之一　２，…　，　则　警　６）Ｒａｄｏｎ不等式之二　若ａｆ＞０，ｂｆ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），ｍ＞０，则　７）加权幂平均不等式之一　若ｑ＞Ｏ，　＞０（ｉ＝１，２，…，，ｚ）　８）加权幂　若ａ　＞０，　

２定理证明　平均不等式之二　

口　１　／『　Ｍ２，＝　（　ｎ　）卅　）ｍ　ｎ　

＝１，０＜ｓ＜ｔ，则Ｍ　＝　

ｌ　１——　２，　］　

Ｏ，ａ　、　ｌ　Ｍ，＝　ｊ　日ｉｒ　１　／　７　

众所周知，函数，（　）＝ｅｘ是最为典型的凸函数（‘．。ｆ　（　）＝ｆ　（　）＝　（　）：ｅ　）．由凸函　数的定义或Ｊｅｎｓｅｎ不等式　有：　Ａ￣Ｂ　一　＝　ｎＡ　．　ｎ　一＝　ｎ　＋（　一　ｎ　ＯｅｌｎＡ＋ｆ１一Ｏ）ｅ１ｎＢ：Ｏ　Ａ＋（１一Ｏ）Ｂ，　因此Ｙｏｕｎｇ不等式成立．下面证明等价性．　Ｉ）　２）：显然．　２）＝＝＞３）：原不等式等价于　

３）＝＝＞４）：显然．　＝　（口　，ｉ　＝ｌ口　－￣ｌｌｐ・（　，耋　）“　・，由２　有：　，　）＋吉（　／薹　）］＝吉＋　１＝　．　４　Ⅲ　可得（　］　作　次幂即得８）．　２ｒ　・　ｎ　８）＝　１）：禾０用以　＝　“　＝１＋ｒｌｎａ　＋Ｄ（ｒ　）（ｆ＝１，２，…，，ｚ）得：　一ｍ　易　口　∑瑚　，，，．。．．．．．．－一／　一　∑　∑　，，，．．．．－一／　∑　

Ｕ　贝　Ｏ　＞　ｒ　●ｌ　＝　∑　、　，　２　●　ｌｌ　●　，Ｌ　Ｏ　＞　

＼　●＿、＼　ｒ　２　ｆ　∑　／，，●●

＿一／　８　温州大学学报・自然科学版（２０１０）第３１卷第２期　

由８）有∑　＝Ｍ１　Ｍ１　Ｍ　ｌ　…　Ｍ　１　…　Ｉ－Ｉａａｉ，．　ｌ　一２　—４　—２ｎ　ｆ＝１　３）＝＝＞６）：在３）中令ｐ：１＋　，￣ｔＪ　ｑ＝—ｍ＋—ｌ，分别用　ｆ与ｆｆ代替口ｆ与易ｆ（ｆ：１，２，－．－，ｎ．），　１　ｍ　ｔｆ＝ｂｉｍａｍ“（ｉ＝１，２，…，ｎ）代入即得６）．　６）　５）．分胴　（ｆ＿１　・　，再　＝㈡　（ｆ＿１加－　代入即得５）．　５）＝＝＞３）：在５）中令　＋１：ｐ，　１＋一１：１得口：—ｍ＋—ｌ，分别用　ｆ与ｆ　代替以ｆ与　ｂｉ（ｉ＝１，２，…，，１），再把Ｓ　＝ａｆｂｆ，ｔｆ＝ｂｆ　（ｉ＝１，２，…，　）代入即得３）．　３）　７）：在３）中令ｐ：三，由一１十一１：１得　：—ｔ—，由３）可得：　Ｓ　Ｐ　ｑ　ｔ——Ｓ　圣　＝　一　・ （　］（　。　日　）　＝（　］　，以　以　【　Ｊ　【　日　ｌ　ｊ’　两边再作二次幂即得７）．　７）＝＝＞８）：显然．　８）＝＝＞１）：已证．　这样就完成了等价性证明．　３应用举例　上述系列重要不等式的应用非常广泛，这里仅举若干例用来说明Ｒａｄｏｎ不等式之一在求解国　际数学奥林匹克试题中的应用．　推论下述命题成立：　１）若ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ　且ａ　＋ｃ　＋　ｃ＋ｄａ＝ｌ，则　：　＋　：　＋　！　＋一　Ｉ．　；（第３１届一．Ｏ３１　ＩＭＯ预选题）　——＋——＋——＋——２一；Ｌ弟』自　魑　Ｊ　ｂ＋Ｃ＋ｄ　ｃ＋ｄ＋ａ　ｄ＋ａ＋ｂ　ａ＋ｂ＋ｃ　３　２）若ａ，ｂ，Ｃ∈Ｒ　且ａｂｃ＝１，则　．１＿——＋——　一十——　一　三；（第３６３６届ＩＭｏ试题）一＋一＋一．＞一：（弟厢ＩＭ‘Ｊ顶　Ｊ　ａ３（易＋ｃ）。ｂ３（ｃ＋　）。Ｃ３（以＋易）一２’　一　………～　以　Ⅱ　＝　］●●●＿＿１　ｒ　Ｄ　十　ｎ　ｎ　ｒ　＋　—．．．．．．．．．。。．．．Ｌ　＝　＼　●，●、＼　一　／，，。，，。　＝　把　

再　赵焕光等：若干重要不等式等价性证明及其应用　９　３）若Ｘ，Ｙ，Ｚ∈Ｒ　且ｘｙｚ＝ｌ，则　＋　＋　圣　三；（第３９届…ＩＭＯ一预选题）　——＋——　—一＋——２一；（弟３９庙坝选赵　（１＋　）（１＋Ｚ）　（１＋ｚ）（１＋Ｘ）　（１＋　）（１＋Ｙ）４　

５）若ａ，ｂ，Ｃ∈Ｒ　，则　ｌ：（第４２届ＩＭＯ试题）　＋　＋ （第　届ＩＭ９　ｏ预选题）　一＋一＋一＜一．　（弟　Ｊ甬　‘）　怃　ａ　ｂ　ｃ　ａ　＋ｂ　＋Ｃ　证明：１）由２ｓｔ　Ｓ　＋ｔ　可得：　＋ｂ　＋Ｃ　＋ｄ　≥ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＝ｌ，　３（ａ　＋ｂ　＋ｃ　＋ｄ　）　２（ａｂ　４－ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ　４－ｃｄ）．　由Ｒａｄｏｎ不等式之一可得：　原不等式左边＝　（ａ２）　＋　：＋　：＋—　ａ（ｂ＋ｃ＋ｄ）　ｂ（ｃ４－ｄ４－　）　ｃ）ｄ＋ａ＋　）ｄ（ａ＋ｂ４－ｃ）　（ａ　＋　＋ｃ　＋ｄ。）。　２（ａｂ＋ａｃ＋　＋　ｃ＋　＋ｃ　１　２）由Ｒａｄｏｎ不等式之一有：　原不等式左边＝　（　ｂｃ　）２　＋　（　ａｃ）２＋　（ａｂ）　．　３　＞　

ａｂ＋ｂｃ４－以ｃ　＞三　ｃ（ａ４－ｂ）　２（ａｂ＋ｂｃ＋口ｃ）　２　２　３）由（　＋Ｙ＋ｚ）　＝　＋Ｙ　＋Ｚ　＋２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）　３（ｘｙ＋ｙｚ＋　）及ｘｙｚ＝１可得　＋　Ｙ＋Ｚ　３，对Ｒａｄｏｎ不等式之一应用两次可得：　原不等式左边＝　（Ｘ而２）２＋歹　（ｙ丽２）２＋—Ｚ　ＺＸ　ｚｙ　１　＋．驯＋　＋ｌ　Ｖ＋ＶＺ＋　＋ｌ　＋　＋　＋　±　：±圣　＞　：　二　＋），＋ｚ＋２（　＋　＋　）＋３一　＋　＋ｚ＋　２（　＋　＋ｚ）　＋３　（　＋　＋ｚ）　２　３　＞　＝　一ｌ　２　１　＋——＋————————————＿＝Ｉ一＋——＋一　Ｘ＋Ｙ＋Ｚ　３　（　＋Ｙ＋ｚ）　３　３　３　３　＝一．　４　４）原不等式等价于　：　—　＋１　＋１　１，由Ｒａｄｏｎ不等式之　ａ。＋８ａｂｃ　√　＋８ａｂｃ　√ｃ　＋８ａｂｃ　ｂ　ｃ　２３ａｂｃ）　ｆ　＋　＋　＋　“　赢　则志　

一

　１０　温州大学学报・自然科学版（２０１０）第３１卷第２期　要证Ｍ　１，只须证明（ａ＋ｂ＋ｃ）。　ａ　＋ｂ　＋ｃ　＋２４ａｂｃ，即证　口　ｂ＋以　ｃ＋ｂ　ａ＋易　Ｃ＋ｃ２ａ＋ｃ　ｂ　６ａｂｃ．　由平均值不等式有：　ａ　ｂ＋ｃ２ｂ　２ａｂｃ，ａ　ｃ十ｂ　Ｃ　２ａｂｃ，ｂ　ａ＋ｃ２ａ　２口ｂｃ．　这样，４）得证．　５）原不等式等价于口易＋易ｃ＋ｃａ＜　，由以２＋ｂ２＋ｃ２＞ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ　２￣Ｒａｄｏｎ　（ａｂｃ）‘　不等式之一可得：　华：　＋　＋　…ｃ．　（ａｂｃ）　（ｂｃ）　（ａｃ）　（ａｂ）　（ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ）　证毕．　参考文献　【１】Ｈａｒｄｙ　Ｇ　Ｈ，Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ　Ｊ　Ｅ，ＰＯｌｙａ　Ｇ不等式【Ｍ】．赵民义，译．２版．北京：人民邮电出版社，２００８：９－２２　【２】匡继昌．常用不等式［ＩｖＩ】．济南：山东科学技术出版社，２００４：３－４２，３４８—３５７．　【３】甘志国．初等数学研究：Ｉ【Ｍ】．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，２００８：３８４—３８８．　【４】李胜宏．平均值不等式与柯西不等式［ＭＩ．上海：华东师范大学出版社，２００５：１－６８．　［５】罗增儒．柯西不等式的证明与应用［Ｊ】．中等数学，２００８，（１１）：８－１１．　【６】蔡玉书．几个重要不等式与不等式的证明【Ｊ］．中等数学，２００９，（５）：６－１１．　Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ　Ｐｒｏｏｆｓ　ａｎｄ　Ｔｈｅｉｒ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｓｏｍｅ　Ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ＺＨＡＯ　Ｈｕａｎｇｕａｎｇ，ＷＡＮＧ　Ｎａ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｗｅｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｅｎｚｈｏｕ，Ｃｈｉｎａ　３２５０３５）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｍｕｔｕａｌ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｓ　ａｍｏｎｇ　ｍｅａｎ　ｖａｌｕｅ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，Ｙｏｕｎｇ’ｓ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ＨＯｌｄｅｒ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，　Ｃａｕｃｈｙ’Ｓ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，Ｒａｄｏｎ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｐｏｗｅｒ　ｍｅａｎ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　ａｎｄ　ＳＯ　ｏｎ　ｗｅｒｅ　ｐｒｏｖｅｄ．Ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｗｅｒｅ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ　ｂｙ　ｅｘａｍｐｌｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ；Ｐｒｏｏｆ　（编辑：王一芳）

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三元均值不等式的证明与应用

三元均值不等式的证明与应用

三元均值不等式的证明与应用

1.三元均值不等式的证明：

设a、b、c为非负实数，且不全为0。根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：

（a+b+c）/3 ≥ √(abc)

证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：

(a+b+c)²/9 ≥ abc

展开得到：

(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc

化简得到：

a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc

将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：

a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc

化简得到：

(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc

不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。

2.三元均值不等式的应用：

（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值： 设a和b为非负实数，且不全为0。根据三元均值不等式，有：

(a+b)/2 ≥ √(ab)

化简得到：

a+b ≥ 2√(ab)

这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。

（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：

设a和b为非负实数，且不全为0。根据三元均值不等式，有：

(a²+b²)/2 ≥ ab

化简得到：

a²+b² ≥ 2ab

这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。

（3）求证函数的不等式：

设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。那么根据三元均值不等式可得：

∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))

这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。

这些是三元均值不等式的一些典型应用，三元均值不等式作为一种基本的数学工具，在不等式的证明和应用中都有着广泛的应用。

几个著名的不等式公式

几个著名的不等式公式

⼏个著名的不等式公式

在数学领域⾥，不等式知识占有⼴阔的天地，⽽⼀个个的重要不等式⼜把这⽚天地装点得更加丰富多彩．下⾯择要

介绍⼀些著名的不等式。

三⾓形内⾓的嵌⼊不等式

三⾓形内⾓的嵌⼊不等式，在不⾄于引起歧义的情况下简称嵌⼊不等式。该不等式指出，若A、B、C是⼀个三⾓形

的三个内⾓，则对任意实数 x、y、z，有：

算术-⼏何平均值不等式

在数学中，算术-⼏何平均值不等式是⼀个常见⽽基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和⼏何平均数之间恒定的不等关系。设为 n 个正实数，它们的算术平均数是，它们的⼏何平

均数是 。算术-⼏何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：

等号成⽴当且仅当 。

算术-⼏何平均值不等式仅适⽤于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、⾃然科学、⼯程科学以及经济学等其

它学科都有应⽤。算术-⼏何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是⼀组包括它的不等式的合称。

例⼦在 n = 4 的情况，设: ， 那么

可见。

历史上，算术-⼏何平均值不等式拥有众多证明。n = 2的情况很早就为⼈所知，但对于⼀般的 n，不等式并不容易证

明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了⼀般情况的证明，⽤的是调整法，然⽽这个证明并不严谨，是错误

的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了⼀个使⽤逆向归纳法的证明：

命题P

n：对任意的 n 个正实数，

1. 当 n=2 时，P

2显然成⽴。

2. 假设P

n成⽴，那么P2n成⽴。证明：对于2n 个正实数，3. 假设P

n成⽴，那么Pn-1成⽴。证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成⽴，

。

但是 ， ，因此上式正好变成

综合以上三点，就可以得到结论：对任意的⾃然数 ，命题P

n都成⽴。这是因为由前两条可以得到：对任意的

⾃然数 k，命题 都成⽴。因此对任意的 ，可以先找 k 使得 ，再结合第三条就可以得到命题P

n成

⽴了。

归纳法的证明使⽤常规数学归纳法的证明则有乔治·克⾥斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第⼆卷中给

全部的初等不等式证明

全部的初等不等式证明

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初等不等式证明

一、基本不等式及应用

基本不等式是指已被人们证明了的较为常用的不等式，它常被当作定理，用于证明其他一些不等式.

基本不等式在许多不等式专著中都作过介绍.这里给出几个常用的基本不等式.

1. 平均值不等式

设12,,,naaa是n个正实数，记

12111nnnHaaa， 12nnnGaaa，

12nnaaaAn， 22212nnaaaQn，

分别称nnnnHGAQ、、、为这n个正数的调和平均、几何平均、算术平均和平方平均，则有

nnnnHGAQ，

当且仅当12naaa时取等号.

2. 柯西（Cauchy）不等式

设,(1,2,,)iiabRin，则

222111()()()nnniiiiiiiabab，

当数组12,,,naaa；12,,,nbbb不全为零时，当且仅当(1,2,,,0)iibain时取等号.

3. 排序不等式

设两组实数12,,,naaa；12,,,nbbb，满足12naaa，12nbbb，则

有

1211nnnababab （反序和）

1212niiniababab （乱序和）

1122nnababab （同序和）

当且仅当12naaa，或12nbbb时取等号. 学习必备 欢迎下载

舒尔不等式等价形式推导

舒尔不等式等价形式推导

舒尔不等式等价形式推导

舒尔不等式是数学中常见的一种不等式形式，它在数学推导和证明中有着广泛的应用。本文将从舒尔不等式的等价形式入手，对其进行详细的推导和解析，以便更好地理解和应用该不等式。

舒尔不等式的等价形式是指在表达方式上与舒尔不等式等价的不等式形式。在推导舒尔不等式的等价形式之前，我们先来回顾一下舒尔不等式的基本形式。

舒尔不等式的基本形式为：对于任意的正实数a,b,c和非负实数r，有

\[a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b) \geq 0\]

基于这个基本形式，我们可以推导出舒尔不等式的等价形式。首先，我们将基本形式中的a,b,c分别替换为a+b,b+c,c+a，得到：

\[(a+b)^r((a+b)-(b+c))((a+b)-(c+a))+(b+c)^r((b+c)-(c+a))((b+c)-(a+b))+(c+a)^r((c+a)-(a+b))((c+a)-(b+c)) \geq

0\]

化简上式，得到：

\[a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)+2(a^r+b^r+c^r)(ab+bc+ca-a^2-b^2-c^2) \geq 0\]

进一步化简，得到舒尔不等式的等价形式：

\[a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)+2(a^r+b^r+c^r)(ab+bc+ca-a^2-b^2-c^2) \geq 0\]

这个等价形式与舒尔不等式的基本形式相比，多了一项2(a^r+b^r+c^r)(ab+bc+ca-a^2-b^2-c^2)。这一项可以看作是对称多项式的一种形式，它的引入使得等式更加通用，并且在具体问题的求解中提供了更多的线索与思路。

舒尔不等式的等价形式在数学中有着广泛的应用。在代数不等式的证明中，我们可以将一些复杂的不等式转化为舒尔不等式的等价形式，从而更方便地进行推导和证明。