垂直与相交习题

第 1 页 共 10 页 必修2 空间中的垂直关系

基础知识点

一、选择题：

1.若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是

( ).

A.60° B.45° C.30° D.120°

2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则( ).

A.l⊥m B.l∥m C.l，m异面 D.l，m相交而不垂直

3.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有( ).

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

4.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( ).

A.α∥γ B.α⊥γ C.α与γ相交但不垂直

D.以上都有可能

5.已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则

( ).

A.ME⊥平面AC B.ME ⊂平面AC C.ME∥平面AC D.以上都有可能

6.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( ). 第 2 页 共 10 页

A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两垂直

C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直

二、填空题：

7.在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________.

8.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个.

①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；

第六节 面面关系

(一)平行

(二)垂直

1．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

2．【2012高考江西文19】（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.

（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；

（2）求多面体CDEFG的体积。

3.如图，已知空间四边形中，,BCACADBD，E是AB的中点。

求证：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。

4.如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点.

（1）求证：1//AC平面BDE； B1

C B

A D C1

A1

A

E

D B C （2）求证：平面1AAC平面BDE.

5.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，PDDAB,60平面ABCD，PD=AD，

点E为AB中点，点F为PD中点.

（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值

第六节 面面关系答案

（一）平行

（二）垂直

1.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.

【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥1CC,BC⊥AC，1CCACC,∴BC面11ACCA, 又∵1DC面11ACCA，∴1DCBC,

由题设知01145ADCADC,∴1CDC=090,即1DCDC,

又∵DCBCC, ∴1DC⊥面BDC, ∵1DC面1BDC，

1 5.1.2 垂线

基础题

知识点1 认识垂直

1．(贺州中考)如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是(A)

A．35° B．40°

C．45° D．60°

2．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝90°，则AB与CD的位置关系是垂直；若已知AB⊥CD，则∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠AOD＝90°.

3．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．

解：因为AB⊥CD，

所以∠DOB＝90°.

又因为∠DOE＝127°，

所以∠BOE＝∠DOE－∠DOB

＝127°－90°＝37°.

所以∠AOF＝∠BOE＝37°.

知识点2 画垂线

4．(和平区期中)画一条线段的垂线，垂足在(D)

A．线段上 B．线段的端点

C．线段的延长线上 D．以上都有可能

5．(邢台期中)下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是(D)

知识点3 垂线的性质

6．下列说法正确的有(C)

①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

2 ③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；

④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是(D)

A．两点确定一条直线

B．两点之间线段最短

C．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

D．垂线段最短

8．某中学创建绿色和谐校园活动中要在一块三角形花园里种植两种不同的花草，同时拟从点A修建一条花间小径到边BC.若要使修建小路所使用的材料最少，请在图中画出小路AD，你这样画的理由是垂线段最短．

线面垂直的证明中的找线技巧

 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1 如图1，在正方体1111ABCDABCD中，M为1CC 的中点，AC交BD于点O，求证：1AO平面MBD．

证明：连结MO，1AM，∵DB⊥1AA，DB⊥AC，1AAACA，

∴DB⊥平面11AACC，而1AO平面11AACC ∴DB⊥1AO．

设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa．

在Rt△11ACM中，22194AMa．∵22211AOMOAM，∴1AOOM． ∵OM∩DB=O，∴ 1AO⊥平面MBD．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

 利用面面垂直寻求线面垂直

2 如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，

AD平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．