高一数学不等式单元测试题

高一数学分式不等式试题答案及解析

1. 不等式的解集是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由于是分式不等式，所以要移项通分，不能直接去分母。所以有，通分得，即，又等价于且，不等式对应方程的根为，，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为或；

【考点】分式不等式的解法；

2. 不等式的解集为_________.

【答案】

【解析】，，即.

【考点】分式不等式的解法.

3. 已知关于x的不等式：<1.

(1)当a＝1时，解该不等式；

(2)当a为任意实数时，解该不等式．

【答案】(1){x|1

【解析】(1) 当a＝1时,已知不等式化为<1,进而可化为<0(特点:一边为一个分式,另一边为零)可写出不等式的解集; (2)由分式不等式的解法,先将已知不等式化为一边为一个分式,另一边为零的形式: <0按a=0,a>0和a<0分类讨论，对于a>0，由于方程(ax－2)(x－1)＝0的两根为x1＝，x2＝1，所以又要按两根的大小分三类：大于、等于和小于进行讨论；对于a<0特别应注意写不等式的解集前先应将字母x的系数化为正.

试题解析：(1)当a＝1时，不等式化为<1，化为<0， .2分

∴1

(2)a>0时，由<1得<0， 6分

(ax－2)(x－1)<0，方程(ax－2)(x－1)＝0的两根x1＝，x2＝1 8分

当＝1即a＝2时，解集为； .9分

当>1即0

当<1即a>2时，解集为 13分

当a=0时，解集为 当a<0时，解集为

【考点】分式不等式.

4. 不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】因为，所以即或解集是或 【考点】解分式不等式 5. 不等式的解集是

．

【答案】

【解析】∵，∴，∴，解得，∴不等式的解集是

【考点】本题考查了分式不等式的解法

高一数学基本不等式试题

1. 设 且,则的最小值为________．

【答案】4

【解析】由，当且仅当时等号成立．

故答案为4．

【考点】均值不等式的应用．

2. 当时，函数的最小值为 . 【答案】6 【解析】由于，所以函数 【考点】基本不等式的应用. 3. 已知，，则的最小值为

．

【答案】4

【解析】,由基本不等式得

【考点】基本不等式的应用．

4.

设二次函数的值域为[0，+∞），则的最大值是（ ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为，则,且,即.

欲求的最大值，利用前面关系，建立，由，故选C.

【考点】（1）二次函数性质；（2）函数最值；（3）基本不等式.

5. 已知，则x + y的最小值为 ．

【答案】

【解析】，，由，可得，当且仅当时等号成立，故，故答案为.

【考点】对数的性质运算；均值不等式的应用.

6. 若，则下列不等式正确的是（ ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由基本不等式得，则；又，.

【考点】基本不等式.

7. 若,则的最小值是( )

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】．

【考点】基本不等式．

8. 已知等比数列，，则其前三项和的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由已知得，

当公比时，；

当公比时，，

.

【考点】利用基本不等式求最值。

9. （1）阅读理解：①对于任意正实数，只有当时，等号成立．

②结论：在（均为正实数）中，若为定值， 则，只有当时，有最小值．

（2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答）

①若，只有当__________时，有最小值__________．

②若，只有当__________时，有最小值__________．

（3）探索应用：学校要建一个面积为392的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值。

1第07讲 基本不等式

模块一 思维导图串知识

模块二 基础知识全梳理（吃透教材）

模块三 核心考点举一反三

模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；

2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代

数式的大小；

3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；

4．会用基本不等式求解实际应用题.

知识点 1 基本不等式

1、重要不等式

（1）公式：对于任意的实数,ab

，有22

2abab

，当且仅当ab

时，

等号成立．

【说明】22222

()0202ababababab

，当且仅当ab

时，等号成

立．

（2）常见变形：222

2()()abab、22

2ab

ab



、22

42ababab．

2、基本不等式

（1）公式：如果0a

，0b，那么

2ab

ab



，当且仅当ab

时，等号成立

．2

【说明】

2ba

叫做正数,ab

的算术平均数，ab

叫做正数,ab

的几何平均数．

因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

（2

）常见变形：2abab；2

.

2ab

ab









（3）常用结论：①2ba

ab

（,ab

同号），当且仅当ab时取等号；

2ba

ab

（,ab

异号），当且仅当ab

时取等号．

②1

2a

a

（0a

），当且仅当1a时取等号；

1

2a

a

（0a

），当且仅当1a

时取等号；

知识点 2 最值定理

1、最值定理：已知,xy

都是正数，

（1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为s2

4．

（2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为

2p．

最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．

2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．

①一正：各项均为正数；

②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．

知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链

22

2

(0,0)

高一数学基本不等式试题答案及解析

1. 下列各函数中，最小值为的是 （ ）

A． B．，

C． D．

【答案】D

【解析】A．可取时，的最小值不可能是2；B．，，当时，的最小值不可能是2；C．由，的最小值大于2；D．由，当且仅当即时等号成立，的最小值为2．

故选D．

【考点】均值不等式的应用．

2. 设 且,则的最小值为________．

【答案】4

【解析】由，当且仅当时等号成立．

故答案为4．

【考点】均值不等式的应用．

3. 已知都是正实数，函数的图象过（0,1）点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】

【解析】由于函数的图象过（0,1）点，，代入得.

【考点】基本不等式的应用.

4. 当时，函数的最小值为 . 【答案】6 【解析】由于，所以函数 【考点】基本不等式的应用. 5. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 .

【答案】

【解析】由得，则圆心坐标为，

∵直线平分圆的周长，即直线过圆心，

∴， ∴，

当且仅当，即时取等号，

∴的最小值为.

【考点】1、直线与圆的位置关系；2、基本不等式.

6. △ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，其中分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若，则的最小值为__________________

【答案】18

【解析】∵，∠BAC=30°，∴，∴=4，∴==1，由知，=，∴=1-=，∴==≥=18.

【考点】平面向量数量积；三角形面积公式；新概念理解；基本不等式

7. 若正数,满足,则的最小值是（ ）

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【解析】由已知得，所以

时等号成立）。

【考点】基本不等式在求最值中的应用，注意一正二定三相等

8. 对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ( )

A．1 B．2 C．3 D．4