选修1-1第一章常用逻辑用语复习课

1 第一章常用逻辑用语复习课

教学目标

1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.

3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

重点：充分条件与必要条件的判定难点：根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。

一、知识要点梳理

知识点一：命题 1. 定义：

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的， 语句叫做命题.

（1）命题由 和 两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做 ，错误的命题叫做 . 数学中的定义、公理、定理等都是真命题

2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.

（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.

（2）复合命题的构成形式： ①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.

（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：

非

真 真

真 假

假 真

假 假

①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；

②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。

③“非p”与p的真假相反.

注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”.（2）或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“ ”；

“p且q” 的否定是“ ”.（3）对命题的否定只是否定命题的 ；否命题，既否定 ，又否定 。

知识点二：四种命题 1. 四种命题的形式：

用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q； 逆命题： ；否命题：若p则q； 逆否命题： .

2. 四种命题的关系

2

①原命题逆否命题.它们具有相同的 ，是命题转化的依据和途径之一.

②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的 ，是命题转化的另一依据和途径. 除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

知识点三：充分条件与必要条件 1. 定义： 对于“若p则q”形式的命题：

①若pq，则p是q的 条件，q是p的 条件；

②若pq，但qp，则p是q的 条件，q是p的 条件；

③若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的 条件.

2. 判断命题充要条件的三种方法

（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，

知识点四：全称量词与存在量 1. 全称量词与存在量词

全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“ ”、“ ”、“ ”等，通常用符号“ ”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“ ”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.

（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“ ”，“ ”,“ ”，“ ”,“ ”等，通常用符号“ ”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“ ”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.

2. 对含有一个量词的命题进行否定

（I）对含有一个量词的全称命题的否定

全称命题p：，他的否定： 全称命题的否定是特称命题。

（II）对含有一个量词的特称命题的否定

特称命题p：，他的否定： 特称命题的否定是全称命题。

二、展示交流

1.四种命题及其关系

例1（2009重庆卷文） “若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

3 C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

例2(2007重庆)命题：“若12x，则11x”的逆否命题是（ ）

A.若12x，则11xx，或 B.若11x，则12x

C.若11xx，或，则12x D.若11xx，或，则12x

例3（2011山东文）命题“若abc=3，则222abc≥3”的否命题是（ ）

(A)若a+b+c≠3，则222abc<3 (B)若a+b+c=3，则222abc<3

(C)若a+b+c≠3，则222abc≥3 (D)若222abc≥3，则a+b+c=3

2.全称命题和特称命题的否定

例4（2009天津卷理）命题“存在0xR，02x0”的否定是 （ ）

A. 不存在0xR, 02x>0 B. 存在0xR, 02x0

C. 对任意的xR, 2x0 D. 对任意的xR, 2x>0

例5.（2012湖北文）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）

A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

例6(2007山东)命题“对任意的01,23xxRx”的否定是（ ）

A.不存在01,23xxRx B.存在01,23xxRx

C.存在01,23xxRx D. 对任意的01,23xxRx

3.命题真假的判断

例7（2011北京文）若p是真命题，q是假命题，则（ ）

（A）pq是真命题 (B)pq是假命题 (C)p是真命题 (D)q是真命题

例8(2008广东)已知命题:p所有有理数都是实数，命题:q正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．()pq B．pq C．()()pq D．()()pq

例9（2009江西卷文）下列命题是真命题的为（ ）

A．若11xy,则xyB．若21x,则1x C．若xy,则xy D．若xy,则 22xy

例10．（2012年福建理）下列命题中,真命题是 （ ）

A．00,0xxRe B． 2,2xxRx

4 C．0ab的充要条件是1ab D．1,1ab是1ab的充分条件

4. 充要条件的判断

例11（2009安徽理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）

（A）p: ac＞b+d , q: a＞b且c＞d

（B）p: a＞1,b>1 q: ()(01)xfxabaa，且的图像不过第二象限

（C）p: x=1, q: 2xx

（D）p: a＞1, q: ()log(01)afxxaa，且在(0,)上为增函数

例12（2011全国大纲文5）使ab成立的充分而不必要的条件是（ ）

（A）1ab＞ （B）1ab＞ （C）22ab＞ （D）33ab＞

例13（2011福建文3）．若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

例14.（2009江西）“xy”是“xy”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.求参数范围

例15．已知p：40xm，q：220xx，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围.

例16．命题p：关于x的不等式2240xax对任意xR恒成立；

命题q：函数(1)yaxb在R上递增

若pq为真，而pq为假，求实数a的取值范围。

5

三、达标练习

6

常用逻辑用语知识点与高考题答案

BDADB CDDAD AAAB

15．解：由p：40xm得4mx；由q：220xx得1x或2x

∵p是q的一个充分不必要条件，∴只有pq成立，∴14m，∴4m

16．解：命题p：关于x的不等式2240xax对一切xR恒成立；

即：22240a，即22a

命题q：函数(1)yaxb在R上递增；即10a , 即1a

7 ∵pq为真，而pq为假，∴p，q一真一假

p真q假时，由22a且1a得21a

p假q真时，由22aa或且1a得2a

综上：21a或2a