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高考数学二轮复习 专题二第三讲 导数的应用教案 理

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第三讲 导数的应用

研热点（聚焦突破）

类型一 利用导数研究切线问题

导数的几何意义

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)；

(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

[例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数f(x)＝aex＋1aex＋b(a>0)．在点(2，f(2))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．

[解析] ∵f′(x)＝aex－1aex，

∴f′(2)＝ae2－1ae2＝32，

解得ae2＝2或ae2＝－12(舍去)，

所以a＝2e2，代入原函数可得2＋12＋b＝3，

即b＝12，

故a＝2e2，b＝12.

跟踪训练

已知函数f(x)＝x3－x.

(1)求曲线y＝f(x)的过点(1，0)的切线方程；

(2)若过x轴上的点(a，0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线，求a的取值范围．

解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1.曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，即y＝(3t2－1)·x－2t3，将点(1，0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0，解得t＝1或－12，代入y＝(3t2－1)x－2t3得曲线y＝f(x)的过点(1，0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－14x＋14.

(2)由(1)知若过点(a，0)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实根，记g(t)＝2t3－3at2＋a.

则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．

当a>0时，函数g(t)的极大值是g(0)＝a，极小值是g(a)＝－a3＋a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a>0且－a3＋a<0，即a>0且a2－1>0，即a>1；

当a＝0时，函数g(t)单调递增，方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；

当a<0时，函数g(t)的极大值是g(a)＝－a3＋a，极小值是g(0)＝a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a<0且－a3＋a>0，即a<0且a2－1>0，即a<－1.

综上所述，a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

类型二 利用导数研究函数的单调性

函数的单调性与导数的关系

在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．

[例2] (2012年高考山东卷改编)已知函数f(x)＝lnxxke(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间．

[解析] (1)由f(x)＝ln x＋kex，

得f′(x)＝1－kx－xln xxex，x∈(0，＋∞)．

由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，

所以f′(1)＝0，因此k＝1.

(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．

令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0，1)时，h(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.

又ex>0，所以当x∈(0，1)时，f′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.

因此f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

跟踪训练

若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

解析：由题知f′(x)＝1x－ax－2＝－ax2＋2x－1x，因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)＝－ax2＋2x－1x≤0有解．又因为函数的定义域为(0，＋∞)，则应有ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有实数解．

(1)当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上恒有解；

(2)当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，要使ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有实数解，则Δ＝44a>0，此时－1

(3)当a＝0时，显然符合题意．

综上所述，实数a的取值范围是(－1，＋∞)．

类型三 利用导数研究函数的极值与最值

1．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤

(1)求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根x0；

(3)检查f′(x)在x＝x0左右的符号；

①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；

②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．

2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；

(2)将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

[例3] (2012年高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；

(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．

[解析] (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，

因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，

所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．

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高考数学专题复习数列极限与导数教案

高考数学专题复习数列极限与导数教案

一、教学目标

1. 理解数列极限的概念及其性质。

2. 掌握数列极限的求解方法。

3. 理解导数的定义及其性质。

4. 掌握基本函数的导数公式。

5. 能够运用数列极限和导数解决实际问题。

二、教学内容

1. 数列极限的概念与性质

极限的定义

极限的性质

无穷小与无穷大

2. 数列极限的求解方法

单调有界定理

夹逼定理

单调无界定理

3. 导数的定义与性质

导数的定义

导数的性质

导数的运算

4. 基本函数的导数公式

常数函数的导数

幂函数的导数 指数函数的导数

对数函数的导数

5. 导数在实际问题中的应用

求解函数的极值

判断函数的单调性

求解曲线的切线方程

三、教学方法

1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索数列极限和导数的关系。

2. 通过例题讲解，让学生掌握数列极限和导数的求解方法。

3. 利用多媒体课件，直观展示数列极限和导数的概念和性质。

4. 组织小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高解题能力。

四、教学评估

1. 课堂练习：每节课安排适量的练习题，及时巩固所学知识。

2. 课后作业：布置相关的数列极限和导数的题目，让学生独立完成。

3. 单元测试：定期进行数列极限和导数的测试，了解学生的掌握情况。

4. 学生互评：组织学生互相评价，促进学生之间的交流和学习。

五、教学资源

1. 教材：《数学分析》

2. 课件：数列极限和导数的PPT课件

3. 练习题：数列极限和导数的习题集

4. 教学视频：数列极限和导数的讲解视频

5. 网络资源：数列极限和导数的在线教程和习题库 六、教学步骤

1. 数列极限的概念与性质

引入数列极限的概念，解释极限的含义。

通过示例说明极限的性质，如保号性、单调性等。

讲解无穷小与无穷大的概念，区分它们与极限的区别。

2. 数列极限的求解方法

介绍单调有界定理，解释其含义并给出证明。

讲解夹逼定理的原理，并通过例题演示其应用。

解释单调无界定理，并通过实例说明其应用。

2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）若𝑧=−1+√3𝑖，则𝑧𝑧𝑧−−1=()

A. −1+√3𝑖 B. −1−√3𝑖 C. −13+√33𝑖 D. −13−√33𝑖

2.（5分）命题“∀𝑥∈𝑅，∃𝑥∈𝑁，使得𝑛⩾𝑥2+1”的否定形式是()

A. ∀𝑥∈𝑅，∃𝑥∈𝑁，使得𝑛<𝑥2+1 B. ∀𝑥∈𝑅，∀𝑥∈𝑁，使得𝑛<𝑥2+1

C. ∃𝑥∈𝑅，∃𝑥∈𝑁，使得𝑛<𝑥2+1 D. ∃𝑥∈𝑅，∀𝑥∈𝑁，使得𝑛<𝑥2+1

3.（5分）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的周期为2，当𝑥∈[0,2]时，𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2，如果𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−log5|𝑥−1|，则函数的所有零点之和为( )

A. 8

B. 6

C. 4

D. 10

4.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的𝑥为整数，且运行四次后退出循环，则输入的𝑥的值可以是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5.（5分）如图，AB是⊙𝑂的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙𝑂于点𝐷，DE⊥AC，交AC的延长线于点𝐸，DF⊥AB于点𝐹，且AE=8，AB=10．

在上述条件下，给出下列四个结论：

①DE=BD；②𝛥BDF≌𝛥CDE；③CE=2；④𝐷𝐸2=AF⋅BF，则所有正确结论的序号是( )

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 6.（5分）已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)的图象如图所示，则()

A. 函数𝑓(𝑥)的最小正周期是2𝜋

B. 函数𝑓(𝑥)在区间(𝜋2,𝜋)上单调递减

C. 函数𝑓(𝑥)的图象与𝑦轴的交点为(0,−12)

D. 点(7𝜋6,0)为函数𝑓(𝑥)图象的一个对称中心

高考数学二轮复习课件高考5个大题题题研诀窍函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”讲义理(含解析)

高考数学二轮复习课件高考5个大题题题研诀窍函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”讲义理(含解析)

函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”

[思维流程——找突破口] [技法指导——迁移搭桥]

函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题.

[典例] 已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.

[快审题]

求什么

想什么 讨论函数的单调性，想到利用导数判断．

证明不等式，想到对所证不等式进行变形转化．

给什么

用什么 已知函数的解析式，利用导数解题．

差什么

找什么 证不等式时，对不等式变形转化后还不能直接判断两函数的关系，应找出所构造函数的最值.

[稳解题]

(1)f′(x)＝ex－a(x>0)，

①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

②若a>0，则当00，当x>ea时，f′(x)<0，

故f(x)在0，ea上单调递增，在ea，＋∞上单调递减．

(2)证明：法一：因为x>0，所以只需证f(x)≤exx－2e，

当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e.

记g(x)＝exx－2e(x>0)，

则g′(x)＝x－1exx2，

所以当0

当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

所以g(x)min＝g(1)＝－e.

综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤exx－2e，

即xf(x)－ex＋2ex≤0.

法二：证xf(x)－ex＋2ex≤0，

即证exln x－ex2－ex＋2ex≤0，

高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析20---导数的简单应用

高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析20---导数的简单应用

1 / 13 高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析

导数的简单应用

微专题1导数的几何意义及其应用

导数的几何意义

函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．

『典型题训练』

1．若过函数f(x)＝lnx－2x图象上一点的切线与直线y＝2x＋1平行，则该切线方程为()

A．2x－y－1＝0

B．2x－y－2ln2＋1＝0

C．2x－y－2ln2－1＝0

D．2x＋y－2ln2－1＝0

2．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx＋1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l过定点()

A．(0，2) B．(1，0)

C．(1，a＋1) D．(e，1)

3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝cosx－xf′(π2)，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程是() 2 / 13 A．2x－y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0

C．x－2y＋2＝0 D．x＋2y＋1＝0

4．已知函数f(x)＝aex＋x2的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝(2e+2)x＋b，那么ab＝()

A．2 B．1 C．－1 D．－2

5．[2021·重庆三模]已知曲线C1：f(x)＝ex＋a和曲线C2：g(x)＝ln (x＋b)＋a2(a，b∈𝐑)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是()

A．[−94，+∞) B．[0，＋∞)

C．(−∞，1] D．(−∞，94]