b解析)：第二编++函数与基本初等函数

第二编 函数与基本初等函数Ⅰ

§2.1 函数及其表示

一、选择题(每小题7分，共42分)

1．(2010·佛山调研)下列四组函数中，表示同一函数的是

( )

A．y＝x－1与y＝(x－1)2

B．y＝x－1与y＝x－1x－1

C．y＝4lg x与y＝2lg x2

D．y＝lg x－2与y＝lg x100

解析 ∵y＝x－1与y＝(x－1)2＝|x－1|的对应法则不同，故不是同一函数；y＝x－1

(x≥1)与y＝x－1x－1 (x>1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y＝4lg x (x>0)与y＝2lg

x2(x≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y＝lg x－2(x>0)与y＝lg x100＝lg x－2 (x>0)有相同的定义域、值域与对应法则，故它们是同一函数．

答案 D

2．(2009·临沂3月模拟)已知f(x)＝ 12x＋1， x≤0，－(x－1)2， x>0，

使f(x)≥－1成立的x的取值范围是 ( )

A．[－4,2) B．[－4,2]

C．(0,2] D．(－4,2]

解析 ∵f(x)≥－1，∴ x≤0，12x＋1≥－1

或 x>0，－(x－1)2≥－1，

∴－4≤x≤0或0

答案 B

3．(2010·茂名模拟)已知函数f(x)＝lg(x＋3)的定义域为M，g(x)＝12－x的定义域为N，则M∩N

等于 ( )

A．{x|x>－3} B．{x|－3

C．{x|x<2} D．{x|－3

解析 M＝{x|x>－3}，N＝{x|x<2}．

∴M∩N＝{x|－3

4．(2008·山东)设函数f(x)＝ 1－x2， x≤1，x2＋x－2， x>1，则f1f(2)的值为( )

A.1516 B．－2716 C.89 D．18

解析 f(2)＝4，f14＝1－116＝1516.

答案 A

5．(2008·陕西)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则

f(－3)等于 ( )

A．2 B．3 C．6 D．9

解析 f(1)＝f(0＋1)＝f(0)＋f(1)＋2×0×1

＝f(0)＋f(1)，∴f(0)＝0.

f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1

＝f(－1)＋f(1)－2，∴f(－1)＝0.

f(－1)＝f(－2＋1)＝f(－2)＋f(1)＋2×(－2)×1

＝f(－2)＋f(1)－4，∴f(－2)＝2.

f(－2)＝f(－3＋1)＝f(－3)＋f(1)＋2×(－3)×1

＝f(－3)＋f(1)－6，∴f(－3)＝6.

答案 C

6．(2009·吉林一模)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]．在同一坐标系下，函数y＝f(x)的图象与

直线x＝1的交点个数为 ( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．0个或1个均有可能

解析 ∵f(x)的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5]，

∴点(1，f(1))在函数y＝f(x)的图象上．

而点(1，f(1))又在直线x＝1上，

∴直线x＝1与函数y＝f(x)的图象至少有一个交点(1，f(1))．

根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在

其值域中只有唯一确定的元素f(1)与之对应，故直线x＝1与y＝f(x)的图象有且只有一个交点．

答案 B

二、填空题(每小题6分，共18分)

7．(2010·温州模拟)某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元．

解析 车费为8＋(7.4－3)×1.5＝14.6≈15(元)．

答案 15

8．(2009·北京文，12)已知函数f(x)＝ 3x， x≤1，－x， x>1，若f(x)＝2，则x＝______________.

解析 当x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；

当x>1时，－x＝2，∴x＝－2(舍去)．

答案 log32

9．(2009·广东六校联考)函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域为________________．

解析 要使f(x)有意义， 则 x－4≥0|x|－5≠0，∴ x≥4x≠±5，

∴f(x)的定义域为{x|x≥4且x≠5}．

答案 {x|x≥4且x≠5}

三、解答题(共40分)

10．(13分)(2009·阳江第一学期期末)求下列函数的定义域：

(1)y＝25－x2＋lgcos x；

(2)y＝log2(－x2＋2x)．

解 (1)由 25－x2≥0cos x>0，

得 －5≤x≤52kπ－π2

借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为

[－5，－3π2)∪(－π2，π2)∪(3π2，5]．

(2)－x2＋2x>0，即x2－2x<0，∴0

∴函数的定义域为(0,2)．

11．(13分)(2009·清远一模)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，

可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，所以这时租出了88辆车．

(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)＝100－x－3 00050(x－150)－

x－3 00050×50

整理得f(x)＝－x250＋162x－21 000

＝－150(x－4 050)2＋307 050.

所以，当x＝4 050时，f(x)最大，

最大值为f(4 050)＝307 050.

即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．

12．(14分)(2010·东莞模拟)已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f(x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．

解 设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，

则f(x)＋g(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－3，

又f(x)＋g(x)为奇函数，

∴a＝1，c＝3.

∴f(x)＝x2＋bx＋3，对称轴x＝－b2.

当－b2≥2，即b≤－4时，f(x)在[－1,2]上为减函数，

∴f(x)的最小值为f(2)＝4＋2b＋3＝1.

∴b＝－3.∴此时无解． 当－1<－b2<2，即－4

f(x)min＝f－b2＝3－b24＝1，

∴b＝±22.

∴b＝－22，此时f(x)＝x2－22x＋3，

当－b2≤－1，即b≥2时，f(x)在[－1,2]上为增函数，

∴f(x)的最小值为f(－1)＝4－b＝1.

∴b＝3.∴f(x)＝x2＋3x＋3.

综上所述，f(x)＝x2－22x＋3，

或f(x)＝x2＋3x＋3.

§2.2 函数的单调性与最大(小)值

一、选择题(每小题7分，共42分)

1．(2010·佛山模拟)若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，

＋∞)上是 ( )

A．增函数 B．减函数

C．先增后减 D．先减后增

解析 ∵y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，

∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－b2a<0，

∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．

答案 B

2．(2010·安庆一模)函数f(x)＝ －x＋3a， x<0，ax， x≥0(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是

( )

A．(0,1) B.13，1

C.0，13 D.0，23

解析 据单调性定义，f(x)为减函数应满足：

 0

答案 B

3．(2009·东莞一模)下列四个函数中，在(0,1)上为增函数的是

( )

A．y＝sin x

B．y＝－log2x

C．y＝12x D．y＝x－12

解析 ∵y＝sin x在－π2，π2上是增函数，

∴y＝sin x在(0,1)上是增函数．

答案 A 4．(2009·天津理，8)已知函数f(x)＝ x2＋4x，x≥0，4x－x2，x<0.若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围

是 ( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－1,2)

C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析 f(x)＝ (x＋2)2－4， x≥0，－(x－2)2＋4， x<0，由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增

函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2

答案 C

5．(2010·淮南调研)若函数f(x)＝x3 (x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是 ( )

A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数

C．单调递增的偶函数 D．单调递增的奇函数

解析 f(x)＝x3 (x∈R)，则函数y＝f(－x)＝－x3 (x∈R)显然在其定义域内是单调递减的奇函数．

答案 B

6．(2010·温州一模)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是 ( )

A.－∞，32 B.32，＋∞

C.－1，32 D.32，4

解析 函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－x－322＋254的减区间为32，4，

∵e>1，∴函数f(x)的单调减区间为32，4.

答案 D

二、填空题(每小题6分，共18分)

7．(2010·珠海调研)若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3 (x∈R)是偶函数，则f(x)的单调减区间是

__________．

解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，

∴(m－1)x2－mx＋3＝(m－1)x2＋mx＋3，

∴m＝0.这时f(x)＝－x2＋3，

∴单调减区间为[0，＋∞).

答案 [0，＋∞)

8．(2010·汕尾一模)若函数f(x)＝4xx2＋1在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m∈__________.