因式分解的多种方法
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数学试卷
因式分解的多种方法
编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。而面临竞赛题目时，更加 摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因式分解没有想象中的那么难。
1】提取公因式
这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
例一：2xA2-3x=0
解: x(2x-3)=0
x1=0,x2=3/2
这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解 x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式
这对我们后面的学习有帮助。
2】公式法
将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
注意：使用公式法前，建议先提取公因式。
例二：XA2-4分解因式
分析：此题较为简单，可以看出 4=2 2，适用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2
解：原式=(x+2)(x-2)
3】十字相乘法
是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数 a分解成两个因数 a1,a2的积a1?a2，把常数项 c分
解成两个因数 c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1 正好是一次项 b，那么可以直接写
成结果
例三： 把2xA2-7x+3 分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数
项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一 次项系数•
分解二次项系数 (只取正因数)：
2 = 1X2 = 2X1 ；
分解常数项：
3=1 X 3=3X 1=(-3) X(-1)=(-1) X-3). 数学试卷
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
X
2 3
1 X3+2X 1
=5
1 3
X
2 1
1 X1+2X 3
=7
1 -1
X
2 -3
1X(-3)+2 X(-1)
=-5
1 -3
X
2 -1
1X(-1)+2 X(-3)
=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次
项系数—7.
解原式=(x-3)(2x-1).
总结：对于二次三项式 axA2+bx+c(a丰0)，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之
积，即a=a1a2，常数项 c可以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把a1 , a2 , c1 , c
2，排列如下：
a1 c1
X
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1 ，若它正好等于二次三项式 ax2+bx
+c的一次项系数 b，即a1c2+a2c仁b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+
c1与a2x+c2 之积，即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 数学试卷
这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。
4】分组分解法
也是比较常规的方法。
一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来 需要可持续性！
例四：xA2+4x+4yA2-yA2
可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式 解：原式=(x+2)人2少人2
=(x+2+y)(x+2-y)
总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。
5】换元法
整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上
例五：(x+y) A2-2(x+y)+1 分解因式
考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用
那么原式=aA2-2a+1
=(a-1)A2
回代
原式=(x+y-1)A2
6】主元法
这种方法要难一些，多练即可
即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数
例六：因式分解 16y+2xA2(y+1)A2+(y-1)A2xA4
分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以 y为主元会使原式极其烦琐,
而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。
原式=(y-1)A2xA4+2(y+1)A2xA2+16y ----------------- 【主元法】
=(xA2yA2-2xA2y+xA2+8y)(xA2+2) ---------------- 【十字相乘法】
可见，十字相乘十分重要。
7】双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如 axA2 + bxy + cyA2 + dx + ey + f的二
次六项式
在草稿纸上，将 a分解成mn乘积作为一列， c分解成pq乘积作为第二列，
f分解成jk乘积作为第三列，如果 mq + np = b , pk + qj = e , mk + nj = d，即第1,2列 a代替x+y 数学试卷
和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=(mx + py + j) ( nx + qy + k)
要诀：把缺少的一项当作系数为 0, 0乘任何数得 0,
例七：ab + bA2 + a — b — 2分解因式
解：原式= 0xlXaA2 + ab + 匕人2 + a — b— 2
=(0 Xa + b + 1 ) ( a + b — 2 )
=(b + 1)( a + b — 2)
8】待定系数法
将式子看成方程，将方程的解代入
这时就要用到 1】中提到的知识点了
当一个方程有一个解 x=a时，该式分解后必有一个 (x-a)因式
例八：xA2+x-2
该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做， xA2+x-2=0
一眼看出，该方程有一根为 x=1 那么必有一因式为 (x-1)
结合多项式展开原理，另一因式的常数必为 2 (因为乘-1要为-2)
一次项系数必为1 (因为与1相乘要为1)
所以另一因式为(x+2 )
分解为(x-1)(x+2)
9】列竖式
让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。 要建立在待定系数法的方程法上
不足的项要用0补
除的时候，一定要让第一项抵消
例九：3xA3+5xA2-2分解因式
提示：x=-1可以使该式=0，有因式(x+1)
3x"2+2x-2
「 * ---------------- ~
X4 .3x 3+5JC*2-2 数学试卷
-性 ___________
2xA2+2x
-2K-2
-2x-2
o"
那么该式分解为(x+1)(3xA2+2x-2)
因式分解有9种方法，这么多？
其实是不止的，还有很多很多。不过了解这些，初中的因式分解是不会有问题了。 考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。
(ab+b)A 2-(a+b) Q
(aA 2-x A2)A 2-4ax(x-a) Q
3aA3bA2c — 6玄人2匕人2。人2 + 9abA2cA3
xy + 6-2x— 3y
(3a — b)A2 — 4(3a — b)(a + 3b) + 4(a+ 3b)A2
(x + 2)(x — 3) + (x+ 2)(x + 4)
12xA2 — 29x + 15
x(y + 2) — x — y— 1 数学试卷
4xA2 + 4xy + yA2 — 4x — 2y — 3
2xA4 + 13xA3 + 20xA2 + 11x + 2
2xA2-7xy-22yA2-5x+35y-3
4mA2+8 mn+3 门人2
4n A2+4n—15
xA2+2x-8
xA2+3x-10
.xA2+x-6
2xA2+5x-3
xA2+4x-2
xA2-2x-3
5ax+5bx+3ay+3by
xA 3 -xA 2 +x-1
18aA2-32bA2-18a+24b 希望同学们能掌握因式分解，把因式分解看成一种乐趣
