历年中考数学图形证明题讲解
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历年中考数学重难点专题讲座
第二讲 图形位置关系
第一部分 真题精讲
【例1】(2010，丰台，一模)
已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=2，tanC=12，求⊙O的直径．
OEDCBA
【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】
（1）证明：联结OD． ∵ D为AC中点， O为AB中点，
OEDCBA
∴ OD为△ABC的中位线． ∴OD∥BC．
∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.
∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.
∴ DE为⊙O的切线．
（2）解：联结DB． ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°.
∵ D为AC中点， ∴AB=AC． 在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=12， ∴EC=4tanDEC. （三角函数的意义要记牢）
由勾股定理得：DC=25.
在Rt△DCB 中， BD=tan5DCC．由勾股定理得： BC=5.
∴AB=BC=5.
∴⊙O的直径为5.
【例2】（2010，海淀，一模）
已知：如图，O为ABC的外接圆，BC为O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF，过点A作ADBF于点D.
（1）求证：DA为O的切线；
（2）若1BD，1tan2BAD，求O的半径.
OFDCBA
【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分∠CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就错角同位角相等，同旁角互补这么几种。本题中，连OA之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD通过等量关系放在△ABC中，从而达到计算直径或半径的目的。
【解析】证明：连接AO. 3421OFDCBA
∵ AOBO，
∴ 23.
∵ BACBF平分，
∴ 12. ∴ 31 . ∴ DB∥AO. （得分点，一定不能忘记用错角相等来证平行）
∵ ADDB,
∴ 90BDA.∴ 90DAO.
∵ AO是⊙O半径，
∴ DA为⊙O的切线.
（2）∵ ADDB,1BD，1tan2BAD，
∴ 2AD.
由勾股定理，得5AB.
∴ 5sin45.（通过三角函数的转换来扩大已知条件）
∵ BC是⊙O直径，
∴ 90BAC.∴ 290C.
又∵ 4190, 21,
∴ 4C. （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD）
在Rt△ABC中，sinABBCC=sin4AB=5.
∴
O的半径为52.
【例3】（2010，昌平，一模）
已知：如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B
在⊙O上，且.OAABAD
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交
于点F，且8BE，5tan2BFA，
求⊙O的半径长.
【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考围压缩，圆幂定理等纲外容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。
【解析】
（1）证明：连接OB.
∵,OAABOAOB，
∴OAABOB.
∴ABO是等边三角形.
∴160BAO.
∵ABAD，
∴230D.
∴1290.
∴DBBO . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）
又∵点B在⊙O上，
∴DB是⊙O的切线 .
（2）解：∵CA是⊙O的直径，
∴90ABC.
在RtABF△中，5tan2ABBFABF ,
∴设5,ABx则2BFx，
∴223AFABBFx .
∴23BFAF . （设元的思想很重要）
∵,34CE,
∴BFE ∽ AFC.
∴23BEBFACAF .
∵8BE,
∴12AC .
∴6AO.………………………………………5分
【例4】（2010，密云，一模）
如图，等腰三角形ABC中，6ACBC，8AB．以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是O的切线；
（2）求sinE的值． 231FEDCBA4ODFGCOBEA
【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF是切线，则需证OD垂直于EF，但是本题中并未给OD和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。
【解析】
DFGCOBEA
（1）证明：如图，连结CD，则90BDC．
∴CDAB．
∵ ACBC，∴ADBD．
∴D是AB的中点．
∵O是BC的中点，
∴DOAC∥．
∵EFAC于F．
∴EFDO．
∴EF是O的切线．
( 2 ) 连结BG，∵BC是直径, ∴90BGCCFE．（直径的圆周角都是90°）
∴BGEF∥．
∴sinFCCGEECBC．
设CGx，则6AGx．
在RtBGA△中，222BGBCCG．
在RtBGC△中，222BGABAG．（这一步至关重要，利用两相邻RT△的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）
∴2222686xx．解得23x．即23CG．
在RtBGC△中． ∴ 213sin69CGEBC．
【例5】2010，通州，一模
如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.
（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.
GFEDCBA
【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出DG与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。
【解析】
（1）结论：GD与O相切654321GFEDCBA
证明：连接AG
∵点G、E在圆上，
∴AGAE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC∥
∴123B， ∵ABAG
∴3B
∴12 （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引）
在AED和AGD
12AEAGADAD
∴AEDAGD≌
∴AEDAGD
∵ED与A相切
∴90AED
∴90AGD
∴AGDG
∴GD与A相切
（2）∵5GCCD，四边形ABCD是平行四边形
∴ABDC，45，5ABAG
∵ADBC∥
∴46
∴1562B
∴226 （很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT三角形中就产生了30°和60°的特殊角）
∴630
∴10AD .
【总结】 经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。
第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。
第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题， 如图△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。
该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能通过O做AC的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。
