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新初中数学命题与证明的难题汇编及答案一、选择题1．用反证法证明命题：“在三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是（）A．在三角形中，至少有一个内角是直角B．在三角形中，至少有两个内角是直角C．在三角形中，没有一个内角是直角D．在三角形中，至多有两个内角是直角【答案】B【解析】【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”.【详解】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的否命题正确，∴应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.故选：B.【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可.2．下列命题是真命题的是（）A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0【答案】A【解析】【分析】根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于它本身的数为1和0；算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可．【详解】A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；故选A．【点睛】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．3．下列命题的逆命题不成立的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等C．平行四边形的对角线互相平分D．全等三角形的对应边相等【答案】B【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】选项A，两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，成立；选项B，如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是平方相等的两个数相等，错误，不成立，如（﹣3）2＝32，但﹣3≠3；选项C，平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，成立；选项D，全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，正确，成立；故选B．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．4．下列命题正确的是( )A．在同一平面内，可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的. B．两个全等的图形之间必有平移关系.C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等.D．将一个封闭图形旋转，旋转中心只能在图形内部.【答案】A【解析】【分析】根据平移的性质：平移后图形的大小、方向、形状均不发生改变结合选项即可得出答案．【详解】解：A、经过旋转后的图形两个图形的大小和形状也不变，半径相等的两个圆是等圆，圆还具有旋转不变性，故本选项正确；B、两个全等的图形位置关系不明确，不能准确判定是否具有平移关系，错误；C、三角形经过旋转，对应线段相等但不一定平行，所以本选项错误；D、旋转中心可能在图形内部，也可能在图形边上或者图形外面，所以本选项错误.故选：A.【点睛】本题考查平移、旋转的基本性质，注意掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．5．下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④直角三角形的两个锐角互余；⑤同角或等角的补角相等．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：命题①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误，为假命题；命题②两点之间，线段最短，正确，为真命题；命题③相等的角是对顶角，错误，为假命题；命题④直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；命题⑤同角或等角的补角相等，正确，为真命题，故答案选B．考点：命题与定理．6．下列命题的逆命题成立的是（）A．对顶角相等B．全等三角形的对应角相等C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等D．两直线平行，同位角相等【答案】D【解析】【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可．【详解】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立；B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；C、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立；D、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大．7．下列语句中不正确的是（）A．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直C．如果两个三角形，两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等D．角是轴对称图形，它的角平分线是对称轴【答案】D【解析】【分析】利用平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，正确；B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；C、如果两个三角形，两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等，正确；D、角是轴对称图形，它的平分线所在直线是它的对称轴，故错误；故选：D．【点睛】此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形，难度不大．8．下列命题中，其中真命题的个数是（）①平面直角坐标系内的点与实数对一一对应；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④对顶角相等A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据真命题的定义依次进行判断.【详解】①平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，是假命题；②两直线平行，内错角相等，是假命题；③平行于同一条直线的两条直线不一定相互平行，是真命题；④对顶角相等，是真命题；故选：B．【点睛】此题考查真命题的定义，正确掌握坐标与图形，平行线的性质，平行公理，对顶角性质是解题的关键.9．下列定理中，逆命题是假命题的是（）A．在一个三角形中，等角对等边B．全等三角形对应角相等C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形D．等腰三角形两个底角相等【答案】B【解析】【分析】先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，逆命题正确，是真命题；B、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，是假命题；C、逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°，逆命题正确，是真命题；D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题正确，是真命题；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题．10．下列命题属于真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．相等的角是对顶角C．平行于同一条直线的两条直线平行D．同位角相等【答案】C【解析】【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．【详解】A、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；B、相等的角不一定是对顶角，是假命题；C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；D、两直线平行，同位角相等，是假命题；故选C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．11．下面说法正确的个数有（ ）①方程329x y +=的非负整数解只有13x y ==，；②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；③如果1122A B C ∠=∠=∠，那么ABC V 是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】【分析】根据二元一次方程的解的定义可对①进行判断；根据三角形的定义对②进行判断；根据直角三角形的判定对③进行判断；根据正多边形的定义对④进行判断；根据钝角三角形的定义对⑤进行判断．【详解】解：①二元一次方程329x y +=的非负整数解是x=3，y=0或x=1，y=3，原来的说法错误；②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，原来的说法错误；③如果3672=72A B C ∠=︒∠=︒∠︒，，，那么ABC V 不是直角三角形，故错误； ④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故错误．⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故错误，故选A.【点睛】此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解二元一次方程的解的定义、三角形的定义、直角三角形的判定、正多边形的定义及钝角三角形的定义等知识，难度不大．12．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．ABC ∆中，若222AC BC AB +=，则ABC ∆是Rt ∆C ．若0a =，则0ab =D ．四边相等的四边形是菱形【答案】D【解析】【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据绝对值的意义和有理数的乘法、菱形的性质及勾股定理进行判断．【详解】解：A、该命题的逆命题为：若|a|=|b|，则a=b，此命题为假命题；B、该命题的逆命题为：若△ABC是Rt△，则AC2+BC2=AB2，此命题为假命题；C、该命题的逆命题为：若ab=0，则a=0，此命题为假命题；D、该命题的逆命题为：菱形的四边相等，此命题为真命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．13．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．若两直线被第三条直线所截，同旁内角互补C．同旁内角相等，两直线平行D．平行于同一直线的两直线互相平行【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定、平行线的性质判断即可．【详解】A、两直线平行，同位角相等，是假命题；B、若两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题；C、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；D、平行于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；故选：D．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．14．下列四个命题中：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交②有且只有一条直线垂直于已知直线③两条直线被第三条直线所截，同位角相等④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．其中真命题的个数为（）A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】分析：利用平行公理及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义分别分析求出即可．详解：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，正确；②在同一个平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线，此选项错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，错误；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，错误；真命题有1个.故选A.点睛：本题考查了命题与定理.其中真命题是由题设得出结论，如果不能由题设得出结论则称为假命题.题干中②、③、④，均不能由题设得出结论故不为真命题.15．下列命题是真命题的是()A．一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理以及矩形、正方形的判定即可逐一判断．【详解】解：如下图，若四边形ABCD，AD∥BC，∠A=∠C，∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；B、对角线相等的四边形也可能为等腰梯形，故B错误；C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形也可能为等腰梯形，故C错误；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定定理，是基础知识要熟练掌握．16．下列命题的逆命题不正确．．．的是（）A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角互补C．矩形的对角线相等D．平行四边形的对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】A 、逆命题是：对顶角相等．正确；B 、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确；C 、逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误；D 、逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．17．下列说法正确的是（ ）①函数y =x 的取值范围是13x …． ②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．④同旁内角互补是真命题．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根．A ．①②③B ．①④⑤C ．②④D ．③⑤ 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式定义，等腰三角形性质，正多边形内角和外角关系，平行线性质，根判别式定义进行分析即可.【详解】①函数y =x 的取值范围是13x >-，故错误． ②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根，正确， 故选D ．【点睛】此类题的知识综合性非常强．要求对每一个知识点都要非常熟悉．注意：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，弄清等腰三角形的三线合一指的是哪三条线段，熟悉多边形的内角和公式和外角和公式，熟练配方法的步骤;理解正多边形内角和外角关系；熟记根判别式．18．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确；B、两直线平行，内错角相等，正确；C、等腰三角形的两个底角相等，正确；D、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.19．下面命题的逆命题正确的是（）A．对顶角相等B．邻补角互补C．矩形的对角线互相平分D．等腰三角形两腰相等【答案】D【解析】【分析】先分别写出四个命题的逆命题，然后利用对顶角的定义、邻补角的定义、矩形的判断和等腰三角形的判定方法对各命题的真假进行判断．【详解】解：A.对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；B.邻补角互补的逆命题为互补的角为邻补角，此逆命题为假命题；C.矩形的对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形为矩形，此逆命题为假命题；D.等腰三角形两腰相等的逆命题为两边相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．故答案为D．【点睛】本题考查了命题与定理,掌握举出反例法是判断命题的真假的重要方法．20．下列说法正确的是（）A．两锐角分别相等的两个直角三角形全等B．两条直角边分别相等的两直角三角形全等C．一个命题是真命题，它的逆命题一定也是真命题D．经过旋转，对应线段平行且相等【答案】B【解析】【分析】A,B利用斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判定直角三角形全等时，也可以运用其它的方法．C利用命题与定理进行分析即可，D.利用旋转的性质即可解答；【详解】A、两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故A选项错误；B、根据SAS可得，两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故B选项正确；C、一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．故C选项错误；D、经过旋转，对应线段相等，故D选项错误；故选：B．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．。
新初中数学命题与证明的难题汇编及答案解析(2)一、选择题1．下列命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直x=B．方程214=的解为14x xC．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【答案】D【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C不正确；由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．【详解】A．矩形对角线互相垂直，不正确；B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；C．六边形内角和为540°，不正确；D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选D.【点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．2．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（）A．两条直线 B．相交C．只有一个交点 D．两条直线相交【答案】D【解析】【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．故选D．【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系.3．下列命题中逆命题是假命题的是（）A．如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等B．如果a2=9，那么a=3C．对顶角相等D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等【答案】C【解析】【分析】首先写出各命题的逆命题（将每个命题的题设与结论调换），然后再证明各命题的正误．因为相等的角不只是对顶角，所以此答案是假命题，继而得到正确答案．【详解】解：A、逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等．是真命题；B、逆命题为：如果a=3，那么a2=9．是真命题；C、逆命题为：相等的角是对顶角．是假命题；D、逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上．是真命题．故选C．【点睛】此题考查了命题与逆命题的关系．解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误即可．4．下列命题中真命题是（）A2一定成立B．位似图形不可能全等C．正多边形都是轴对称图形D．圆锥的主视图一定是等边三角形【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得．【详解】A）2，当a＜0时不成立，假命题；B、位似图形在位似比为1时全等，假命题；C、正多边形都是轴对称图形，真命题；D、圆锥的主视图不一定是等边三角形，假命题，故选C．【点睛】本题考查了真命题与假命题，涉及到二次根式的性质、位似图形、正多边形、视图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.5．下列命题是真命题的是（）A ．内错角相等B ．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．相等的角是对顶角D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】B【解析】【分析】命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．【详解】A 、内错角相等，是假命题，故此选项不合题意；B 、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故此选项符合题意；C 、相等的角是对顶角，是假命题，故此选项不合题意；D 、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，故此选项不合题意； 故选：B ．【点睛】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．6．下列命题中是真命题的是（ ）A ．两个锐角的和是锐角B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．点(3,2)-到x 轴的距离是2D ．若a b >，则a b ->-【答案】C【解析】【分析】根据角的定义、平行线的性质、点的坐标及不等式的性质对各选项进行分析判断，即可得解．【详解】A. 两个锐角的和是锐角是假命题，例如80°+80°=160°，是钝角，不是锐角，故本选项错误；B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题，两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故本选项错误；C. 点(3,2)-到x 轴的距离是2是真命题，故本选项正确；D. 若a b >，则a b ->-是假命题，正确结果应为a b -<-，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查真假命题的判断，解题关键是认真判断由条件是否能推出结论，如果能举出一个反例，或由条件推出的结论与题干结论不一致，则为假命题．7．下列语句中不正确的是（ ）A ．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直C ．如果两个三角形，两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等D ．角是轴对称图形，它的角平分线是对称轴【答案】D【解析】【分析】利用平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，正确；B 、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；C 、如果两个三角形，两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等，正确；D 、角是轴对称图形，它的平分线所在直线是它的对称轴，故错误；故选：D ．【点睛】此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形，难度不大．8．下列命题中：①；②在同一平面内，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；③若ab ＝0，则P(a ，b)表示原点；9．是真命题的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】A【解析】【分析】根据立方根、平行线的判定和算术平方根判断即可．【详解】解：①≥0≤0不一定成立，错误； ②在同一平面内，若a b ⊥r r ，a c ⊥，则//b c ，正确； ③若0ab =，则(,)P a b 表示原点或坐标轴，错误；3，错误；故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．9．下列命题中①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等②如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形④等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形⑤一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定逐个判断即可．【详解】根据等腰三角形的三线合一可知，底边中点在顶角角平分线上，再根据角平分线的性质可知，其到两腰的距离相等，则命题①正确全等的三角形不一定是成轴对称，则命题②错误成轴对称的两个三角形一定全等，则命题③正确等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形，则命题④错误成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，则命题⑤错误综上，正确命题的个数是2个故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定等知识点，掌握理解各定义与性质是解题关键．10．下列命题中，其中真命题的个数是（）①平面直角坐标系内的点与实数对一一对应；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④对顶角相等A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据真命题的定义依次进行判断.【详解】①平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，是假命题；②两直线平行，内错角相等，是假命题；③平行于同一条直线的两条直线不一定相互平行，是真命题；④对顶角相等，是真命题；故选：B．【点睛】此题考查真命题的定义，正确掌握坐标与图形，平行线的性质，平行公理，对顶角性质是解题的关键.11．在下列各原命题中，其逆命题为假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等【答案】D【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】A、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；B、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；C、逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故此选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，是假命题，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．12．下列说法正确的是（）A．两锐角分别相等的两个直角三角形全等B．两条直角边分别相等的两直角三角形全等C．一个命题是真命题，它的逆命题一定也是真命题D．经过旋转，对应线段平行且相等【答案】B【解析】【分析】A,B利用斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判定直角三角形全等时，也可以运用其它的方法．C利用命题与定理进行分析即可，D.利用旋转的性质即可解答；【详解】A、两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故A选项错误；B、根据SAS可得，两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故B选项正确；C、一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．故C选项错误；D、经过旋转，对应线段相等，故D选项错误；故选：B．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．13．下列命题属于真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．相等的角是对顶角C．平行于同一条直线的两条直线平行D．同位角相等【答案】C【解析】【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．【详解】A、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；B、相等的角不一定是对顶角，是假命题；C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；D、两直线平行，同位角相等，是假命题；故选C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．14．用反证法证明命题：“在三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是（）A．在三角形中，至少有一个内角是直角B．在三角形中，至少有两个内角是直角C．在三角形中，没有一个内角是直角D．在三角形中，至多有两个内角是直角【答案】B【解析】【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”.【详解】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的否命题正确，∴应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.故选：B.【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可.15．下列四个命题中：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交②有且只有一条直线垂直于已知直线③两条直线被第三条直线所截，同位角相等④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．其中真命题的个数为（）A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】分析：利用平行公理及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义分别分析求出即可．详解：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，正确；②在同一个平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线，此选项错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，错误；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，错误；真命题有1个.故选A.点睛：本题考查了命题与定理.其中真命题是由题设得出结论，如果不能由题设得出结论则称为假命题.题干中②、③、④，均不能由题设得出结论故不为真命题.16．已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．【详解】解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．17．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣1，b=3【答案】B【解析】试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b 的值不能说明命题为假命题；在B中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b 的值可以说明命题为假命题；在C中，a2=9，b2=1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选B．考点：命题与定理．18．下列命题是真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．相等的两个角是对顶角D．圆内接四边形对角相等【答案】B【解析】【分析】由平行线的判定方法得出A是假命题；由平行四边形的判定定理得出B是真命题；由对顶角的定义得出C是假命题；由圆内接四边形的性质得出D是假命题；综上，即可得出答案.【详解】A.同旁内角相等，两直线平行；假命题；B.对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；C.相等的两个角是对顶角；假命题；D.圆内接四边形对角相等；假命题；故选：B.【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；熟练掌握相关性质和定理、定义是解题关键.19．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x 的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．20．下列命题是真命题的是（ ）A ．若x ＞y ，则x 2＞y 2B ．若|a|=|b|，则a=bC ．若a ＞|b|，则a 2＞b 2D ．若a ＜1，则a ＞1a【答案】C【解析】【分析】根据实数的乘方，绝对值的性质和倒数的意义等，对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．【详解】A. x ＞y ，如x=0，y=-1，02<(-1)2，此时x 2<y 2 ，故A 选项错误；B. |a|=|b|，如a=2，b=-2，此时a≠b ，故B 选项错误；C. 若a ＞|b|，则a 2＞b 2 ，正确；D. a ＜1，如a=-1，此时a=1a ，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题主要利用了实数的性质．。
人教版初中数学命题与证明的难题汇编含答案解析一、选择题1．下列命题中：①；②在同一平面内，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；③若ab ＝0，则P(a ，b)表示原点；9．是真命题的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】A【解析】【分析】根据立方根、平行线的判定和算术平方根判断即可．【详解】解：①≥0≤0不一定成立，错误； ②在同一平面内，若a b ⊥r r ，a c ⊥，则//b c ，正确； ③若0ab =，则(,)P a b 表示原点或坐标轴，错误；3，错误；故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．2．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．同角的余角相等D ．全等三角形的面积相等【答案】B【解析】【分析】根据对顶角得性质、平行线得性质、余角得等于及全等三角形得性质逐一判断即可得答案．【详解】A.对顶角相等是真命题，故该选项不合题意，B.两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题，符合题意，C.同角的余角相等是真命题，故该选项不合题意，D.全等三角形的面积相等是真命题，故该选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【解析】【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B ≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C ≥90°，即∠B+∠C ≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.4．下列各命题的逆命题是真命题的是A ．对顶角相等B ．全等三角形的对应角相等C ．相等的角是同位角D ．等边三角形的三个内角都相等【答案】D【解析】【分析】分别写出四个命题的逆命题：相等的角为对顶角；对应角相等的两三角形全等；同位角相等；三个角都相等的三角形为等边三角形；然后再分别根据对顶角的定义对第一个进行判断；根据三角形全等的判定方法对第二个进行判断；根据同位角的性质对第三个进行判断；根据等边三角形的判定方法对第四个进行判断．【详解】A 、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以A 选项错误；B 、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以B 选项错误；C 、“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”，此逆命题为假命题，所以C 选项错误；D 、“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题，所以D 选项正确．故选D.【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．5．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．若0a b +>，则a ，b 都是正数C ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等D ．垂直于同一条直线的两条直线平行【答案】D【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据定义依次判断即可得到答案.【详解】A. 若a b =，则a b =±，故A 错误；B. 若0a b +>，则a ，b 中至少有一个数是正数，且正数绝对值大于负数的绝对值，故B 错误；C. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故C 错误；D. 垂直于同一条直线的两条直线平行正确，故选：D.【点睛】此题考查判断真假命题，正确掌握命题的分类并理解事件的正确与否是解题的关键.6．下列命题中是假命题的是（ ）A ．一个锐角的补角大于这个角B ．凡能被2整除的数，末位数字必是偶数C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．相反数等于它本身的数是0【答案】C【解析】试题分析：利用锐角的性质、偶数的定义、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项．A 、一个锐角的补角大于这个角，正确，是真命题，不符合题意；B 、凡能被2整除的数，末尾数字必是偶数，正确，是真命题，不符合题意；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，故错误，是假命题，符合题意；D、相反数等于他本身的数是0，正确，是真命题，不符合题意考点：命题与定理．7．下列命题的逆命题不成立的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等C．平行四边形的对角线互相平分D．全等三角形的对应边相等【答案】B【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】选项A，两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，成立；选项B，如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是平方相等的两个数相等，错误，不成立，如（﹣3）2＝32，但﹣3≠3；选项C，平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，成立；选项D，全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，正确，成立；故选B．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．8．下列命题中，正确的命题是（）A．度数相等的弧是等弧B．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．垂直于弦的直径平分弦D．三角形的外心到三边的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等弧或垂径定理，正多边形的性质一一判断即可；【详解】A、完全重合的两条弧是等弧，错误；B、正五边形不是中心对称图形，错误；C、垂直于弦的直径平分弦，正确；D、三角形的外心到三个顶点的距离相等，错误；故选：C．【点睛】此题考查命题与定义，正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．下列命题中①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等②如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形④等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形⑤一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定逐个判断即可．【详解】根据等腰三角形的三线合一可知，底边中点在顶角角平分线上，再根据角平分线的性质可知，其到两腰的距离相等，则命题①正确全等的三角形不一定是成轴对称，则命题②错误成轴对称的两个三角形一定全等，则命题③正确等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形，则命题④错误成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，则命题⑤错误综上，正确命题的个数是2个故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定等知识点，掌握理解各定义与性质是解题关键．10．下列各命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等【答案】C【解析】试题分析：首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；B、绝对值相等的两个数相等，错误；C、同位角相等，两条直线平行，正确；D、相等的两个角都是45°，错误．故选C．11．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．对顶角互补C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等=-的图像上．D．如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P在直线y x【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质定理对A、C进行判断；利用对顶角的性质对B进行判断；根据直角坐标系下点坐标特点对D进行判断．【详解】A．两直线平行，同位角相等，故A是假命题；B．对顶角相等，故B是假命题；C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故C是假命题；=-的图像上，故D是真命D．如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P在直线y x题故选：D【点睛】本题考查了真命题与假命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．利用了平行线性质、对顶角性质、直角坐标系中点坐标特点等知识点．12．用反证法证明命题：“在三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是（）A．在三角形中，至少有一个内角是直角B．在三角形中，至少有两个内角是直角C．在三角形中，没有一个内角是直角D．在三角形中，至多有两个内角是直角【答案】B【解析】【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”.【详解】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的否命题正确，∴应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.故选：B.【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可.13．已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．【详解】解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．14．下列命题是真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．相等的两个角是对顶角D．圆内接四边形对角相等【答案】B【解析】【分析】由平行线的判定方法得出A是假命题；由平行四边形的判定定理得出B是真命题；由对顶角的定义得出C是假命题；由圆内接四边形的性质得出D是假命题；综上，即可得出答案.【详解】A.同旁内角相等，两直线平行；假命题；B.对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；C.相等的两个角是对顶角；假命题；D.圆内接四边形对角相等；假命题；故选：B.【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；熟练掌握相关性质和定理、定义是解题关键.15．下列命题是真命题的是()A．一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理以及矩形、正方形的判定即可逐一判断．【详解】解：如下图，若四边形ABCD，AD∥BC，∠A=∠C，∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；B、对角线相等的四边形也可能为等腰梯形，故B错误；C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形也可能为等腰梯形，故C错误；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定定理，是基础知识要熟练掌握．16．下列命题的逆命题不正确．．．的是（）A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角互补C．矩形的对角线相等D．平行四边形的对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】A 、逆命题是：对顶角相等．正确；B 、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确；C 、逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误；D 、逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．17．已知：在ABC V 中，AB AC ≠，求证：.B C ∠≠∠若用反证法来证明这个结论，可以假设( )A ．AB ∠=∠B ．AB BC = C ．B C ∠=∠D ．A C ∠=∠【答案】C【解析】【分析】反证法的步骤:1、假设命题反面成立;2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾;3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.【详解】已知：在ABC V 中，AB AC ≠，求证：.B C ∠≠∠若用反证法来证明这个结论，可以假设B C ∠=∠,由“等角对等边”可得AB=AC,这与已知矛盾，所以.B C ∠≠∠故选C【点睛】本题考核知识点：反证法. 解题关键点：理解反证法的一般步骤.18．下列说法正确的是（ ）①函数y =x 的取值范围是13x …． ②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．④同旁内角互补是真命题．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根．A ．①②③B ．①④⑤C ．②④D ．③⑤【答案】D【解析】【分析】根据二次根式定义，等腰三角形性质，正多边形内角和外角关系，平行线性质，根判别式定义进行分析即可.【详解】①函数y =x 的取值范围是13x >-，故错误． ②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根，正确， 故选D ．【点睛】此类题的知识综合性非常强．要求对每一个知识点都要非常熟悉．注意：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，弄清等腰三角形的三线合一指的是哪三条线段，熟悉多边形的内角和公式和外角和公式，熟练配方法的步骤;理解正多边形内角和外角关系；熟记根判别式．19．下列命题是假命题的是（ ）A ．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等B ．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16C ．将一次函数y ＝3x -1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限D ．若关于x 的一元一次不等式组0213x m x -≤⎧⎨+>⎩无解，则m 的取值范围是1m £ 【答案】B【解析】【分析】利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；C. 将一次函数y ＝3x -1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；D. 若关于x 的一元一次不等式组0213x m x -≤⎧⎨+>⎩无解，则m 的取值范围是1m £，正确，是真命题；故答案为：B【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．20．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设()A．三角形的三个外角都是锐角B．三角形的三个外角中至少有两个锐角C．三角形的三个外角中没有锐角D．三角形的三个外角中至少有一个锐角【答案】B【解析】【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【详解】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，故选B．【点睛】.在假设结论不成立时要注意考虑结考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．。
（专题精选）初中数学命题与证明的难题汇编含解析一、选择题1．下列命题中：①；②在同一平面内，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；③若ab ＝0，则P(a ，b)表示原点；9．是真命题的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】A【解析】【分析】根据立方根、平行线的判定和算术平方根判断即可．【详解】解：①≥0≤0不一定成立，错误； ②在同一平面内，若a b ⊥r r ，a c ⊥，则//b c ，正确； ③若0ab =，则(,)P a b 表示原点或坐标轴，错误；3，错误；故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．2．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ）A ．两条直线B ．相交C ．只有一个交点D ．两条直线相交【答案】D【解析】【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系.3．下列命题是假命题的是（ ）A ．有一个角为60︒的等腰三角形是等边三角形B ．等角的余角相等C ．钝角三角形一定有一个角大于90︒D ．同位角相等【答案】D【解析】【分析】【详解】解：选项A 、B 、C 都是真命题；选项D ，两直线平行，同位角相等，选项D 错误，是假命题，故选：D ．4．已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【解析】【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B ≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C ≥90°，即∠B+∠C ≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.5．下列命题中是假命题的是（ ）A ．一个锐角的补角大于这个角B ．凡能被2整除的数，末位数字必是偶数C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．相反数等于它本身的数是0【答案】C【解析】试题分析：利用锐角的性质、偶数的定义、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项．A、一个锐角的补角大于这个角，正确，是真命题，不符合题意；B、凡能被2整除的数，末尾数字必是偶数，正确，是真命题，不符合题意；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，故错误，是假命题，符合题意；D、相反数等于他本身的数是0，正确，是真命题，不符合题意考点：命题与定理．6．下列说法中，正确．．的是( )A．图形的平移是指把图形沿水平方向移动.B．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变.C．“相等的角是对顶角”是一个真命题D．“直角都相等”是一个假命题【答案】B【解析】图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．而相等的角不一定是对顶角，C是一个假命题，直角都相等是真命题．故选B7．下列命题中，正确的命题是（）A．度数相等的弧是等弧B．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．垂直于弦的直径平分弦D．三角形的外心到三边的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等弧或垂径定理，正多边形的性质一一判断即可；【详解】A、完全重合的两条弧是等弧，错误；B、正五边形不是中心对称图形，错误；C、垂直于弦的直径平分弦，正确；D、三角形的外心到三个顶点的距离相等，错误；故选：C．【点睛】此题考查命题与定义，正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．下列语句中真命题有( )①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间线段最短；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D【解析】【分析】利用点到直线的距离的定义、平行线的性质、线段公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解:①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离,故错误,是假命题;②两直线平行,内错角相等,故错误,是假命题;③两点之间线段最短,正确,是真命题;④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,错误,是假命题;⑤在同一平面内,若两条直线都与第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行,正确,是真命题.真命题有2个,故选D．【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识,解决本题的关键是要熟练掌握点到直线的距离的定义、平行线的性质、线段公理等知识.9．下列命题是假命题的是（）A．同角（或等角）的余角相等B．三角形的任意两边之和大于第三边C．三角形的内角和为180°D．两直线平行，同旁内角相等【答案】D【解析】【分析】利用余角的定义、三角形的三边关系、三角形的内角和及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、同角（或等角）的余角相等，正确，是真命题；B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题；C、三角形的内角和为180°，正确，是真命题；D、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，故选D．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解余角的定义、三角形的三边关系、三角形的内角和及平行线的性质，难度不大．10．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（）A．该命题为假命题 B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题 D．该命题没有逆命题【答案】B【解析】分析：首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．详解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，故选：B．点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题，难度不大．11．下列四个命题中，其正确命题的个数是（）①若ac＞bc，则a＞b；②平分弦的直径垂直于弦；③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边形；④反比例函数y＝kx．当k＜0时，y随x的增大而增大A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】根据不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：①若ac＞bc，如果c＞0，则a＞b，故原题说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原题说法错误；③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边，故原题说法正确；④反比例函数y＝kx．当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大，故原题说法错误；正确命题有1个，故选：A．【点睛】本题考查了判断命题的真假，解题的关键是掌握不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质进行判断.12．下列说法正确的是( )A．相等的角是对顶角B．在平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两条直线被第三条直线所截,内错角相等D．在平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故A错误；在平面内,经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B错误；两直线平行，内错角相等，故C错误；在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D正确；故答案为D.【点睛】此题主要考查了命题的真假判断，掌握定理并灵活运用是解题的关键.13．下列命题中，其中真命题的个数是（）①平面直角坐标系内的点与实数对一一对应；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④对顶角相等A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据真命题的定义依次进行判断.【详解】①平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，是假命题；②两直线平行，内错角相等，是假命题；③平行于同一条直线的两条直线不一定相互平行，是真命题；④对顶角相等，是真命题；故选：B．【点睛】此题考查真命题的定义，正确掌握坐标与图形，平行线的性质，平行公理，对顶角性质是解题的关键.14．下列说法正确的是()A．若a＞b，则a2＞b2B．若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a、b、c为边一定能组成三角形C．两直线平行，同旁内角相等D．三角形的外角和为360°【答案】D【解析】【分析】利用特例对A进行分析，利用三角形三边关系、平行线的性质、三角形外角的性质分别对B、C、D进行分析判断．【详解】A、若a＞b，则不一定有a2＞b2，比如a＝0,b＝﹣1，故本选项错误；B、若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a、b、c为边不一定能组成三角形，故本选项错误；C、两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误；D、三角形的外角和为360°，故本选项正确；故选：D【点睛】本题考查真假命题的判断，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断．15．下列命题中正确的有（）个①平分弦的直径垂直于弦；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线；③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半；④平面内三点确定一个圆；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理的推论对①进行判断；根据切线的判定定理对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断；根据三角形外心的性质对⑤进行判断．【详解】①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，错误；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，正确；③在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，错误；④平面内不共线的三点确定一个圆，错误；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，正确；故正确的命题有2个故答案为：B．【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握垂径定理的推论、切线的判定定理、圆周角定理、确定圆的条件、三角形外心的性质是解题的关键．16．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．若两直线被第三条直线所截，同旁内角互补C．同旁内角相等，两直线平行D．平行于同一直线的两直线互相平行【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定、平行线的性质判断即可．【详解】A、两直线平行，同位角相等，是假命题；B、若两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题；C、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；D、平行于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；故选：D．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．17．下列命题是假命题的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．等边三角形有3条对称轴C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】A．正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；B．正确．等边三角形有3条对称轴；C．错误，SSA无法判断两个三角形全等；D．正确．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．18．已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．【详解】解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．19．下列正确说法的个数是（）①同位角相等；②等角的补角相等；③两直线平行，同旁内角相等；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质以及等角或同角的补角相等的知识，即可求得答案．【详解】解：∵两直线平行，同位角相等，故①错误；∵等角的补角相等，故②正确；∵两直线平行，同旁内角互补，故③错误；∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④正确．∴正确说法的有②④．故选B．【点睛】此题考查了平行线的性质与对顶角的性质，以及等角或同角的补角相等的知识．解题的关键是注意需熟记定理．20．下列命题是真命题的是（）A．方程2--=的二次项系数为3，一次项系数为-2x x3240B．四个角都是直角的两个四边形一定相似C．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖D．对角线相等的四边形是矩形【答案】A【解析】【分析】根据所学的公理以及定理，一元二次方程的定义，概率等知识，对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．【详解】A、正确．B、错误，对应边不一定成比例．C、错误，不一定中奖．D、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形.故选：A．【点睛】此题考查命题与定理，熟练掌握基础知识是解题关键．。
新初中数学命题与证明的难题汇编及答案解析(1)一、选择题1．下列命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直x=B．方程214=的解为14x xC．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【答案】D【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C不正确；由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．【详解】A．矩形对角线互相垂直，不正确；B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；C．六边形内角和为540°，不正确；D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选D.【点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．2．下列命题中是假命题的是（）A．一个锐角的补角大于这个角B．凡能被2整除的数，末位数字必是偶数C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．相反数等于它本身的数是0【答案】C【解析】试题分析：利用锐角的性质、偶数的定义、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项．A、一个锐角的补角大于这个角，正确，是真命题，不符合题意；B、凡能被2整除的数，末尾数字必是偶数，正确，是真命题，不符合题意；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，故错误，是假命题，符合题意；D、相反数等于他本身的数是0，正确，是真命题，不符合题意考点：命题与定理．3．下列命题的逆命题不成立的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等C．平行四边形的对角线互相平分D．全等三角形的对应边相等【答案】B【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】选项A，两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，成立；选项B，如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是平方相等的两个数相等，错误，不成立，如（﹣3）2＝32，但﹣3≠3；选项C，平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，成立；选项D，全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，正确，成立；故选B．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．4．下列命题正确的是( )A．在同一平面内，可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的.B．两个全等的图形之间必有平移关系.C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等.D．将一个封闭图形旋转，旋转中心只能在图形内部.【答案】A【解析】【分析】根据平移的性质：平移后图形的大小、方向、形状均不发生改变结合选项即可得出答案．【详解】解：A、经过旋转后的图形两个图形的大小和形状也不变，半径相等的两个圆是等圆，圆还具有旋转不变性，故本选项正确；B、两个全等的图形位置关系不明确，不能准确判定是否具有平移关系，错误；C、三角形经过旋转，对应线段相等但不一定平行，所以本选项错误；D、旋转中心可能在图形内部，也可能在图形边上或者图形外面，所以本选项错误.故选：A.【点睛】本题考查平移、旋转的基本性质，注意掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．5．以下说法中：（1）多边形的外角和是360 ；（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（3）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角.其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】利用多边形的外角和定理、平行线的性质及三角形的内角和定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：（1）多边形的外角和是360°，正确，是真命题；（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故错误，是假命题；（3）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角，正确，是真命题，真命题有2个，故选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的外角和定理、平行线的性质及三角形的内角和定理，难度不大．6．下列命题的逆命题成立的是（）A．对顶角相等B．全等三角形的对应角相等C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等D．两直线平行，同位角相等【答案】D【解析】【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可．【详解】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立；B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；C、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立；D、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大．7．下列命题是真命题的是（ ）A ．方程23240x x --=的二次项系数为3，一次项系数为-2B ．四个角都是直角的两个四边形一定相似C ．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖D ．对角线相等的四边形是矩形【答案】A【解析】【分析】根据所学的公理以及定理，一元二次方程的定义，概率等知识，对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．【详解】A 、正确．B 、错误，对应边不一定成比例．C 、错误，不一定中奖．D 、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形.故选：A ．【点睛】此题考查命题与定理，熟练掌握基础知识是解题关键．8．下列命题：①直角三角形的两个锐角互余；②同旁内角互补；③如果直线12l l P ，直线23l l P ，那 么13l l P ．其中真命题的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】【分析】利用直角三角形的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题；②两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题； ③如果直线12l l P ，直线23l l P ，那 么13 l l P ，正确，是真命题； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了命题与定理，掌握命题与定理是解题的关键．9．下列命题是真命题的个数是（ ）．①64的平方根是8±；②22a b =，则a b =；③三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；④三角形三边的垂直平分线交于一点．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可.【详解】①64的平方根是8±，正确，是真命题；②22a b =，则不一定a b =，可能=-a b ；故错误；③根据角平分线性质，三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；是真命题；④根据三角形外心定义，三角形三边的垂直平分线交于一点，是真命题；故选：C【点睛】考核知识点：命题的真假.理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质是关键.10．下列命题中真命题是（ ）A ．若a 2=b 2,则a=bB ．4的平方根是±2C ．两个锐角之和一定是钝角D ．相等的两个角是对顶角【答案】B【解析】【分析】利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、若a 2=b 2,则a=±b ，错误，是假命题；B 、4的平方根是±2，正确，是真命题；C 、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；D 、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题.故选B ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义，难度不大．11．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x 的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．12．下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．【详解】①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；②两点之间线段最短；真命题；③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；④平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选：A ．【点睛】考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．13．下列命题属于真命题的是（ ）A ．同旁内角相等，两直线平行B ．相等的角是对顶角C．平行于同一条直线的两条直线平行D．同位角相等【答案】C【解析】【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．【详解】A、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；B、相等的角不一定是对顶角，是假命题；C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；D、两直线平行，同位角相等，是假命题；故选C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．14．用反证法证明命题：“在三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是（）A．在三角形中，至少有一个内角是直角B．在三角形中，至少有两个内角是直角C．在三角形中，没有一个内角是直角D．在三角形中，至多有两个内角是直角【答案】B【解析】【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”.【详解】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的否命题正确，∴应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.故选：B.【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可.15．下列命题中是假命题的是( )A．一个三角形中至少有两个锐角B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行C．同角的补角相等aD．如果a为实数，那么0【答案】DA. 一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题；C. 同角的补角相等，是真命题；D. 如果a 为实数，那么|a|>0，是假命题；如：0是实数，|0|=0，故D 是假命题； 故选：D.16．下列命题的逆命题不正确的是（ ）A ．全等三角形的对应边相等B ．两直线平行，同位角相等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．矩形的对角线相等．【答案】D【解析】【分析】根据求逆命题的原则，把原命题的结论作为条件，原命题的条件作为结论得到的命题是原命题的逆命题，逐一判断逆命题的正误即可．【详解】解：A 的逆命题是：对应边相等的三角形是全等三角形，正确；B 的逆命题是：同位角相等，两直线平行，正确；C 的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形，正确；D 的逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误故选：D【点睛】本题考查逆命题、全等三角形的判定、平行线的判定、等腰三角形的判定、矩形的判定，解题的关键是正确找出各选项的逆命题．17．下列选项中，能说明命题“若22a b >，则a b >”是假命题的反例是( )A ．1a =-，2b =B ．2a =，1b =-C ．1a =，2b =-D ．2a =-，1b =【答案】D【解析】【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，作答本题直接利用选项中数据代入求出答案．【详解】A. 当1a =-，2b =时，2a ＜2b ，a ＜b ，则此选项不是假命题的反例；B. 当2a =，1b =-时，2a ＞2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；C. 当1a =，2b =-时，2a ＜2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；D. 当2a =-，1b =时，2a ＞2b ，a ＜b ，则此选项是假命题的反例，【点睛】本题考查真命题与假命题．要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．18．下列说法正确的是（ ）①函数y =x 的取值范围是13x …． ②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．④同旁内角互补是真命题．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根．A ．①②③B ．①④⑤C ．②④D ．③⑤ 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式定义，等腰三角形性质，正多边形内角和外角关系，平行线性质，根判别式定义进行分析即可.【详解】①函数y =x 的取值范围是13x >-，故错误． ②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根，正确， 故选D ．【点睛】此类题的知识综合性非常强．要求对每一个知识点都要非常熟悉．注意：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，弄清等腰三角形的三线合一指的是哪三条线段，熟悉多边形的内角和公式和外角和公式，熟练配方法的步骤;理解正多边形内角和外角关系；熟记根判别式．19．下面命题的逆命题正确的是（ ）A ．对顶角相等B ．邻补角互补C ．矩形的对角线互相平分D ．等腰三角形两腰相等【答案】D【解析】【分析】先分别写出四个命题的逆命题，然后利用对顶角的定义、邻补角的定义、矩形的判断和等腰三角形的判定方法对各命题的真假进行判断．【详解】解：A.对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；B.邻补角互补的逆命题为互补的角为邻补角，此逆命题为假命题；C.矩形的对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形为矩形，此逆命题为假命题；D.等腰三角形两腰相等的逆命题为两边相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题． 故答案为D ．【点睛】本题考查了命题与定理,掌握举出反例法是判断命题的真假的重要方法．20．用三个不等式,0,a b ab a b >>>中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A【解析】【分析】由题意得出三个命题，根据不等式的性质判断命题的真假.【详解】若,0a b ab >>，则a b >为假命题.反例：a=-1,b=-2 若,a b a b >>，则0ab >为假命题.反例：a=2,b=-1 若0,ab a b >>，则a b >为假命题.反例:a=-2,b=-1故选：A【点睛】 本题考查了命题与不等式的性质，解题的关键在于根据题意得出命题，根据不等式的性质判断真假.。
（专题精选）初中数学命题与证明的难题汇编及答案解析一、选择题1．下列命题是真命题的是（ ）A ．若x ＞y ，则x 2＞y 2B ．若|a|=|b|，则a=bC ．若a ＞|b|，则a 2＞b 2D ．若a ＜1，则a ＞1a【答案】C【解析】【分析】根据实数的乘方，绝对值的性质和倒数的意义等，对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．【详解】A. x ＞y ，如x=0，y=-1，02<(-1)2，此时x 2<y 2 ，故A 选项错误；B. |a|=|b|，如a=2，b=-2，此时a≠b ，故B 选项错误；C. 若a ＞|b|，则a 2＞b 2 ，正确；D. a ＜1，如a=-1，此时a=1a，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题主要利用了实数的性质．2．已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【解析】【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B ≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C ≥90°，即∠B+∠C ≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.3．下列命题是真命题的个数是（ ）．①64的平方根是8±；②22a b =，则a b =；③三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；④三角形三边的垂直平分线交于一点．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可.【详解】①64的平方根是8±，正确，是真命题；②22a b =，则不一定a b =，可能=-a b ；故错误；③根据角平分线性质，三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；是真命题；④根据三角形外心定义，三角形三边的垂直平分线交于一点，是真命题；故选：C【点睛】考核知识点：命题的真假.理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质是关键.4．下列命题是假命题的是( )A ．对顶角相等B ．两直线平行，同旁内角相等C ．平行于同一条直线的两直线平行D ．同位角相等，两直线平行【答案】B【解析】解：A ．对顶角相等是真命题，故本选项正确，不符合题意；B ．两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误，符合题意；C ．平行于同一条直线的两条直线平行是真命题，故本选项正确，不符合题意；D ．同位角相等，两直线平行是真命题，故本选项正确，不符合题意．故选B ．5．下列命题正确的是（ ）A ．矩形的对角线互相垂直平分B ．一组对角相等，一组对边平行的四边形一定是平行四边形C ．正八边形每个内角都是145oD ．三角形三边垂直平分线交点到三角形三边距离相等【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质、平行四边形的判定、多边形的内角和及三角形垂直平分线的性质，逐项判断即可．【详解】A.矩形的对角线相等且互相平分，故原命题错误；B.已知如图：A C ∠=∠，//AB CD ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵//AB CD ，∴180A D +=︒∠∠，∵A C ∠=∠，∴180C D ∠+∠=︒，∴//AD BC ，又∵//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴一组对角相等，一组对边平行的四边形一定是平行四边形，故原命题正确；C.正八边形每个内角都是：()180821358︒⨯-=︒，故原命题错误； D.三角形三边垂直平分线交点到三角形三个顶点的距离相等，故原命题错误．故选：B ．【点睛】本题考查命题的判断，明确矩形性质、平行四边形的判定定理、多边形内角和公式及三角形垂直平分线的性质是解题关键．6．下列说法中，正确．．的是( ) A ．图形的平移是指把图形沿水平方向移动.B ．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变.C ．“相等的角是对顶角”是一个真命题D ．“直角都相等”是一个假命题【答案】B【解析】图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．而相等的角不一定是对顶角，C 是一个假命题，直角都相等是真命题．故选B7．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设()A．三角形的三个外角都是锐角B．三角形的三个外角中至少有两个锐角C．三角形的三个外角中没有锐角D．三角形的三个外角中至少有一个锐角【答案】B【解析】【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【详解】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，故选B．【点睛】.在假设结论不成立时要注意考虑结考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（）A．该命题为假命题 B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题 D．该命题没有逆命题【答案】B【解析】分析：首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．详解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，故选：B．点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题，难度不大．9．下列命题中正确的是（）．A．所有等腰三角形都相似B．两边成比例的两个等腰三角形相似C．有一个角相等的两个等腰三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形进行判断即可．【详解】解：A、所有等腰三角形不一定都相似，原命题是假命题；B、两边成比例的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；C、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，是真命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．10．下列命题中真命题是（）A．若a2=b2,则a=b B．4的平方根是±2C．两个锐角之和一定是钝角 D．相等的两个角是对顶角【答案】B【解析】【分析】利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、若a2=b2,则a=±b，错误，是假命题；B、4的平方根是±2，正确，是真命题；C、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；D、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题.故选B．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义，难度不大．11．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确；B、两直线平行，内错角相等，正确；C、等腰三角形的两个底角相等，正确；D、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.12．下列命题中，其中真命题的个数是（）①平面直角坐标系内的点与实数对一一对应；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④对顶角相等A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据真命题的定义依次进行判断.【详解】①平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，是假命题；②两直线平行，内错角相等，是假命题；③平行于同一条直线的两条直线不一定相互平行，是真命题；④对顶角相等，是真命题；故选：B．【点睛】此题考查真命题的定义，正确掌握坐标与图形，平行线的性质，平行公理，对顶角性质是解题的关键.13．下列命题中，真命题的是（）A．两条直线被第三条直线，同位角相等B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．点p（x，y），若y＝0，则点P在x轴上D a，则a＝﹣l【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据平行线的判定方法对B进行判断；根据x轴上点的坐标特征对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【详解】A、两条平行直线被第三条直线，同位角相等，所以A选项为假命题；B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以B选项为假命题；C、点p（x，y），若y＝0，则点P在x轴上，所以C选项为真命题；D a，则a＝0或a＝1，所以D选项为假命题．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．14．用反证法证明命题：“在三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是（）A．在三角形中，至少有一个内角是直角B．在三角形中，至少有两个内角是直角C．在三角形中，没有一个内角是直角D．在三角形中，至多有两个内角是直角【答案】B【解析】【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”.【详解】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的否命题正确，∴应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.故选：B.【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可.15．下列命题中是假命题的是( )A．一个三角形中至少有两个锐角B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行C．同角的补角相等aD．如果a为实数，那么0【答案】D【解析】A. 一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题；C. 同角的补角相等，是真命题；D. 如果a为实数，那么|a|>0，是假命题；如：0是实数，|0|=0，故D是假命题；故选：D.16．下列命题是假命题的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．等边三角形有3条对称轴C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】A．正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；B．正确．等边三角形有3条对称轴；C．错误，SSA无法判断两个三角形全等；D．正确．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．17．下列命题的逆命题不正确的是（）A．全等三角形的对应边相等B．两直线平行，同位角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．矩形的对角线相等．【答案】D【解析】【分析】根据求逆命题的原则，把原命题的结论作为条件，原命题的条件作为结论得到的命题是原命题的逆命题，逐一判断逆命题的正误即可．【详解】解：A的逆命题是：对应边相等的三角形是全等三角形，正确；B的逆命题是：同位角相等，两直线平行，正确；C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形，正确；D的逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误故选：D【点睛】本题考查逆命题、全等三角形的判定、平行线的判定、等腰三角形的判定、矩形的判定，解题的关键是正确找出各选项的逆命题．18．下列命题中，是假命题的是( )A ．任意多边形的外角和为360oB ．在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C VC ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等【答案】D【解析】【分析】根据相关的知识点逐个分析．【详解】解：A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题；B. 在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V ，根据HL ，是真命题；C. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.故选D ．【点睛】本题考核知识点：判断命题的真假. 解题关键点：熟记相关性质或定义．19．已知：在ABC V 中，AB AC ≠，求证：.B C ∠≠∠若用反证法来证明这个结论，可以假设( )A ．AB ∠=∠B ．AB BC = C ．B C ∠=∠D ．A C ∠=∠【答案】C【解析】【分析】反证法的步骤:1、假设命题反面成立;2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾;3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.【详解】已知：在ABC V 中，AB AC ≠，求证：.B C ∠≠∠若用反证法来证明这个结论，可以假设B C ∠=∠,由“等角对等边”可得AB=AC,这与已知矛盾，所以.B C ∠≠∠故选C【点睛】本题考核知识点：反证法. 解题关键点：理解反证法的一般步骤.20．下列语句中不正确的是（ ）A ．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直C．如果两个三角形，两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等D．角是轴对称图形，它的角平分线是对称轴【答案】D【解析】【分析】利用平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，正确；B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；C、如果两个三角形，两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等，正确；D、角是轴对称图形，它的平分线所在直线是它的对称轴，故错误；故选：D．【点睛】此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形，难度不大．。
/经典难题（一）1.已知：如圏*o是半圆的圆心，U E是圆上的两点f CD丄AB ’ EF丄AB , FG丄CO・求证! CD = GF.（初二）2.已知：如團，P是正方形ABCD内点（ZPAD = ZPDA=15^ 求证:-PBC^L E三角形•（初二）久如图,已知四边形ABC0 A1B1C1D1都是正方形,A2. 82. C2. D2分别是Ml. BBS CCS DD1的中点・4、已知：如圏，在四边形ABCD中「AD二BC,皿N分剧是AB、ED的中点f AD. BC的延长红交MN于匕F .求证:zDEN=zF ./经典难题（二）1.已知：必BC中「H为垂心（各边高线的交点厂0为外心，且丄BCTM .（1）求证：AH 二20M ;2、设MN是圆0外一直歧,过O作0A丄MNTA f自A引圆的两浆直经,交園于氏C 及D、E *直线EB及＜2D分别交MN于P、Q .求证：AP 二AQ,（初二｝久 如果上题把直宾MN 由圆夕卜平移至圆内「则由此可得以下命题：设MN 是圍O 的弦「过MN 的中点A 任作两弦BU DE ,设CD 、EB 分别交MN 于匕 Q- 求证：AP 二 AQ-（初二）4如圏.分别以-ABC 的AC 和BC 为迪f 在"BC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG *点P 是EF 的中点—求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半・（初二）/经典难题（三）1. 如图,四边形ABCD 为正方形p DE11AC , AE 二AG AE 与CD 相交于F ・ 求证：CEYF.（初二）E2、如图（四边形AB£D%正方形‘ DEIIAC,且CE二CA「直线EC交DA延长线于F・求证：AE 二AF * （初二）灵设卩是IE方形AB匚D—i£B匚上的任一点f PF丄AP * CF平分N DCE.求证:PA 二PF •（初二｝4、如图r PC切圆O于C ‘ AC为圆的直径「PEF为圆的割钱‘ AE. AF与直技P0相交/经典难题（四）1.已知:・ABC是正三角形「P是三角形内一点』PA二3 . PB二4 . PC二5 .求：zAPB的度数.（初二）A2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且zPBA = zPDA . 求证：wPAB 二N KB-（初二）土设ABCD为圆内接凸四边形f求证：AB CD + AD BC=AC BD .4.平行四边H^ABCD中.设巳F分刮星BU AB上的一点.AE^CF相亦于P ,旦Z经典唯题（五）丄、设P是边民为1的正-ABC内任一点「L二PA十PB十PG 求证：^3^L<22、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA十PB十PC的最小值•3.P为正方形A BCD内的一点*井且PA二日，PB二PC二求正厅形的边长.■ F ■M14、如圏f-AB匚中r zABC = zACB = 80^rf D、E分别是AB. AC上的点」zDCA = ⑷度「zEBA = 20g .求胡FD前度数.答案3-如下團连接叽和的乂分别找其中点兀E.连接C吏与扎E并延长相交于Q点, 连接EB虫并延长交C■叢于H点，连接F弘并延长交触于G点，由kE--LA,BFB; , EB z-l r AB=+BC=FC ,又上GF申和ZGEB尹NQ=4g所以2GEB云NGFQ 又/B^FC尸Z^EB』、可得ABaFC^AAaEB；!,所以,又ZGFQ^ZHB2F=9tf 和ZGFGNEB2A2 3从而可得ZA2B2 C1=9^ ,同理可得玻也边垂直且相等，从而得出四边刑正厅形。
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证明（一）一、选择题1。
下列句子中，不是命题的是（ ）（A)三角形的内角和等于180度 (B ）对顶角相等（C ）过一点作已知直线的平行线 （D ）两点确定一条直线 2. 下列说法中正确的是( ）（A)两腰对应相等的两个等腰三角形全等 （B)两锐角对应相等的两个直角三角形全等 （C)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (D ）面积相等的两个三角形全等 3. 下列命题是假命题的是（ ）（A)如果a b ∥,b c ∥，那么a c ∥ （B ）锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° （C ）两条直线被第三条直线所截，内错角相等 （D ）矩形的对角线相等且互相平分 4。
ABC △中，120A B +=∠∠,C A =∠∠，则ABC △是（ ）． （A ）钝角三角形（B)等腰直角三角形（C ）直角三角形（D)等边三角形5。
在ABC △中，A ∠，B ∠的外角分别是120°、150°，则C =∠（ ）． （A ）120°(B ）150°(C ）60°（D)90°6．如图1,l 1∥l 2，∠1=50°， 则∠2的度数是( ） （A)135° （B ）130° （C ）50° （D ）40° 7．如图2所示，不能推出AD BC ∥的是（ ） （A ）180DAB ABC +=∠∠ （B ）24=∠∠ （C ）13=∠∠ （D)CBE DAE =∠∠8. 如图3，a b ∥，c a ⊥，1130=∠，则2∠等于（ ） （A ）30°（B ）40° （C ）50° (D ）60°图1 图29。
新初中数学命题与证明的难题汇编及答案(1)一、选择题1．下列命题中，其中真命题的个数是（）①平面直角坐标系内的点与实数对一一对应；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④对顶角相等A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据真命题的定义依次进行判断.【详解】①平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，是假命题；②两直线平行，内错角相等，是假命题；③平行于同一条直线的两条直线不一定相互平行，是真命题；④对顶角相等，是真命题；故选：B．【点睛】此题考查真命题的定义，正确掌握坐标与图形，平行线的性质，平行公理，对顶角性质是解题的关键.2．下列命题中逆命题是假命题的是（）A．如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等B．如果a2=9，那么a=3C．对顶角相等D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等【答案】C【解析】【分析】首先写出各命题的逆命题（将每个命题的题设与结论调换），然后再证明各命题的正误．因为相等的角不只是对顶角，所以此答案是假命题，继而得到正确答案．【详解】解：A、逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等．是真命题；B、逆命题为：如果a=3，那么a2=9．是真命题；C、逆命题为：相等的角是对顶角．是假命题；D、逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上．是真命题．故选C．此题考查了命题与逆命题的关系．解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误即可．3．下列命题中正确的是（ ）．A ．所有等腰三角形都相似B ．两边成比例的两个等腰三角形相似C ．有一个角相等的两个等腰三角形相似D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形进行判断即可．【详解】解：A 、所有等腰三角形不一定都相似，原命题是假命题；B 、两边成比例的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；C 、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；D 、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．4．下列命题是真命题的个数是（ ）．①64的平方根是8±；②22a b =，则a b =；③三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；④三角形三边的垂直平分线交于一点．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可.【详解】①64的平方根是8±，正确，是真命题；②22a b =，则不一定a b =，可能=-a b ；故错误；③根据角平分线性质，三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；是真命题；④根据三角形外心定义，三角形三边的垂直平分线交于一点，是真命题；故选：C【点睛】考核知识点：命题的真假.理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质5．现给出下列四个命题：①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②相似三角形的面积比等于它们的相似比；③菱形的面积等于两条对角线的积；④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°．其中不正确的命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①根据等边三角形的性质知，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；②由相似三角形的性质知相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，错误；③根据菱形的面积公式，错误；④根据三角形内角和定理可知，三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°，正确．综合以上分析，不正确的命题包括①②③．故选C．6．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．【详解】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，逆命题错误，也可以有都是负数，所以逆命题成立的只有一个，故选B.【点睛】本题考查了互逆命题，真命题与假命题，真命题要运用相关知识进行推导，假命题要通过举反例来进行否定.7．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设()A．三角形的三个外角都是锐角B．三角形的三个外角中至少有两个锐角C．三角形的三个外角中没有锐角D．三角形的三个外角中至少有一个锐角【答案】B【解析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【详解】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，故选B ．【点睛】考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8．用三个不等式,0,a b ab a b >>>中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A【解析】【分析】由题意得出三个命题，根据不等式的性质判断命题的真假.【详解】若,0a b ab >>，则a b >为假命题.反例：a=-1,b=-2 若,a b a b >>，则0ab >为假命题.反例：a=2,b=-1 若0,ab a b >>，则a b >为假命题.反例:a=-2,b=-1 故选：A【点睛】本题考查了命题与不等式的性质，解题的关键在于根据题意得出命题，根据不等式的性质判断真假.9．下列命题是真命题的是（ ）A ．中位数就是一组数据中最中间的一个数B ．一组数据的众数可以不唯一C ．一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根D ．已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三条边，则a 2+b 2＝c 2【答案】B【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据定义判断即可.【详解】解：A、中位数就是一组数据中最中间的一个数或着是中间两个数的平均数，故错误；B、一组数据的众数可以不唯一，故正确；C、一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，故此选项错误；D、已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，当∠C＝90°时，则a2+b2＝c2，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题考查真命题的定义，掌握定义，准确理解各事件的正确与否是解题的关键.10．下列说法正确的是( )A．相等的角是对顶角B．在平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两条直线被第三条直线所截,内错角相等D．在平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故A错误；在平面内,经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B错误；两直线平行，内错角相等，故C错误；在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D正确；故答案为D.【点睛】此题主要考查了命题的真假判断，掌握定理并灵活运用是解题的关键.11．在下列各原命题中，其逆命题为假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等【答案】D【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】A、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；B、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；C、逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故此选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，是假命题，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．12．下列命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直x=B．方程214=的解为14x xC．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【答案】D【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C不正确；由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．【详解】A．矩形对角线互相垂直，不正确；B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；C．六边形内角和为540°，不正确；D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选D.【点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．13．下列命题属于真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．相等的角是对顶角C．平行于同一条直线的两条直线平行D．同位角相等【答案】C【解析】【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．【详解】A 、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；B 、相等的角不一定是对顶角，是假命题；C 、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；D 、两直线平行，同位角相等，是假命题；故选C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．14．下列四个命题中：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交②有且只有一条直线垂直于已知直线③两条直线被第三条直线所截，同位角相等④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2 个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】分析：利用平行公理及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义分别分析求出即可．详解：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，正确；②在同一个平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线，此选项错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，错误；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，错误； 真命题有1个.故选A.点睛：本题考查了命题与定理.其中真命题是由题设得出结论，如果不能由题设得出结论则称为假命题.题干中②、③、④，均不能由题设得出结论故不为真命题.15．下列命题中，是假命题的是( )A ．任意多边形的外角和为360oB ．在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C VC ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等【答案】D【解析】【分析】根据相关的知识点逐个分析．【详解】解：A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题；B. 在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V ，根据HL ，是真命题；C. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.故选D ．【点睛】本题考核知识点：判断命题的真假. 解题关键点：熟记相关性质或定义．16．下列命题的逆命题不正确．．．的是（ ） A ．相等的角是对顶角B ．两直线平行，同旁内角互补C ．矩形的对角线相等D ．平行四边形的对角线互相平分 【答案】C【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】A 、逆命题是：对顶角相等．正确；B 、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确；C 、逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误；D 、逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．17．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．18．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．对顶角互补C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等=-的图像上．D．如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P在直线y x【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质定理对A、C进行判断；利用对顶角的性质对B进行判断；根据直角坐标系下点坐标特点对D进行判断．【详解】A．两直线平行，同位角相等，故A是假命题；B．对顶角相等，故B是假命题；C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故C是假命题；=-的图像上，故D是真命D．如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P在直线y x题故选：D【点睛】本题考查了真命题与假命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．利用了平行线性质、对顶角性质、直角坐标系中点坐标特点等知识点．19．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是（）A．两直线平行，内错角相等; B．相等的角是对顶角;C．所有的直角都是相等的；D．若a=b,则a－1=b－1.【答案】C【解析】【分析】【详解】分析：写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．详解：交换命题A的题设和结论，得到的新命题是内错角相等，两直线平行，是真命题；交换命题B的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等，是真命题；交换命题C的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角，是假命题；交换命题D的题设和结论，得到的新命题是若a﹣1=b﹣1，则a=b，是真命题．故选C．点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．下列命题中真命题是（）A．若a2=b2,则a=b B．4的平方根是±2C．两个锐角之和一定是钝角 D．相等的两个角是对顶角【答案】B【解析】【分析】利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、若a2=b2,则a=±b，错误，是假命题；B、4的平方根是±2，正确，是真命题；C、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；D、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题.故选B．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义，难度不大．。
2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题（含答案解析）类型一三角形全等1.(2022·西藏)如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC.求证：△ABD≌△ACD．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)．2.(2022·湖南省益阳市)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD//AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≌△ABC．【答案】证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，∴∠DEC =∠B =90°，∵CD//AB ，∴∠A =∠DCE ，在△CED 和△ABC 中，∠DCE =∠A CE =AB ∠DEC =∠B ，∴△CED≌△ABC(ASA)．3.(2022·江苏省南通市)如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．(1)求证：∠A =∠C ；(2)求证：AB//CD ．【答案】证明：(1)在△AOB 和△COD 中，OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD ,∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠A =∠C ；(2)由(1)得∠A =∠C ，∴AB//CD ．4.(2022·上海市)如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF =BE ，AE 2=AQ ⋅AB ．求证：(1)∠CAE =∠BAF ；(2)CF ⋅FQ =AF ⋅BQ ．【答案】证明：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CF−EF=BE−EF，即CE=BF，在△ACE和△ABF中，AC=AB∠C=∠BCE=BF，∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE=∠BAF；(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，∵AE2=AQ⋅AB，AC=AB，∴AE AQ=AC AF，∴△ACE∽AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴CF BQ=AF FQ，即CF⋅FQ=AF⋅BQ．5.(2022·贵州省铜仁市)如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.求证：△ABC≌△CDE．【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∠BCA=∠DEC∠B=∠DAB=CD，∴△ABC≌△CDE(AAS)．6.(2022·广东省云浮市)如图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：△OPD≌△OPE．【答案】证明：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OPPD=PE，∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)．7.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB//DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF．【答案】证明：∵AB//DE，∴∠A=∠EDF．在△ABC和△DEF中，∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC=DF，∴AC−DC=DF−DC，即：AD=CF．8.(2022·陕西省)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE//AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC．【答案】.证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠B，在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)，∴DE=BC．9.(2022·湖南省衡阳市)如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE．【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠CBD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE．10.(2022·四川省乐山市)如图，B是线段AC的中点，AD//BE，BD//CE.求证：△ABD≌△BCE．【答案】证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB=BC，∵AD//BE，∴∠A =∠EBC ，∵BD//CE ，∴∠C =∠DBA ，在△ABD 与△BCE 中，∠A =∠EBC AB =BC ∠DBA =∠C ，∴△ABD≌△BCE.(ASA)．11.（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DFBC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【答案】见解析【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上∵//,//AC DF BC EF∴,A FDE ABC DEF∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．12.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知AB DC =，A D ∠=∠，AC 与DB 相交于点O ，求证：OBC OCB ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质，通过证明ABO DCO △≌△，得OB OC =，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵A D AOB DOC AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴ABO DCO △≌△（AAS ），∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．13.（2021·四川泸州市·中考真题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BD=CE【答案】证明见详解．【分析】根据“ASA”证明△ABE ≌△ACD ，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，∵A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,△ABE ≌△ACD (ASA)，∴AE=AD ，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．14.（2021·云南中考真题）如图，在四边形ABCD 中，,,AD BC AC BD AC ==与BD 相交于点E ．求证：DAC CBD ∠=∠．【答案】见解析【分析】直接利用SSS 证明△ACD ≌△BDC ，即可证明．【详解】解：在△ACD 和△BDC 中，AD BC AC BD CD DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BDC （SSS ），∴∠DAC=∠CBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS 的方法．15.（2020•菏泽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 在AC 的延长线上，ED ⊥AB 于点D ，若BC ＝ED ，求证：CE ＝DB．【分析】由“AAS ”可证△ABC ≌△AED ，可得AE ＝AB ，AC ＝AD ，由线段的和差关系可得结论．【解答】证明：∵ED ⊥AB ，∴∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∴CE ＝BD ．16.（2020•南充）如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC ＝DE ．求证：AB ＝CD ．【分析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．17.（2020•硚口区模拟）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．【解答】证明：在△ABE与△ACD中∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD．∴AD ＝AE ．∴BD ＝CE ．18.（2020•铜仁市）如图，∠B ＝∠E ，BF ＝EC ，AC ∥DF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB ＝∠DFE ，进而利用全等三角形的判定定理ASA ，进而得出答案．【解答】证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∠B =∠E BC =EF ∠ACB =∠DFE ，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．19.（2020•无锡）如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）AF ∥DE ．【分析】（1）先由平行线的性质得∠B ＝∠C ，从而利用SAS 判定△ABF ≌△DCE ；（2）根据全等三角形的性质得∠AFB ＝∠DEC ，由等角的补角相等可得∠AFE ＝∠DEF ，再由平行线的判定可得结论．【解答】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵BE ＝CF ，∴BE ﹣EF ＝CF ﹣EF ，即BF ＝CE ，在△ABF 和△DCE 中，∵AB =CD ∠B =∠C BF =CE ，∴△ABF ≌△DCE （SAS ）；（2）∵△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB ＝∠DEC ，∴∠AFE ＝∠DEF ，∴AF ∥DE ．20.（2020•台州）如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）判断△BOC 的形状，并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE ，由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．21.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．类型二特殊四边形判定及性质22.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．23.(2022·青海省西宁市)如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D ，∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD ，在△ABE 和△ADF 中，∠AEB =∠AFD ∠B =∠D AB =AD ，∴△ABE≌△ADF(AAS)；(2)解：设菱形的边长为x ，∵AB =CD =x ，CF =2，∴DF =x −2，∵△ABE≌△ADF ，∴BE =DF =x −2，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得，AE 2+BE 2=AB 2，即42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．24.(2022·江苏省无锡市)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=22，BC=4，点E在BC 上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．【答案】解：(1)∵CE=AE，∴∠ECA=∠EAC，根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，∵四边形ABCD是矩形，∴DA//CB，∴∠ECA=∠CAD，∴∠EAC=∠CAD，∴∠DAF=∠BAE，∵∠BAD=90°，∴∠EAF=90°，设CE=AE=x，则BE=4−x，在△BAE中，根据勾股定理可得：BA2+BE2=AE2，即：(22)2+(4−x)2= x2，解得：x=3，在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G，设CG=x，则GB=3−x，∵FC=4，FE=17，∴FG2=FC2−CG2=FE2−EG2，即：16−x2=17−(3−x)2，解得：x=43，∴FG=FC2−CG2∴sin∠CEF=FG EF=25.(2022·湖北省荆门市)如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=x(0<x<8)，将△ACB 沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．(1)求证：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示)．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，BC=AD，根据折叠的性质得：BC=CE，∠E=∠B=90°，∴∠E=∠D=90°，AD=CE，在△CEF与△ADF中，∠ CFE=∠AFD∠D=∠E=90°AD=CE，∴△CEF≌△ADF(AAS)；(2)解：设DF=a，则CF=8−a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC=x，∴∠DCA=∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC=∠BAC，∴∠DCA=∠EAC，∴AF=CF=8−a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2=AF2，∴x2+a2=(8−a)2，∴a=64−x216，∴tan∠DAF=DF AD=64−x216x．26.(2022·四川省遂宁市)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF//AC交OE的延长线于点F，连接AF．(1)求证：△AOE≌△DFE；(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵DF//AC，∴∠OAD=∠ADF，∵∠AEO=∠DEF，∴△AOE≌△DFE(ASA)．(2)解：四边形AODF为矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO=DF，∵DF//AC，∴四边形AODF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，∴平行四边形AODF为矩形．27.(2022·湖北省)如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE=DF(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，且AD=BC，∴AF//EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如图所示：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°−∠2，∠4=90°−∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=12BC=5．28.(2022·云南省)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE 与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°．(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．【答案】.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA//CD，∴∠BAE=∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE=DE，在△BEA和△FED中，∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，∴△BEA≌△FED(ASA)，∴EF=EB，又∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF=90°．∴四边形ABDF是矩形；(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD=90°，AB=DF=3，AF=BD，∴AF=AD2−DF2=52−32=4，∴S矩形ABDF=DF⋅AF=3×4=12，BD=AF=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=3，∴S△BCD=12BD⋅CD=12×4×3=6，∴四边形ABCF的面积S=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18，答：四边形ABCF的面积S为18．29.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．30.(2022·湖南省郴州市)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCB，AC平分∠DAB，AC平分∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=12∠DAB，∠DCA=∠ACB=12∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB，∵AE=CF，∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS)，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形．31.(2022·山东省聊城市)如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C 作CF//AB，交DE的延长线于点F．(1)求证：AD=CF；(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，证明你的结论．【答案】(1)证明：∵CF//AB，∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE=CE，∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF；(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由(1)知，AD=CF，∵AD//CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴四边形ADCF是菱形．32.(2022·北京市)如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．【答案】证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，∵AE=CF．∴OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴DA=DC，∵OA=OC，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形．33.(2022·湖南省张家界市)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF．(1)求证：△ODE≌△FCE；(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．【答案】.(1)证明：∵点E是CD的中点，∴CE=DE，又∵CF//BD∴∠ODE=∠FCE，在△ODE和△FCE中，∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF，∴△ODE≌△FCE(ASA)；(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：∵△ODE≌△FCE，∴OE=FE，又∵CE=DE，∴四边形ODFC为平行四边形，又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC=90°，∴四边形ODFC为矩形．34.(2022·四川省内江市)如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)可知，△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴180°−∠AEB=180°−∠CFD，即∠AEF=∠CFE，∴AE//CF，∵AE=CF，AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形．35.(2022·湖南省长沙市)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．(1)求证：AC⊥BD；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD 的周长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD；(2)解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OD=2EF=3，由(1)可知，四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，BD=2OD=6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=AO2+OD2=22+32=13，∴菱形ABCD的周长=4AD=41336.（2021·四川广安市·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD=．连接CE、CF．的延长线上，且BE DF求证：CE CF=．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，∴∠CDF=∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△DFC （SAS ），∴CE=CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．37.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，//,//DE AB DF AC．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =，求四边形AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE ∥AB ，DF ∥AC 判定四边形AFDE 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD ，可得AE=DE ，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，=2，∴∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．38.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；，求证：四边形ACED是矩形．（2）如果AB AE【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．39.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF ⊥BD 或EB ＝ED ，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌，则可得到AE ＝CF ；（2）连接BF ，DE ，由AOE COF V V ≌，得到OE=OF ，又AO=CO ，所以四边形AECF 是平行四边形，则根据EF ⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC ，BE ∥DF∴∠E ＝∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE ＝CF（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：如图：连结BF ，DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．40（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．【分析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；【解答】证明：∵O是CD的中点，∴OD＝CO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，∠D=∠OCEOD=OC∠AOD=∠EOC，∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．41.（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=32，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．42.（2020•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC ⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．43.（2020•新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD＝CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF全等，从而可以得到AE＝CF；（2）根据（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE＝DE，即可得到四边形EBFD为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，∠DAE =∠BCF ∠AED =∠CFB AD =CB ，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：由（1）知△ADE ≌△CBF ，则DE ＝BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BE ＝DE ，∴四边形EBFD 为菱形．类型三与相似有关的证明44.（2021·广东中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点．连接BE ，将ABE △沿BE 折叠得到,FBE BF 交AC 于点G ，求CG 的长．【答案】CG =【分析】根据题意，延长BF 交CD 于H 连EH ，通过证明()Rt EDH Rt EFH HL ≌、DHE AEB ∽得到34CH =，再由HGC BGA ∽得到()34CG AC CG =-，进而即可求得CG 的长．【详解】解：延长BF 交CD 于H 连EH ，∵FBE 由ABE △沿BE 折叠得到，∴EA EF =，90EFB EAB ∠=∠=︒，∵E 为AD 中点，正方形ABCD 边长为1，∴12EA ED ==，∴12ED EF ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D EFB EFH ∠=∠=∠=︒，在Rt EDH △和Rt EFH 中，ED EF EH EH=⎧⎨=⎩，∴()Rt EDH Rt EFH HL ≌，又∵AEB FEB ∠=∠，∴90DEH AEB ∠+∠=︒，∵90ABE AEB ∠+∠=︒，∴ABE DEH ∠=∠，∴DHE AEB ∽，∴12DH AE DE AB ==，∴14DH =，∴13144CH CD DH =-=-=，∵CH AB ∥，∴HGC BGA ∽，∴34CG CH AG AB ==，∴()3344CG AG AC CG ==-，∵1AB =，1CB =，90CBA ∠=︒，∴AC =，∴)34CG CG =，∴CG =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．45.（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若23AGOG=，4AE=，求BC的长．【答案】（1）平行四边形，见解析；（2）16【分析】（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；（2）根据23AGOG=，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．【详解】（1）四边形BEDF为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形∴ABC ADC∠=∠∵ABE CDF∠=∠∴EBF EDF∠=∠∵四边形ABCD为平行四边形∴//AD BC∴EDF DFC EBF∠=∠=∠∴//BE DF∵//AD BC∴四边形BEDF 为平行四边形（2）设2AG a =，∵23AG OG =∴3OG a =，5AO a=∵四边形ABCD 为平行四边形∴5AO CO a ==，10AC a =，8CG a=∵//AD BC,,AGE CGB AEG CBG EAG BCG ∠=∠∠=∠∠=∠，∴AGE CGB∆∆∽∴14AE AG BC GC ==∵4AE =∴16BC =．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理，能进行相关的证明．46.（2021·北京中考真题）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明．【答案】（1）BAE CAD ∠=∠，BM BE MD =+，理由见详解；（2）DN EN =，理由见详解．【分析】（1）由题意及旋转的性质易得BAC EAD α∠=∠=，AE AD =，然后可证ABE ACD △≌△，进而问题可求解；（2）过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，由（1）可得ABE ACD ∠=∠，BE CD =，易证BH BE CD ==，进而可得HM DM =，然后可得DMN DHE ∽，最后根据相似三角形的性质可求证．【详解】（1）证明：∵BAC EAD α∠=∠=，∴BAE BAD BAD CAD α∠+∠=∠+∠=，∴BAE CAD ∠=∠，由旋转的性质可得AE AD =，∵AB AC =，∴()ABE ACD SAS ≌，∴BE CD =，∵点M 为BC 的中点，∴BM CM =，∵CM MD CD MD BE =+=+，∴BM BE MD =+；（2）证明：DN EN =，理由如下：过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，如图所示：∴90EQB HQB ∠=∠=︒，由（1）可得ABE ACD △≌△，∴ABE ACD ∠=∠，BE CD =，∵AB AC =，∴ABC C ABE ∠=∠=∠，∵BQ BQ =，∴()BQE BQH ASA ≌，∴BH BE CD ==，∵MB MC =，∴HM DM =，∵MN AB ⊥，∴//MN EH ，∴DMN DHE ∽，∴12DM DN DH DE ==，∴DN EN =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键．47.（2020•长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）设EC＝x，证明△ABF∽△FCE，可得AB CF=BF EC，由此即可解决问题．（3）首先证明tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=AF2−AB2=16−12=2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，∴2322，∴x=∴EC=（3）∵△ABF∽△FCE，∴AF EF=AB CF，∴tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2−a2，CF=x2−(a−x)2=2ax−a2，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，−(a−x)=b2−a2a−x，∴a2﹣ax=b2−a2•2ax−a2，∴14b2=b2−a2•整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴b a=233，∴tanα+tanβ=BC AB=48.（2020•怀化）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD ＝CA，且∠D＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．【分析】（1）连接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠CAD＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD＝90°即可证明；（2）证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE＝CG，CF＝CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．【解答】（1）证明：连接OC，如右图所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分线，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分线，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，。
