例谈“三角换元法”在解题中的应用

２８　数学通讯一２０ｌ４年第ｌｌ期（下半月）　·解题方法－　

证明　设　一　警　，则等价于证明ｃｏｓ　＋ＣＯＳ２０　”十ｉ　

十…十ｃ０ｓ，ｚ臼一一　．由前文知，　

ｌ＋ｃｏｓ＃＋ｃｏｓ２０￣…＋ＣＯＳｎＯ　

１　ｃｏｓ０ｃｏｓ（ｎｑ１）０ｔ－　ｃｏｓｎ０　２－－２ｃｏｓ０　２丌　２（　＋】）７ｃ．　２ｎｎ　。　一　。。—　一十。ｏ　—２ｎ＋—ｌ　

２～２ｃ。ｓ　

２７ｃ　．　７ｃ　７ｒ　。。　ｇＸ－￥￣十。。。　～　。　—２ｎ＋—１　１　一—————————　■——～一　，　２（１－－ＣＯＳ　）　

所以，ｃｏｓ０＋ｃｏｓ２０＋…＋ｃｏｓｎ０＝一告，得证．　

注：特别地，取　一３，即可得到第５届ＩＭＯ试　

题（证明：ｃ。ｓ号一ｃ。ｓ　＋ｃＯｓ了３ｎ＝　Ｉ　Ｊ．；取ｎ一５，即　

可得到２０１２年全国高中数学联赛安徽省预赛第３　题（求值：ｃ。ｓ　－－ＣＯＳ各＋ｃ。ｓ　－－ＣＯＳ箬＋　

５　７ｃ、　。　可　‘　

参考文献：　［１］程汉波，杨春波．配以对偶，柳暗花明——由一道试题　的“特别奖”解法引发的思考［ｊ］．数学通讯（下半月），　２０１２（１２），２４—２６．　［２］林晨曦．把实数扩充到复数以后［Ｊ］．数学通报，１９８０　（６），１４一ｌ５．　［３］邹慧群．把《实数扩充到复数以后》的两点补充［Ｊ］．天　津教育，１９８１（７），２４—２５．　［４］刘敏思，欧阳露莎．复变函数论［Ｍ］．武昌：武汉大学出　版社，２０１０．　［５］潘圣荣．复数在三角级数求和中的应用［Ｊ］．数学教学，　ｌ９８２（５），ｌ８．　

（收稿日期：２０１４—０５—０８）　

例谈“三角换元法＂在解题中的应用　

王　耀　

（江苏省苏州市田家炳实验高级中学，２１５００６）　

换元思想是一种经典的数学思想方法，本文主　

要讨论三角换元法在解题中的应用，这一解法多应　用于解决函数或不等式的最值问题，是实现解题目　

标的一种有效转化策略．正因为此法的广泛应用价　

值，笔者将利用这种方法再来分析文中的几个高考　

或竞赛试题，与读者交流，欢迎批评指正．　例１　（南通市２Ｏ１４届高三第二次调研，２０１３　

年全国高中数学联赛江苏赛区复赛）若实数ｎ，ｂ，Ｃ　

满足“。＋ｂ　≤ｃ≤１，求“＋ｂ＋Ｃ的最大值和最小值．　

分析此题设计精巧，可以从多角度研究，思维　分析切口较宽，解法也较多．然而，根据题中条件的　

结构特征，可考虑利用圆面的参数方程，即“三角换　元”的数学思想方法．　

解析设ｎ＝ＴＣＯＳＯ，ｂ＝ｒｓｉｎ０，其中　∈Ｒ，０≤ｒ　

ｃ≤１，则　ｎ十６＋ｆ＝ｒ（ｓｉｎ０＋ｃｏｓ０）＋Ｃ　

一　ｓｉｎ（　十｛）＋ｃ，　

由ｓｉｎ（　十号）∈［～１，１］可知“＋６＋ｃ∈［一√　ｒ　

＋ｆ，√　＋ｃ］．　

因为ｏ≤ｒ≤　≤１，那么√　十ｃ≤１＋√　，当且仅　

当“一６一，　／ｇ，ｃ＝ｌ时，等号成立；　

又一　ｒ＋ｃ≥一　＋　：　一　

１当且仅当“＝＝＝６：一　１，ｃ＝＝：　时，等号成立．　

因此，ａ＋ｂ十Ｃ的最大值为１＋√　，最小值为　

１　９。

　解题方法·　数学通讯一２０１４年第ｌ１期（下半月）　２９　

例２（２０１３年浙江大学自主招生试题）若Ｘ　＋２　—　。一７（ｚ，　∈Ｒ），则Ｘ　＋Ｙ　的最小值为　

分析此题为二元二次方程中的最值问题，常　

规解法可对条件进行配方后三角换元，或进行构建　齐次式求解，但是这两种解法都需要较强的计算基　

本功．为此，笔者尝试对结论中的二元平方关系进　行三角换元，大大简化了计算过程．　

解析令ｚ—ｒｃｏｓ０，Ｙ—ｒｓｉｎＯ（ＯＥ　Ｒ，ｒ＞０），则　由条件可知，－２ＣＯＳ　＋２ｒ　ｓｉｎ０ｃｏｓ０－－ｒ。ＣＯＳ　一７，整理　

得　，．。ｓｉｎ（２０＋等）一７．那么，　一——　，　√　ｉｎ（２０＋　）　

又由０６　Ｒ，　＞０得到　≥　，则（ｚ　＋　）　：　

点评这种“逆向”的处理方法不失为一种有效　的解法探究．在教学实践中，笔者也尝试从几何性　

质进行分析：即二次曲线Ｘ。十２ｘｙ—　＝＝＝７上的点　

还在一系列同心圆ｚ　＋　。一　上，只要求最小半　

径，体现了问题的几何本质，这在一定程度上也加深　了学生对数形结合思想的认识和理解．　例３（２０１３年浙江省高中数学竞赛）设二次　

函数－厂（ｚ）：ａｃｅ　＋（２ｂ＋１）ｚ—ａ一２（ｎ＝２－０）在区间　［３，４］上至少有一个零点，求ａ。＋６　的最小值．　

分析这道竞赛题考查的重点在于“函数与方　

程”的数学转化思想，标准答案给出的也正是主元转　化的方法，即转化为点到直线距离的关系来求解，对　

思维要求较高．后来，此题也被用来作为高考模拟　

试题，那么对于没有接受过竞赛辅导的学生，能否有　常规解法呢？经笔者分析，得到如下解题过程．　解析设“　＋ｂ　一　（ｒ＞０），再令（￡一ｒｃｏｓＯ，ｂ　

＝＝＝ｒｓｉｎ０（　∈Ｒ）．　由题意可知：　Ｘ∈Ｅ３，４３，使得ｒ（ｘ。一１）ｃｏｓ口＋　２ｒｘｓｉｎＯ＝２一ｚ成立，即　

￣／ｒ。（　。一１）。＋４ｒ。　ｓｉｎ（０＋　）＝２一　，　

则有Ｉ　ｓｉｎ（０＋　Ｉ＝‘　与赢’≤　

１，即ｒ≥砉　ｇ（ｚ）．　

又ｇ　（　）一二二　，在［３，４－］＿Ｅｇ　（ｚ）＞０　

恒成立，那么Ｅｇ（ｘ）］　；　一ｇ（３）一　．　综上可知，ｎ　＋６　≥　·　

点评　三角换元在这里再一次体现了它的超强　

实用性，利用公式““ｓｉｎ　＋ｂｃｏｓ０＝、　ｓｉｎ（臼＋　

）”将问题转为不等式问题，这些过程充分体现了　数学解题思维的“通法自然化”．　

例４　已知ｎ＞０，ｂ＞Ｏ，　＋｛一２，求。＋６＋　

的最小值．　

分析　此题改编于武汉市２０１０届高三２月调　研试题　．虽可利用直线的截距式方程分析得到“ｎ　

＋６＋　干＿Ｊ’表示过点（４ｇ，１）的直线在第一象限　

内与坐标轴正方向构成的直角三角形的周长问题，　

然而利用几何性质去研究的话，难度较大．那么，根　

据题中问题结构而采用三角换元的方法，也可顺利　得解．　

解析设“一ｒＣＯＳＯ，ｂ＝＝＝ｒｓｉｎ０（ｒ＞０，０＜　＜　

），则ｎ＋６＋　一ｒ（ｃｏｓ０－１－ｓｉｎ０＋１）．并由条　

件　＋　一２得到ｒ—ｑ面￣－ｓｉｎ０＋ｃｏｓ０ｚ　ｎｕｃ　ＳＵ，那么　Ⅱ　Ｓｌ　Ｏ　

口＋６＋　

一　（，ｃｏｓＵ　＋Ｓｉｎ　＋１）　一—　十。ｍ　十　

（４￣ｓｉｎ　０＋ｃｏｓ０）（　＋　＋　）　一————　—一‘　十　十　

丢（　＋１＋　十　·　）　

全厂（　）．　

令ｔａｎ昙一　（ｏ＜　＜１），则厂（　）一　［　＋１＋　

了１＋　崔¨　）＝　；当　

厂　ｃ　一。时，　一　三｝一　１；当厂　ｃ　＞　

０时，　＞—＝　＿；当厂　（￡）＜０时，　＜—＝＝＝　．　４２√　＋１　√２　＋１　

综上可知：　

Ｅａ＋ｂ＋　＿］　ｉ　：厂（＿　Ｌ＿一）　√２√３＋１　

＋√２√　＋１．　

点评上述解法中，出发点较低，通过正余弦函　数的平方关系将问题转化为三角函数的最值问题，

　３Ｏ　数学通讯一２０１４年第１ｌ期（下半月）　·解题方法·　

并齐Ｕ用“刀能公式”构建新函数，这其中的一个主要　障碍在于计算过程中对基本计算技能要求较高．　本题一般化可以得到定理１：已知ｎ＞０，６＞０，　

＞ｏ，，　＞ｏ，一ｍ＋芋一１，则　＋６十　干　的最小　“　Ｄ　

值为２（　＋　＋　）；　还有个类似的对偶形式的定理２［２］：“已知ｎ＞　

。，ｂ＞Ｏ，７７ｚ＞Ｏ川＞０，ｍｎ＋Ｄｎ１，其中　＜２ｍ且优＜　

２ｎ，则“＋ｂ一、／／　干　的最大值为２（ｍ＋　一　

）．”　本文给出异于原文的证明过程如下：　

设“一ｒｃｏｓ０，ｂ—ｒｓｉｎ０（ｒ＞０，０∈（ｏ，昙）），由　

十　一１得到ｒ一　，因此　

“＋６一　＝＝＝　＋　＋　

令　一ｔａｎ　（　∈Ｒ），则“＋ｂ一、　一　

一ｍ（１￣ｔｐ－－１）＋　．１－ｔｚ　一．雨２ｔ～　ｌ一￡２　。　２　“　‘　“‘　１＋￡　“‘　雨ｉ　

＋ｎ　厂（￡）；　

由　（　）一～，ｚ＋　鲁　，当／　（　）＝＝＝ｏ时，￡一　

√　当　Ｏ　ｆ　＜√　一１；当厂（　）＜。　

＞　＿１．Ｎ／／＿，，可毗㈤］１ｎ　厂（　

２　＋　一　ｃ√　一　一　一２　ｃ　＋　一　

＾＼／　

、／／　）．　

例５　（２０１４年苏州市市区直属高中青年数学　

教师基本功比赛）已知函数厂（　）一　３２２　－　Ｘ－￣－？＇ｌ（　∈　

Ｒ川∈Ｎ　，ｚ≠　）的最大值为　，最小值为ｂ　

（１－－ａ　）（１—６　），则Ｃ　＝＝＝

分析此题构思新颖，将函数与数列结合体作　

为考查教师基本功试题，方法较多，可采用判别式　法、基本不等式法或者进行函数求导计算．试后，笔　

者发现利用三角换元进行求解，效果更佳．　

解析　厂（ｚ）一　３２２　－　Ｘ－￣７ｌ一＿　专　，令　

丢＝＝＝　ｔａｎ　，则－ｚ一　，代入化简得ｌ厂（　）　

÷［（２　２＋３）＋２￣／　ｓｉｎ（２０＋　）］，即有＿厂（　）　

∈［÷［（２ｎ＋３）一２、　干　］，　［（２，２＋３）＋　

２　Ｆ　，计算得到　

Ｃ　一［１一－厂（　）　］［１一ｆ（　）　］　

２　７２～２￣／７２　＋３　２７２＋２、／／７２。＋３　

ｌ２　４　９　３’　点评此题针对结构“１十￡。”进行“三角换元”　

操作，转化为三角函数最值问题，解题思维清晰，便　

于学生理解．本质上讲，很多可利用判别式法求解　

的二次分式结构的最值问题都可仿儿Ｈ上述解法进行　转化．　

综上所述，文中分析的例题皆为高考、模考或者　

自主招生考试题，都是以不等式或函数为背景命制　的最值问题．要解决这类问题，需要选择合理的解　

题途径，利用条件化、结构化、自然化、策略化落实解　题思维，形成解决问题的方法．　文中，笔者给出的三角换元这一通法，其优点在　

于通过对题中条件或结构的“模式识别”，充分利用　分析得到的有效信息，积极思考，自主构建合适合理　

的解题方法，加强了对数学转化思想的理解和认识．　

因此，教师在教学实践过程中，应注重引导学生对问　题结构特征的分析和把握，发展学生的认识力，培养　

学生的创造力，对学生的全面发展将大有裨益．　

参考文献：　

［１］　田化澜．一道数学测试题的解法探究及教学建议［Ｊ］．　中学数学，２０１０（６）：５１—５５．　［２］　梁宝同．一道值得商椎的例题［Ｊ］．数学通讯（下半　月），２０１３（１０）：２４．　

（收稿日期：２Ｏｌ４—０５—０８）