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九年级数学下册练习：3.3 垂径定理(1)

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3.3 垂径定理（1）（巩固练习）
姓名 班级
第一部分

1、已知AB如图．用直尺和圆规求作这条弧的四等分点．

2、如图，点P在⊙O内，过P点作一条弦AB，使弦AB是所有经过P点的弦中最短的弦，
并作出弦AB所对的优弧的中点.

3、如图，△OCD为等腰三角形，底边CD交⊙O于A、B两点. 求证：AC=BD.
O
P
O

B

A
P

C
4、 如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15 cm，OM：OC=3：5，
求弦AB的长.

5、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．
(1) 请写出三个不同．．类型的正确结论；
(2) 若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径.

第二部分
1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有……………………………………………………
（ ）
A．一条 B 两条 C．一条 D．无数条
2. 下列说法正确的是…………………………………………………………………（ ）
A. 直径是圆的对称轴 B. 经过圆心的直线是圆的对称轴
C. 与圆相交的直线是圆的对称轴 D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴
3. 如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的
是…………………………………………………………………（ ）

A. CE＝DE B. BCBD
C. ∠BAC＝∠BAD D. AC＞AD
4.如图，O的直径为26cm，弦AB长为24cm，则点O到AB的距离
OP
为 ．
5. 在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于………………（ ）

A. 3cm B. 23cm C. 43cm D. 83cm

图3
P
A B
O
6. 已知⊙O的半径为5 , 弦AB的长也是5，则∠AOB的度数是 .
7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若 ，则CE=DE. (只需填写一个你
认为适当的条件)
8. 如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________.

9. 在半径为5cm的⊙O中，弦AB的长为52cm，计算：
(l) 点到AB的距离；(2) ∠AOB的度数．

10. 如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC=BD.
证明：作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE，
∴AC=BD.

E
参考答案
第一部分

(2) 延PO交⊙O于C.
AB就是所求的弦，点C就是弦AB所对的优弧的中点.
3、如图，△OCD为等腰三角形，底边CD交⊙O于A、B两点. 求证：AC=BD.
【分析】怎样证AC=BD？由于△OCD是等腰三角形，作OE⊥CD于
E后，由等腰三角形“三线合一”得CE=DE，又根据垂径定理得E为弦AB
的中点，两者相关减即可.
【解】作OE⊥CD于E. 则由垂径定理，得AE=BE.
∵△OCD为等腰三角形，∴CE=DE. ∴AC=BD.
4、 如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15 cm，
OM：OC=3：5，求弦AB的长.
【分析】这是应用垂径定理进行计算的一个基础题. 先求出OM的长，再根据勾股定理
求得AM的长，再由垂径定理得AB=2AM.
【解】连结OA. 则由垂径定理，得AM=BM.
∵CD=15 cm，∴OC=7.5cm，又OM：OC=3：5，∴OM=4.5cm.

在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM=226OAOMcm，即AB=12cm.
5、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．
(1) 请写出三个不同．．类型的正确结论；
(2) 若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径.

【解】(1) 如BE=CE，BDCD，∠BED=90°，△BOD是等腰三角形等等.
(2) ∵OD⊥BC，BC=8，∴BE=4.
在Rt△OBE中，由勾股定理得OB2=BE2+OE2，
∴r2=42+(r-2)2，解得r=5.
第二部分

1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有……………………………………………………（ ）
A．一条 B 两条 C．一条 D．无数条
答案：D
2. 下列说法正确的是…………………………………………………………………（ ）
A. 直径是圆的对称轴 B. 经过圆心的直线是圆的对称轴
C. 与圆相交的直线是圆的对称轴 D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴
答案：B
3. 如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的
是…………………………………………………………………（ ）

A. CE＝DE B. BCBD
C. ∠BAC＝∠BAD D. AC＞AD
答案：D
4.如图，O的直径为26cm，弦AB长为24cm，则点O到AB的距离
OP
为 ．
答案：5cm
5. 在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于…………………………（ ）

A. 3cm B. 23cm C. 43cm D. 83cm
答案：C
6. 已知⊙O的半径为5 , 弦AB的长也是5，则∠AOB的度数是 .
答案：60°
7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若 ，则CE=DE. (只需填写一
个你认为适当的条件)
答案：AB⊥CD
8. 如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________.
答案：8

9. 在半径为5cm的⊙O中，弦AB的长为52cm，计算：
(l) 点到AB的距离；(2) ∠AOB的度数．
解：(1) 作OC⊥AB于C，连结OA.
∵AB=52cm，∴AC=522cm，∴OC=22522ABACcm.
(2) ∵OC⊥AB，AC=OC，∴∠AOC=45°，即∠AOB=90°.
10. 如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC=BD.
证明：作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE，
E

图3
P
A B
O
∴AC=BD.

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第三章+++﹡3 垂径定理+课件2024-2025学年+北师大版数学九年级下册

第三章+++﹡3 垂径定理+课件2024-2025学年+北师大版数学九年级下册


∴(R-5)2+132=R2,解得R=19.4≈19.
答:这座石拱桥主桥拱的半径约为19 m.
14
【借题发挥】
若知道半径为19 m,不知道拱高,典例中其他条件不变,能求拱高吗?请通过计算
说明.
【解析】可以求拱高.如典例题图,∵OC⊥AB,∴AD=BD,
1
由题意可知AB=26,∴BD= AB=13,
若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为 ( B )

A.


B.


C.


D.

10
2.如图,在☉O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若☉O的半径为2,则弦AB的
2
长为_________.
11
【技法点拨】
垂径定理常作的两条辅助线及解题思想
1.两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线;二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把
16
2.(2023·永州中考)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,
水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为________cm.
16
17
【模型构建】
垂径定理的基本模型
四变量 弦长 a,圆心到弦的距离 d,半径 r,弧的中点到弦的距离 h.
基本图形
四变量中若知其中两个,可求其他两个.
半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解.
2.方程的思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常将未知的一条线段设
为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题,这是一种用代数方法解决几何问
题的解题思路.
12
【重点2】垂径定理在实际生活中的应用
九年级数学 垂径定理 专题练习(含解析)

九年级数学 垂径定理 专题练习(含解析)


答案：B 解析：解答：：∵AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于 D， ∴AD=BD=
1 AB（垂径定理）， 2
∴AB=2AD， 在 Rt△ADO 中，OD⊥AB 于 D，若 AO=10，OD=6， ∴AD= AO2 ‒ OD2 = 102 ‒ 62 = 8（勾股定理）； ∴AB=16． 故选 B． 分析：先根据勾股定理求出 AD 的长，再根据垂径定理求出 AB 的长． 8、 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 弦 CD⊥AB 于 点 E， 连 接 OC， 若 OC=5， CD=8， 则 tan∠COE=（ ） A．
11、 如 图 ， ⊙O 过 点 B、 C， 圆 心 O 在 等 腰 Rt△ABC 的 内 部 ， ∠BAC=90°， OA=1， BC=6．则⊙O 的半径为（ ） A．6 B．13 C． 13 D．2 13
答案：B 解析：解答：如图：
过 O 作 OC⊥AB 于 C， ∵OC 过圆心 O，AB=24， ∴AC=BC=
1 AB=12， 2
AO2 ‒ AC2 = 132 ‒ 122=5．
在 Rt△AOC 中，由勾股定理得：OC= 故选：B．
分析：过 O 作 OC⊥AB 于 C，根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OC 即可． 6、如图，⊙O 的半径为 2，弦 AB⊥OC 于 C，AB=2 3，则 OC 等于（ ） A．2 2 B. 3 C．1 D．2− 3
答案：B 解析：解答：如图：
连接 OA， ∵⊙O 的直径为 10， ∴OA=5， ∵圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 4， 由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点，AM= 由勾股定理可得，AM=3，所以 AB=6． 故选 B． 分析：先根据垂径定理求出 AM=
1 AB， 2Байду номын сангаас
垂径定理.3(1)垂径定理

垂径定理.3(1)垂径定理


分一条弧成相等 的两条弧的点叫 做这条弧的中点。
D
条件
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 以下三个图,是否有 AE=BE , AC=BC , AD=BD ? C E D O O C A C E O B
A
B A
E D
B D
直径垂直弦
才能平分弦,平分弦所对的弧.
例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这 条弧的中点．
作法： ⒈ 连结AB. ⒉作AB的垂直平分线 CD， 交弧AB于点E.
是弦AB上的动点，
3 最大值为 则 线 段 OM 的 长 的 最 小 值 为 ____.
____________. 5
8 N
应用1：垂径定理的有关计算
5.过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为 8cm，那么OM长为（ A ）
A ．3 B．6cm C． cm D．9cm
A
应用2:垂径定理有关的证明题.
∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D O
E
C
B
练习： 在⊙Ｏ中，ＡＢ．ＣＤ为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ． 求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ｃ Ｅ Ａ Ｏ Ｄ Ｂ
弦AC= 10 ㎝ ，求圆⊙的半径。
E
O
D A B
C
应用1：垂径定理的有关计算
2.如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M，
ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．
A
A
M
O
B
．
N
C
B 已知：AB是⊙O直径，CD O
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF
.
∟
A
E C
3++垂径定理同步练习2023-2024学年鲁教版数学九年级下册

3++垂径定理同步练习2023-2024学年鲁教版数学九年级下册

3 垂径定理同步练习2023-2024学年九年级下册数学鲁教版知识点① 垂径定理1.如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE 的余弦值为( )A. 7113 B. 1213 C. 712 D. 13222.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2.已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB 长为6米,⊙O 的半径长为4 米.若点 C 为运行轨道的最低点，则点 C 到弦 AB 所在直线的距离是 ( )A.1米B.(4−√7)米C.2米D.(4+√7)米变式1如图所示的是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分，若OM⊥CD,延长MO 交⊙O 于点E,并且CD=8m,EM=8m,则⊙O 的半径为 .变式2 如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O 的半径为 10 cm ，水的最深处到水面AB 的距离为4cm,则水面AB 的宽度为 cm.(M9205004)变式3如图所示的是一张隧道断面结构图.隧道内部为以O 为圆心，AB 为直径的圆.隧道内部共A分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离为6.4m ,点 B 到路面的距离为4.0 m.求路面CD的宽度.(结果精确到0.1m)3.如图,AB 是⊙O 的一条弦,点C,D是⊙O上的点,连接CD交AB于点E,若∠ODC+∠AED=90°.求证:AC=BC.4.如图，有一座拱桥是圆弧形的,它的跨度AB=60米,拱高 PD=18米.(1)求圆弧所在圆的半径的长；(2)当洪水泛滥到水面宽度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即当PE=4米时，是否要采取紧急措施?知识点❷垂径定理的推论5.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,AC,OB交于点 D.若AD=CD=8,OD=6,则BD 的长为 ( )A.5B.4C.3D.26.如图，B为⊙O上一点，A 为BC的中点，AB=3,∠ABC=30°,则⊙O的半径为 .7. 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB̂=AĈ,AO=5,BC=6则△ABC 的面积=8.某个工件槽的两个底角均为90°，尺寸(单位：cm)如图所示.将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，请你根据图中的数据求出该球的半径.9.如图，在平面直角坐标系中，半径为5 的⊙E与y轴交于点A(0,-2),B(0,4),与x轴交于C,D,则点 D的坐标为 ( )A.(4−2√6,0)B.(−4+2√6,0)C.(−4+√26,0)D.(4−√26,0)10.如图,在平面直角坐标系xOy中，直线y=√33x+2√33与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 .11.为了贯彻习近平总书记“促进乡村全面振兴，实现农业农村现代化”的指示，某农机组织推——も广建立横截面为弓形的一种全新的全封闭式塑料薄膜蔬菜大棚，如图所示，已知棚高AD=2m,底部BC=4√3m，那么BC所在圆的半径为 m.12.如图,AB是⊙O 的直径,点 P 是AB 上一点,且点 P 是弦CD的中点.(1)依题意画出弦CD；(不写作法，保留作图痕迹)(2)若AP=4,CD=16,求⊙O的半径.13.如图,在⊙O中,弦AB 的长为8,点 C 在 BO 延长线上,且cos∠ABC=45,OC=12OB.(1)求⊙O 的半径;(2)求∠BAC的正切值.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A,B两点,交y轴于C, D两点,且C为AEE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为(-1,0),AE=4.(1)求点 C 的坐标;(2)连接MG,BC,求证:MG∥BC.。