2015年怀化市高三二模理科数学试卷

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2015年高三第三次模考 理科数学命题人：怀化三中 蒋晖林 审题人：王 杏、刘 华、丁亚玲、张理科试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．已知集合},3,1{2m A =，},1{m B =．若A B ⊆，则m 的值为 A ．0 B ．1或3 C ．0或3 D ．0或1或3 2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积是 A ．π12 B ．π15 C ．π24 D ．π30 3．下列函数中，既是奇函数，又在),(+∞-∞上为增函数的是 A. xy 3= B. xy 1=C. 3y x = D.x y tan = 4．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得918.32≈k 。

则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过 A. %95 B. %5 C. %5.97 D.%5.2 5．设函数)32sin()(π+=x x f 的图象为M ，下面结论中正确的是A.图象M 可由x y 2sin =的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的最小正周期是π4 C ．图像M 关于直线3π=x 对称D ．函数)(x f y =在区间)6,65(ππ-上是增函数 6. 有下列四个命题,其中正确命题的个数是①.“2x ∀≥，2320x x -+≥”的否定．．是“20<∃x ，使023020<+-x x ”. ②. 已知0>a 且1≠a ，则“0log >b a ”是“0)1)(1(>--b a ”的充要条件. ③. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，若已知学号为5,16,38,49的同学被选出，则被选出的另一个同学的学号为27.④.某学校决定从高三800名学生中利用随机数表法抽取50人进行调研，先将800人按001,002，…,800进行编号；如果从第8行第7列的数开始从左向右读，则最先抽取到的两个人的编号依次为165,538（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）（第2题图）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931A. 1个B. 2个C. 3个D.4个7. 北京某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有A．2465A A⨯种 B.246A5⨯种 C.2465C A⨯种 D.246C5⨯8.ABC∆的外接圆圆心为O,半径为2，0=++ACABOA,OA AB=,CBCA方向上的投影为A.3- B.3- C.3 D.39.执行如右图所示的程序框图，输出的S值为A．252(41)3- B．262(41)3-C．5021- D．5121-10．已知函数34)(2+-=xxxf,集合{}0)()(),(≤+=yfxfyxM，集合{}0)()(),(≥-=yfxfyxN，则集合M N的面积为A.4πB.2πC. πD.23π第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）11. 如图，ABC∆内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD与⊙O相切，割线DM与⊙O相交于点M、N，若30=∠B，1=AC，则DNDM⨯= .12. 函数)0(1213)(2>++=xxxxf的最小值为 .13. 在极坐标系中，直线sin(24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 .（二）必做题（14~16题）14.复数iiz++=142，则||z= .15. 如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线2xy=与直线1x=及x轴所围成的图形（阴影部分）绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积12()2xV dx=⎰π圆锥31.1212x==ππ据此类比：将曲线2(0)y x x =≥与直线2y =及y 轴所围成的图形（阴影部分）绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V = .16.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,3x e x x f x x ，若对任意的[]12,31--∈a a x ，不等式[]≥-+x x a f )1([]a x f )(恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y .记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =，且a =，1c =，求b .18．（本小题满分12分）某省气象部门为了有效缓解近期的持续高温天气，拟进行人工降雨，为了达到理想效果，首先在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用,,A B C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下： 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟试验总次数 A 甲 4次 6次 2次 12次 B 乙 3次 6次 3次 12次 C 丙 2次 2次 8次 12次 假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响. （Ⅰ）求甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率；（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲恰需中雨即能达到理想状态，乙必须是大雨才能达到理想状态，丙是小雨或中雨就能达到理想状态，求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望.19. （本小题满分12分） 如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ；F 、G 分别是CE 、AD 的中点. 现将ADE ∆沿AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为135． （Ⅰ）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ；DA B CE F G ∙∙（Ⅱ）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．20. （本小题满分13分）设),(11y x A ，),(22y x B 是函数xxx f -+=1log 21)(2的图象上任意两点，P 是AB 中点，且P 的横坐标为21． （Ⅰ）求证：P 点的纵坐标为定值； （Ⅱ）若n S ＝)1()2()1(nn f nf nf -+⋯++，*∈N n ，且n ≥2，求n S ．21. (本小题满分13分)已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（Ⅰ）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OMON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．22. (本小题满分13分)已知a R ∈，函数()ln 1af x x x=+-，()(ln 1)x g x x e x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（Ⅱ）是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：*11111(1)ln[(1)(2)]()ln ()234!n n k e k k k n n N n n =++++⋅++>-⋅∈∑怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2015年高三二模 理科数学参考答案一、选择题二、填空题 11、；12、6； 13、[]2,5-；14、 8 ；15、6-； 16、(13,49). 三、解答题17解：（Ⅰ）因为()()sin ,cos cos )22o (s x x x f x a x b ωωωω→→=-=⋅⋅- 2sin cos s 2o x x x ωωω-= 21sin 12)222x x ωω++-=sin(32)x πω+= ……………………… 2分由()f x 的周期为π得 1ω=，即()sin 2)3(x f x π=+ ………… 4分由22(23)22x k k k Z πππππ+≤-≤+∈解得5()126x k k k Z ππππ-≤+∈≤， 所以()f x 的单调增区间为,5[]()126k k Z k ππππ-+∈ ………………… 6分 （Ⅱ）由已知bc a c b 3222+=+及余弦定理2222cos a b c bc A =+-可知cos A =………………… 8分 因为(0,)A π∈， 所以6A π=………………… 10分所以 ()()s i 3n 62f A f ππ===………………… 12分18解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为310361C C -.65611=-= …………… 4分（Ⅱ）同学甲被选中的概率为,10331029=C C则同学甲被选中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21 ………… 8分（Ⅲ）根据题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，31)0(31034===C C P ξ，103)1(3102416===C C C P ξ， 21)2(3101426===C C C P ξ 61)3(31036===C C P ξ所以，ξ的分布列为：8.161321210313010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………… 12分 19解法1：（Ⅰ）延长B 1E 交F ，11B EC ∆∽△FEB ，BE1， ∴BF 1C 1，从而点F 为BC ∵G 为△ABC 的重心， ∴A 、G 、F 三点共线． 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ， ∴GE //侧面AA 1B 1B （Ⅱ）在侧面AA 1B 1B 内，过B 1作B 1H ⊥AB ，垂足为H ，∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ， ∴B 1H ⊥底面ABC ． 又侧棱AA 1与底面ABC 成60°1=2，∴∠B 1BH =60°，BH =1，B 1H在底面ABC 内，过H 作HT ⊥AF T ，连B 1T ，由三垂线定理有B 1T ⊥AF ， 又平面B 1CE∴AH =AB +BH =3在Rt △B 1HT 从而平面B 1GE …………… 12分解法2：（Ⅰ）∵侧面111成60°的角，∴∠A 1AB =60°，又AA 1=AB =2，取AB 的中点O ，则AO ⊥底面ABC ．13BE BC =，∴⎝⎭∴310,1,CE AB ⎛⎫== ⎪ ⎪．AA 1B 1B ．（Ⅱ）设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ，则由10,0.B E GE ⋅=⋅=得又底面ABC 设平面B 1GE 与底面ABC 由于θ为锐角，所以故平面B 1GE 与底面ABC 20解：（Ⅰ）因为 1112233(21)33a 4n n n n b a b a b a b +-+++++=…，当2n ≥时，11223311(23)33a 4n n n n b a b a b a b ---+++++=…，两式相减，得 3nn n a b n =⋅（2n ≥），又当1n =时，11a 3b =，适合上式，从而3nn n a b n =⋅（n N +∈） …………… 5分（Ⅱ）因为数列{b }n 的首项为3，公比为3，故3nn b =，n a n =，所以1111(1)23(1)2n a n n n n n n c b λλ+--+=+-⋅=+-⋅．因为对任意的n N +∈，都有1n n c c +>成立， 即12113(1)23(1)2n n n n n n λλ++-++-⋅>+-⋅恒成立，化简得 113(1)()32n n λ--<⋅ …………… 9分当n 为奇数时，13()32n λ<⋅恒成立，所以113()32λ<⋅，即12λ<， 当n 为偶数时，13()()32n λ>-⋅恒成立，所以213()()32λ>-⋅，即34λ>-，综合可得31(,)42λ∈- …………… 13分21解：（Ⅰ）已知(,0)2p F ，则过点F 且斜率为1的直线方程为2py x =-． 联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 得： 22304p x px -+=， 设()1122(,),,M x y N x y ，则 123x x p +=， 所以 |MN |=124x x p p ++==4， 解得p=1．所以抛物线Γ的方程为22y x = ………………………… 5分 （Ⅱ）设000(,)(0),(0,),(0,)P x y x B b C c ≠，不妨设b>c ，直线PB 的方程为 00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=，又圆心（1,0）到直线PB 的距离为1，故1=，即22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+， 不难发现02x >，上式又可化为2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=， 所以b ，c 可以看做关于t 的一元二次方程2000(2)20x t y t x -+-=的两个实数根，则00002,(2)(2)y x b c bc x x --+==--，所以 ()2222000204(2)()4(2)x y x b c b c bc x +--=+-=- 因为点00(,)P x y 是抛物线Γ上的点，所以2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，又02x >，所以0022x b c x -=-． 所以20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--， 当且仅当04x =时取等号，此时0y =±，所以PBC ∆面积的最小值为8 ………………………… 13分22解：（Ⅰ）'11()((0,))mxf x m x x x-=-=∈+∞， 当0m ≤时，'()0f x >恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 此时函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m >时，由'11()0mx f x m x x-=-=>，得1(0,)x m ∈，由'11()0mx f x m x x -=-=<，得1(,)x m∈+∞，此时()f x 的单调递增区间为1(0,)x m ∈，单调递减区间为1(,)m+∞ …………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当m ≤0时，f （x ）在(0,)+∞上递增，f （1）=0，显然不成立；当m ＞0时，max 11()()ln 1ln 1f x f m m m m m==-+=-- 只需ln 10m m --≤即可， 令()ln 1g x x x =--， 则'11()1x g x x x-=-=，(0,)x ∈+∞ 得函数()g x 在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴min ()(1)0g x g ==()0g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，也就是ln 10m m --≥对(0,)m ∈+∞恒成立，∴ln 10m m --=，解1m =，∴若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则1m = …………… 8分（Ⅲ）证明：ln()()ln ln ln ln 1111b f b f a b a a b b a a b b a b a b a a a--+--==-=⋅-----，由（Ⅱ）得()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时去等号，又由0a b <<得1ba>， 所以有 0ln 1b b a a <<-， 即ln11ba b a<-．则2ln1111111(1)(1)1ba aab a a a a a a aa--⋅-<-==<++-，则原不等式()()1(1)f b f ab a a a-<-+成立……………13分。

2014-2015学年湖南省怀化市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}2．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜03．（5分）已知向量=（3，1），=（x，﹣2），=（0，2），若⊥（﹣），则实数x的值为（）A．B．C．D．4．（5分）运行如图的程序框图，则输出s的结果是（）A．B．C．D．5．（5分）函数f（x）=x+sinx（x∈R）（）A．是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数B．是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数C．是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数D．是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数6．（5分）由下列条件解△ABC，其中有两解的是（）A．b=20，A=45°，C=80°B．a=30，c=28，B=60°C．a=12，c=15，A=120° D．a=14，c=16，A=45°7．（5分）从装有2个黄球和2个蓝球的口袋内任取2个球，则恰有一个黄球的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）方程（x2+y2﹣4）=0的曲线形状是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=2x﹣﹣m的一个零点在区间（1，3）内，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，7）B．（0，5） C．（﹣7，1）D．（1，5）10．（5分）已知定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），若对任意的x∈（0，+∞），都有，则方程f（x）=2﹣x3的解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上的相应横线上.11．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则a3的值为．12．（5分）（文科）已知α∈（，π），sinα=，则tan=．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（x）的定义域为．14．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．15．（5分）已知集合M={x|mx+1﹣=0，x∈R}，若M=∅，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣cos2x，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．17．（12分）设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q 的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC且交SC于点N．（1）求证：平面SAC⊥平面AMN；（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．19．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n 项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x﹣y﹣4=0相切．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+3与圆C交于A，B两点，在圆C上是否存在一点M，使得=+，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2014-2015学年湖南省怀化市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3，5}，∴∁U A={0，4}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}．故选：A．2．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜0【解答】解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知a b＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；故选：D．3．（5分）已知向量=（3，1），=（x，﹣2），=（0，2），若⊥（﹣），则实数x的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵⊥（﹣），∴•（﹣）=0，即，∵向量=（3，1），=（x，﹣2），=（0，2），∴3x﹣2﹣2=0，即3x=4，解得x=，故选：A．4．（5分）运行如图的程序框图，则输出s的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：当n=2时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S=，n=4；当n=4时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S=，n=6；当n=6时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S=，n=8；当n=8时，满足进入循环的条件，执行循环体后，S=，n=10；当n=10时，不满足进入循环的条件，故输出的S值为，故选：B．5．（5分）函数f（x）=x+sinx（x∈R）（）A．是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数B．是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数C．是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数D．是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数【解答】解：∵f（x）=x+sinx，x∈R，∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），∴f（x）是奇函数求导函数可得f′（x）=1+cosx∵﹣1≤cosx≤1∴f′（x）=1+cosx≥0∴函数f（x）=x+sinx（x∈R）在（﹣∞，+∞）上是增函数故选：D．6．（5分）由下列条件解△ABC，其中有两解的是（）A．b=20，A=45°，C=80°B．a=30，c=28，B=60°C．a=12，c=15，A=120° D．a=14，c=16，A=45°【解答】解：A、由A=45°，C=80°，得到B=55°，根据正弦定理==得：a==，c=，则此时三角形只有一解，本选项错误；B、由a=30，c=28，B=60°，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=844，解得b=2，即此三角形只有一解，本选项错误；C、由a=12，c=15，得到a＜c，有A＜C，而A=120°，得到C也为钝角，则此三角形无解，本选项错误；D、由a=14，c=16，A=45°，根据正弦定理=得：sinC==＞，又c＞a，得到C＞45°，根据正弦函数的图象与性质得到C有两解，本选项正确，故选：D．7．（5分）从装有2个黄球和2个蓝球的口袋内任取2个球，则恰有一个黄球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从装有2个黄球和2个蓝球的口袋内任取2个球共有=6种方法，恰有一个黄球共有=4种，∴所求概率为P==故选：C．8．（5分）方程（x2+y2﹣4）=0的曲线形状是（）A．B．C．D．【解答】解：由（x2+y2﹣4）=0，得，或x+y+1=0．它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2=4在直线x+y+1=0右上方的部分．故选：C．9．（5分）函数f（x）=2x﹣﹣m的一个零点在区间（1，3）内，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，7）B．（0，5） C．（﹣7，1）D．（1，5）【解答】解：∵f（x）=2x﹣﹣m，∴可判断（0，+∞）单调递增函数，∵f（x）=2x﹣﹣m的一个零点在区间（1，3）内，∴f（1）＜0，f（3）＞0，即：m＞﹣1且m＜7，﹣1＜m＜7故选：A．10．（5分）已知定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），若对任意的x∈（0，+∞），都有，则方程f（x）=2﹣x3的解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由题意，∵对任意的x∈（0，+∞），都有，且f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数；故f（x）﹣log2x=c（c为常数）；故f（x）=log2x+c；故f（c）=3=log2c+c；故c=2；则方程f（x）=2﹣x3可化为log2x=﹣x3；作函数y=﹣x3与y=log2x的图象如下，仅有一个交点，故选B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上的相应横线上.11．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则a3的值为．【解答】解：∵a n=（n∈N*），+1∴，a3=．a1=2，∴，=﹣．故答案为：．12．（5分）（文科）已知α∈（，π），sinα=，则tan=．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（x）的定义域为（，1] ．【解答】解：要使函数有意义，则，解得＜x≤1，则函数的定义域是（，1]．故答案为：（，1]．14．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．【解答】解：∵正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，故它的侧（左）视图一定是一个高为2的矩形，当侧（左）视图的底面为俯视图的高时侧（左）视图面积最小，此时侧（左）视图面积S=2×=故答案为：15．（5分）已知集合M={x|mx+1﹣=0，x∈R}，若M=∅，则实数m的取值范围是m＜或m＞．【解答】解：由题意，方程mx+1﹣=0无解，令=t（t≥0），则x=t2+3，则m（t2+3）+1﹣t=0在[0，+∞）上无解．即mt2﹣t+1+3m=0，则若m=0，方程有解．若m＜0，则1+3m＜0，则m＜，若m＞0，则△=1﹣4m（1+3m）＜0或，解得，m＞，故答案为：m＜或m＞．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣cos2x，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由图可得A=1，，所以T=π．（2分）所以ω=2．当时，f（x）=1，可得，因为，所以．（5分）所以f（x）的解析式为．（6分）（Ⅱ）===．（10分）因为，所以．当，即时，g（x）有最大值，最大值为1；当，即x=0时，g（x）有最小值，最小值为．（13分）17．（12分）设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q 的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：∵p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，∴p：﹣1≤4x﹣3≤1，解得{x|≤x≤1}，q：{x|a≤x≤a+1}，∵￢p是￢q的必要而不充分条件，∴￢q⇒￢p，￢p推不出￢q，可得p⇒q，q推不出p，∴解得0≤a≤，验证a=0和a=满足题意，∴实数a的取值范围为：a∈[0，]；18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC且交SC于点N．（1）求证：平面SAC⊥平面AMN；（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，∴DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AM，又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD，∴AM⊥平面SDC∴SC⊥AM．由已知AN⊥SC，∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．（2）取AD的中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ．∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD，∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC，∴∠FQM为二面角D﹣AC﹣M的平面角．设SA=AB=a在Rt△MFQ中，，，∴，∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．解法2：（1）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，由于SA=AB，可设AB=AD=AS=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），，∴，∵，∴…．（4分）又∵SC⊥AN且AN∩AM=A，∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC∴平面SAC⊥平面AMN．（2）∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量，，设平面ACM的一个法向量为，∵，，则得∴，∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值是．19．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n 项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n=4n，∵T n﹣2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，两式相减，得b n=2b n ﹣1，（n≥2）则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n为偶数时，P n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）=．当n为奇数时，n=1时，P1=c1=a1=4，（法一）n﹣1为偶数，P n=P n﹣1+c n=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，（法二）P n=（a1+a3+…+a n﹣2+a n）+（b2+b4+…+b n﹣1）=．∴．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x﹣y﹣4=0相切．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+3与圆C交于A，B两点，在圆C上是否存在一点M，使得=+，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设圆O的半径为r，圆心为（0，0），∵直线x﹣y﹣4=0与圆O相切，∴d=r==2，…（3分）∴圆O的方程为x2+y2=4；…（5分）（Ⅱ）在圆O上存在一点M，使得=+，理由为：法1：∵直线l：y=kx+3与圆O相交于A，B两点，∴圆心O到直线l的距离d=＜r=2，解得：k＞或k＜﹣，…（7分）假设存在点M，使得=+，∴四边形OAMB为菱形，…（8分）∴OM与AB互相垂直且平分，…（9分）∴圆心O到直线l：y=kx+3的距离d=|OM|=1，…（10分）即d==1，整理得：k2=8，…（11分）解得：k=±2，经验证满足条件，…（12分）则存在点M，使得=+；…（13分）法2：记OM与AB交于点C（x0，y0），∵直线l斜率为k，显然k≠0，∴OM直线方程为y=﹣x，…（7分）将直线l与直线OM联立得，解得；∴点M坐标为（，），…（9分）又点M在圆上，将M坐标代入圆方程得：+=4，解得：k2=8，…（11分）∴k=±2，经验证满足条件，…（12分）则存在点M，使得=+．…（13分）21．（13分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x ﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g （t ）=t ﹣﹣2lnt （t ＞0）， 因为g′（t ）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g （t ）=t ﹣﹣2lnt 在t ∈（0，+∞）上单调递增，而g （1）=0， 所以当t ＞1时，g （t ）＞0；当0＜t ＜1时，g （t ）＜0， 也就是当a ＞1时，f （1）＞f （﹣1）； 当0＜a ＜1时，f （1）＜f （﹣1）（14分）①当a ＞1时，由f （1）﹣f （0）≥e ﹣1⇒a ﹣lna ≥e ﹣1⇒a ≥e ，②当0＜a ＜1时，由f （﹣1）﹣f （0）≥e ﹣1⇒+lna ≥e ﹣1⇒0＜a ≤， 综上知，所求a 的取值范围为a ∈（0，]∪[e ，+∞）．（16分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．第21页（共21页）③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

湖南省怀化市2015年高三第一次模拟考试数学理试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2一模数学（理科） －5－ （共4页） 一模数学（理科） －6－ （共4页）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2015年高三第一次模考 理科数学命题人：湖天中学 刘 华 审题人：王 杏、丁亚玲、蒋晖林、张理科试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．已知命题:,cos 1p x R ∃∈≤则 A. ;1cos ,:≥∈∃⌝x R x p B. ;1cos ,:≥∈∀⌝x R x p C. ;1cos ,:>∈∃⌝x R x pD. ;1cos ,:>∈∀⌝x R x p2．已知{}n a 是等差数列，若75230a a --=，则9a 的值是A . 9 B. 6 C. 3 D. 13．将函数)2sin(ϕ+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为A.4π B.43π C. 0 D. 4π-4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若α∥β，β∥γ， m ⊥α，则m ⊥γ；④．若α⋂γ=m ，β⋂γ=n ，m ∥n ，则α∥β.其中正确命题的序号是A ．①和③B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 5．若执行右边的程序框图，输出S 的值为4，则判断框中应填入的条件是 A. ?14<k B. ?15<k C. ?16<k D. ?17<k6．已知实数x 、y 满足242y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22)2()1(-+-=y x z 的最小值为A.95 B.35 C. 51D.557．已知集合}02|{2<--=x x x A ，}21lg|{+-==x x y x B ，在区间)3,3(-上任取一实数x ， 则B A x I ∈的概率为A ．81B ．41C ．31D ．1218．若443322104)3(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为A ．16-B ．16C ．13-D ．13+9. 定义符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x ，则下列结论中错误的是 A. ||)sgn(x x x ⋅= B. )0(||)sgn(≠=x x xx C. )sgn()sgn()sgn(y x xy ⋅= D. )sgn()sgn()sgn(y x y x +=+10. 知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x, 1A 、2A 是实轴顶点, F 是右焦点，),0(b B 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()2,1=i P i ，使得()2,121=∆i A A P i 构成以21A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 A ．)216,2(+ B ．5122(,)+ C ．)216,1(+ D ．512(,)++∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）11．若R z y x ∈、、, 且622=++z y x ，则222z y x ++的最小值为 .12. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线1C 的参数方程为2,1x t y t =⎧⎪⎨=-⎪⎩.（t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=-．则曲线1C 与曲线2C 的交点个数为 个.13．如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OB OA ⊥，2=OA ，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD = .（二）必做题（14~16题）一模数学（理科） －7－ （共4页） 一模数学（理科） －8－ （共4页）14．已知函数()f x 为奇函数, 且当0x >时, ()21,f x x x=+则()1f -= .15. 如图，在ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AD 上任一点， 且BC BA BE μλ+=，则μλ21+的最小值为_______.16.已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++-<≤=⎨->⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)已知向量)3,cos 2(2x m =，)2sin ,1(x n =，函数n m x f ⋅=)(. （Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且3)(=C f ，1=c ，ABC ∆的面积为23，且a > b ，求,a b 的值． 18．（本小题满分12分）某校为进行爱国主义教育，在全校组织了一次有关钓鱼岛历史知识的竞赛．现有甲、乙两队参加钓鱼岛知识竞赛，每队3人，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23、23、12，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队的总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望； （Ⅱ）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分” 这一事件，求)(AB P ． 19．（本小题满分12分）如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，CD AE 21=，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示． （Ⅰ）求证：//EM 平面ABC ；（Ⅱ）求出该几何体的体积；（Ⅲ）试问在边CD 上是否存在点N ，使 ⊥MN 平面BDE ？ 若存在，确定点N 的 位置；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分13分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x )(+∈N x 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元)0(>a ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高%2.0x ．（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？21.(本题满分13分)已知圆)40()4(1)1(:22222221<<-=+-=++r r y x F r y x F ）：（与圆的公共点的轨迹为曲线E ,且曲线E 与y 轴的正半轴相交于点M . 若曲线E 上相异两点A 、B 满足直线MA ,MB 的斜率之积为41. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）证明直线AB 恒过定点，并求定点的坐标； （Ⅲ）求ABM ∆的面积的最大值.22．(本小题满分13分)设函数)1ln()(2++=x a x x f .（Ⅰ）若函数)(x f y =在区间),1[∞+上是单调递增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数)(x f y =有两个极值点21,x x ，且21x x <，求证：2ln 21)(012+-<<x x f .一模数学（理科） －9－ （共4页） 一模数学（理科） －10－ （共4页）怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2015年高三一模 理科数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D C A A C B C B D B二、填空题11、 4 ； 12、1； 13、553； 14、 2- ； 15、9； 16、)1,43(.三、解答题14. 15.9 16.17解：（Ⅰ）22()(2cos ,3)(1,sin 2)2cos 3sin 2f x m n x x x x =⋅=⋅=+u r r……1分 cos 213sin 22sin(2)16x x x π=++=++ ………………… 3分∴函数()f x 的最小周期22T ππ==…………………… 4分由)(,2326222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ ……………… 5分得()f x 的单调递减区间Z k k k ∈++],32,6[ππππ……………6分（Ⅱ）31)62sin(2)(=++=πC C f ∴1)62sin(=+πC ΘC 是三角形内角， ∴262ππ=+C 即6π=C ……………… 8分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a ． 由23=∆ABC S 得32=ab ， 消去b 可得：71222=+a a…………………10分解之得432或=a ， 23或=a , ∴32或=b∴b a >,∴2=a ，3=b …………………… 12分18（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且30321(0)1327P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭， 213222(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223224(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 33328(3)327P C ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭……………4分ξ的数学期望为124801232279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…………… 6分 解法二：根据题设可知，2~33B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，…………… 3分因此ξ的分布列为3333222()1333k kk k kP k C C ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0123k =，，，………4分因为2~33B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以2323E ξ=⨯=…………… 6分（Ⅱ）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB C D =U ，且C D ，互斥…………… 7分 又22322211121111()133332332332P C C ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4103=…………… 9分333521114()33323P D C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………… 11分由互斥事件的概率公式得4551043434()()()333243P AB P C P D =+=+==…… 12分解法二：用k A 表示“甲队得k 分”这一事件，用k B 表示“乙队得k 分”这一事件，0123k =，，，． 由于事件30A B ，21A B 为互斥事件，…………… 7分故有30213021()()()()P AB P A B A B P A B P A B ==+U ．…………… 8分 由题设可知，事件3A 与0B 独立，事件2A 与1B 独立，…………… 9分 因此30213021()()()()()()()P AB P A B P A B P A P B P A P B =+=+3221322222211211123433232323243C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………… 12分 19（Ⅰ）证明：∵M 为DB 的中点，取BC 中点G ，连接EM,MG,AG ， ∴ MG ∥DC ，且DC MG 21=∴ MG //AE 且MG=AE ， ∴四边形AGME 为平行四边形， ∴EM ∥AG, 又AG平面ABC ∴EM ∥平面ABC.…………………………4分（Ⅱ）由题意，EA ⊥平面ABC , DC ⊥平面ABC ,AE ∥DC,AE=2, DC=4 ,AB ⊥AC,一模数学（理科） －11－ （共4页） 一模数学（理科） －12－ （共4页）且AB=AC=2（Ⅰ）∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥AB, 又AB ⊥AC,∴AB ⊥平面ACDE ∴四棱锥B-ACDE 的高h=AB=2，梯形ACDE 的面积S= 6 ∴4..31==-h s V ACDE B ， 即所求几何体的体积为4…………………………8分（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知EM ∥AG ，又∵面BCD ⊥底面ABC ，AG ⊥BC,∴AG ⊥平面BCD ∴EM ⊥平面BCD ，又∵EM平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面BCD在平面BCD 中，过M 作MN ⊥DB 交DC 于点N,∴MN ⊥平面BDE 点n 即为所求的点DMN ∆∽DCB ∆， DC DM DB DN =∴4662=⇒DN 3=⇒DN ，而DC DN 43= ∴ 边DC 上存在点N ，满足DN=43DC 时，有NM ⊥面BDE …………… 12分 解法2：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A （0，0，0），B （0，2，0），C （－2，0，0） D （－2，0，4），E （0，0，2），M （-1，1，2），)4,2,2(-=DB ， )2,0,2(-=DE)4,0,0(-=DC ， )2,1,1(-=DM假设在DC 边上存在点N 满足题意，[],1,0),4,0,0(∈-==λλλDC DN 设则).42,1,1()4,0,0()211(λλ+-=---=-=，，DN DM NM BDE MN 平面⊥Θ ，即⎩⎨⎧=+=++⎩⎨⎧=⋅=⋅∴08-42016-822,00λλDE NM DB NM解之得[].1,043∈=λ∴边DC 上存在点N ，满足DN=43DC 时，NM ⊥平面BDE ……………12分 20解：（1）由题意，得10(1000－x)(1＋0.2x %)≥10×1000，即2x －500x≤0， 又x ＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业 ……… 5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500x a x⎛⎫- ⎪⎝⎭万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭万元， 则310500x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤110(1000)1500x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭…………… 8分 所以50032x ax -≤1000＋2x －x －5002x ，所以ax≤50022x ＋1000＋x ，即a≤5002x ＋x1000＋1恒成立…………… 11分因为+5002x x 1000≥x x 100050022•＝4，当且仅当5002x ＝x1000， 即x ＝500时等号成立，所以a≤5，又a ＞0，所以0＜a≤5．所以a 的取值范围为(]5,0…………… 13分21解：（Ⅰ）设⊙1F ，⊙2F 的公共点为Q ,由已知得，r QF r QF F F -===4,,22121，故21214F F QF QF >=+, 因此曲线E 是长轴长的椭圆焦距22,42==c a ，且3222=-=c a b 所以曲线13422=+y x E 的方程为…………3分 （Ⅱ）由曲线E 的方程得，上顶点),,(),,(),3,0(2211y x B y x A M 记由题意知，0,021≠≠x x 。

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．=S n+1S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2c osθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。