（福建专用）2013年高考数学总复习 第六章第4课时 基本不等式 课时闯关（含解析）一、选择题1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取最小值4.2．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81解析：选C.对于A ，x ＋4x ≥4或者x ＋4x≤－4；对于B ，等号成立的条件不满足；对于D ，也是log 3x ＋log x 81≥4或者log 3x ＋log x 81≤－4，所以答案为C.3．(2012·广州检测)已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e解析：选C.∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ≥1⇒xy ≥e.4．(2011·高考陕西卷)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b解析：选B.∵0＜a ＜b ，∴a ＜a ＋b2＜b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )＞0，即ab＞a ，故选B.5．(2012·北京海淀区质检)设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≤1”是“|x |＋|y |≤ 2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.∵2|x ||y |≤|x |2＋|y |2＝x 2＋y 2≤1，∴(|x |＋|y |)2＝x 2＋2|x ||y |＋y 2≤2. ∴|x |＋|y |≤ 2.取x ＝0，y ＝2，不满足x 2＋y 2≤1，故是充分不必要条件． 二、填空题6．若x >0，y >0且xy ＝4，则x 2＋y 2的最小值为________，x ＋y 的最小值为________．解析：x 2＋y 2≥2xy ＝8；x ＋y ≥2xy ＝4. 答案：8 47．已知a 、b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b≥m ，恒成立的实数m 的最大值是________．解析：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥4.所以1a ＋1b 的最小值为4, m ≤1a ＋1b恒成立，m 的最大值是4.答案：4 8．(2011·高考浙江卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．解析：由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ，∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋x ＋y 24，解得－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值为233.答案：233三、解答题9．(1)当x <1，求函数f (x )＝x 2＋xx －1的最大值；(2)当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求表达式3x ＋27y＋2的最小值； (3)已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值． 解：(1)∵ x <1，∴设t ＝1－x >0.∴f (t )＝x 2＋x x －1＝1－t 2＋1－t －t ＝t 2－3t ＋2－t＝－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋3.∵t ＋2t≥22，∴f (t )≤－22＋3.当且仅当t ＝2t时取等号，即t ＝2，x ＝1－2，∴函数f (x )＝x 2＋xx －1的最大值为－22＋3.(2)由x ＋3y －4＝0得x ＋3y ＝4，∴3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2≥2·3x ·33y ＋2＝2·3x ＋3y＋2＝2·34＋2＝20，当且仅当3x ＝33y且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23时取“＝”．(3)由x ＋y －3xy ＋5＝0得x ＋y ＋5＝3xy . ∴2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy .∴3xy －2xy －5≥0，∴(xy ＋1)(3xy －5)≥0，∴xy ≥53，即xy ≥259，等号成立的条件是x ＝y .此时x ＝y ＝53，故xy 的最小值是259.10．已知：a ，b 是正常数，x, y ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝10，a x ＋by＝1，x ＋ y 的最小值为18，求a 、b 的值．解：∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ， 当且仅当bx 2＝ay 2时等号成立．∴x ＋y 的最小值为a ＋b ＋2ab ＝18. 又a ＋b ＝10.① ∴2ab ＝8, ∴ab ＝16.②由①②可得a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.一、选择题1．(2010·高考四川卷)设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a a －b的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.a 2＋1ab ＋1a a －b ＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a a －b＝a (a －b )＋1a a －b ＋ab ＋1ab≥2＋2＝4，当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取等号． 2．(2012·三明市三校联考)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝60°，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值为( )A ．20B ．18C ．16D ．9解析：选B.由AB →·AC →＝23，∠BAC ＝60°，则△ABC 的面积为1.则12＋x ＋y ＝1，即x＋y ＝12，1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (2x ＋2y )＝10＋8x y ＋2yx≥18.当且仅当8x y ＝2y x ，即y ＝2x 时，即x ＝16，y ＝13时取等号.二、填空题3．当a ＞0，a ≠ 1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n 的最小值是________．解析：A (2,1)，故2m ＋n ＝1. ∴4m ＋2n ≥24m ·2n ＝222m ＋n＝2 2.当且仅当4m ＝2n，即2m ＝n ，即n ＝12，m ＝14时取等号．∴4m＋2n的最小值为2 2. 答案：2 24．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥a ＋b2x ＋y，当且仅当a x ＝by时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值为________，取最小值时x 的值为________．解析：f (x )＝222x ＋321－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25.当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25.答案：25 15三、解答题 5．是否存在常数c ，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤c ≤y 2x ＋y ＋xx ＋2y对任意正实数x ，y恒成立？证明你的结论．解：存在常数c ＝23.证明：令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝m ，x ＋2y ＝n ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －n3，y ＝2n －m3.故有x 2x ＋y ＋y x ＋2y ＝2m －n 3m ＋2n －m 3n ＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3m ＋m 3n ≤43－23＝23，同理可证y 2x ＋y ＋x x ＋2y ≥23.故存在常数c ＝23.6．学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？ (2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该食堂每x 天购买一次大米，则每次购买x 吨，设平均每天所支付的费用为y 元，则y ＝1x[1500x ＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1501≥1521，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号，故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少．(2)y ＝1x[1500x ·0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1426(x ≥20)．函数y 在[20，＋∞)上为增函数，所以y ≥20＋10020＋1426＝1451.而1451<1521，故食堂可接受粮店的优惠条件．。
