中考数学压轴题对称问题双动点对称问题

专题19 动点问题与几何图形综合题型题型一、动点问题与几何图形最值问题主要有：线段最值；点到直线距离的最值；周长最值；面积最值等等.题型二、动点问题与几何问题相结合主要有：相似三角形的存在性；角平分线存在性；角度间的关系问题；面积关系问题等等.【例1】（2018·河南第一次大联考）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为().A．4B．C．7D．8【答案】D.【分析】如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，利用勾股定理及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半分别求出PE与AE的长，由AE+EP求出AP的最大值即可．【解析】解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN=4，NE=12MN=3，根据勾股定理得：PE=5，在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，△AE=12MN=3，则AP的最大值为：AE+PE=3+5=8，故选D．【点评】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-1】（2019·济源一模）如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，E 在 AC 上且 AE =23AC ，D 是直线 BC 上一动点，线段 ED 绕点 E 逆时针旋转 90°，得到线段 EF ，当点 D 运动时， 则线段 AF 的最小值是.【答案】22. 【解析】解：先确定F 点的轨迹，过E 作的直线BC 的平行线，分别过D 、F 作该平行线的垂线，垂足为G ，H ， 如图所示，由折叠性质，知△DEG △△EFH ， △EH =DG ，△△ABC 是等边三角形，AE =2，CE =1， △DG =CE ·sin60°=2， 即EH 为定值，△点F 落在直线FH 上，且FH △BC ，根据垂线段最短，当AF △FH 时，AF 的值最小， 如下图所示，过A 作AN △FH ，延长AC 交FH 于点M ，BAN 的长即为所求线段AF 的最小值， △EH =DG，△AMN =30°， △EM =2EH△AM，△AN =12AM，. 【例2】（2019·开封二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝43x ﹣4与抛物线y ＝43x 2+bx +c 交于坐标轴上两点A 、C ，抛物线与x 轴另一交点为点B ；（1）求抛物线解析式；（2）若动点D 在直线AC 下方的抛物线上，如图2，作DM △直线AC ，垂足为点M ，是否存在点D ，使△CDM 中某个角恰好是△ACO 的一半？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，说明理由．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）在y ＝43x ﹣4中，当x ＝0， y ＝﹣4，即C （0，﹣4）； 当y ＝0， x ＝3，即A （3，0）；BNM把点A、C坐标代入y＝43x2+bx+c，并解得：b=83-，c=－4，△抛物线解析式为：y＝43x283-x－4；（2）存在，作△ACO的平分线CP交x轴于点P，过P作PH△AC于点H，则CH＝CO＝4，OP＝PH，设OP＝PH＝x，则P A＝3﹣x，△OC＝4，OA＝3，△AC＝5，AH＝1，在Rt△PHA中，PH2+AH2＝AP2，即x2+12＝（3﹣x）2，解得：x＝43，△tan△PCH＝tan△PCO=13，△过点D作DG△x轴于点G，过点M作ME△x轴，与y轴交于点E，与DG交于点F．设M（m，43m﹣4），则ME＝m，FG＝OE＝4﹣43m，CE＝43m，可得：△CEM△△MFD，△当△DCM=12△ACO时，可得：3CE ME CMMF DF DM===， 即MF =49m ，DF =13m ，△DG =DF +GF =13m +4﹣43m =4－m ，EF =EM +FM =139m ，即点D (139m , m －4)，将其坐标代入y ＝43x 283-x －4得： 2413813443939m m m ⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭， 解得：m =0（舍）或m =1179676， △D 点横坐标为：139m =13152. △当△MDC ＝12△ACO ＝△PCH 时，同理可得：MF ＝4m ，DF ＝3m ， △EF ＝EM +MF ＝m +4m ＝5m ，DG ＝DF +FG ＝3m ﹣43m +4＝53m +4，△D （5m ，﹣53m ﹣4），△﹣53m ﹣4=()()24855433m m ⨯-⨯-，解得m ＝0（舍去）或m ＝720, 此时D 点横坐标为：5m =74；综上所述，点D 横坐标为13152或74． 【变式2-1】（2019·洛阳模拟）如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形AECP 的最大面积；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (0,1)，B （9,10）代入y =13x 2+bx +c 得：127810c b c =⎧⎨++=⎩，解得：12c b =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的解析式为：y =13x 2－2x +1.（2）由y =13x 2－2x +1知，抛物线的对称轴是x =3，∵AC ∥x 轴，A (0,1)，∴A 与C 关于对称轴对称，C (6,0)，AC =6 由A (0,1),B (9,10)得直线AB 的解析式为：y =x +1，设P （m ，13m 2－2m +1），则E (m ，m +1)，∴PE =－13m 2+3m ，∴S 四边形AECP =S △AEC +S △APC=12·AC ·EF +12·AC ·PF =12×6×（－13m 2+3m ）l=298124m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴当m =92时，四边形AECP 的面积取最大值814，此时点P (92，54-).（3）存在，点Q 坐标为（4,1）或（－3,1）.由y =13x 2－2x +1知点P (3, -2)，∴PF =3，CF =3，∴∠PCF =45°，同理，∠EAF =45°， 即∠PCF =∠EAF ，由勾股定理得：AB =AC =6，PC =， 设Q （n ，1）， ①当△CPQ ∽△ABC 时，CQ PCAC AB=，即66n -=t =4， 即Q (4,1).②当△CQP ∽△ABC 时，CQ PCAB AC=，=，解得：t =－3，即Q (－3,1).综上所述，符合题意的点Q 坐标为：(4,1)或(－3,1).1.（2019·济源一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线3944y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；抛物线294y ax bx =++（a ≠0）过A ，B 两点，与x 轴交于另一点C (-1，0)，抛物线的顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB 上方的抛物线上有一动点E ，求出点E 到直线AB 的距离的最大值；（3）如图2，直线AB 与抛物线的对称轴相交于点F ，点P 在坐标轴上，且点P 到直线 BD ，DF 的距离相等，请直接写出点P 的坐标．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）在3944y x =-+中，当x =0时，y =94；当y =0时，x =3，即A (3，0)，B (0，94)，将A (3，0)，C (－1，0)代入294y ax bx =++得： 99304904a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，△抛物线的解析式为：2339424y x x =-++.（2）过点E 作EM △x 轴交AB 于M ，过E 作EN △AB 于N ，点E 到AB 的距离为EN ， 可得△ENM △△AOB ， △EN EMOA AB=, 在Rt △AOB 中，OA =3，OB =94，由勾股定理得：AB =154，△1534EN EM=， 即EN =45EM ， 设E （m ，2339424m m -++），M （m ，3944m -+），则EM =2339424m m -++－（3944m -+）=23944m m -+，△EN =45EM =2439544m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=233275220m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， △当m =32时，E 到直线AB 的距离的最大值为2720.（3）△点P 到直线BD ，DF 的距离相等，△点P 在△BDF 或△BDF 邻补角的平分线上，如图所示，由2339424y x x =-++知D 点坐标为（1,3），△B （0，94），△BD =54，△DP 平分△BDF ， △△BDP =△PDF ， △DF △y 轴， △△BPD =△PDF ，△△BPD=△BDP,△BD=DP，△P(0,1),设直线PD的解析式为：y=kx+n，△n=1，k+n=3，即直线PD的解析式为：y=2x+1，当y=0时，x=12 -，△当P在△BDF的角平分线上时，坐标为（0,1）或（12-，0）；同理可得：当P在△BDF邻补角的平分线上时，坐标为：（0,72）或（7，0），综上所述，点P的坐标为：（0,1），（12-，0），（0,72），（7，0）.2.（2019·洛阳二模）如图，抛物线y=ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-4经过点B，C. 点P是直线BC上方抛物线上一动点，直线PC交x轴于点D．（1）直接写出a，c的值；（2）当△PBD的面积等于△BDC面积的一半时，求点P的坐标；（3）当△PBA= 12△CBP时，直接写出直线BP的解析式．【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线y=x-4经过点B，C，△B(4，0),C(0,－4),将B(4，0),C(0,－4)代入y=ax2+5x+c得：c=－4，a=－1，（2）抛物线解析式为：y=－x2+5x－4，过点P作PH△x轴于H，如图所示，设P(m, －m2+5m－4)，△△PBD的面积等于△BDC面积的一半，△PH=12OC=2，即－m2+5m－4=2，或－m2+5m－4=－2，解得：m=2或m=3或m或m，△0<m<4，△m=2或m=3或m（3）y=－x+4或y=（2x8，理由如下：△当点P在x轴上方时，此时由△PBA= 12△CBP可得：△PBA=△ABC=45°，可得直线BP的解析式为：y=－x+4；△当点P在x轴下方时，此时△PBA= 13△ABC=15°，△CBP=30°，设直线BP交y轴于点Q，过点Q作QE△BC于E，如图所示，设Q (0,m )，则OQ =－m ，QC =4+m ，△QE =CE =2（4+m ），BE =2（4+m ），△CE +BE（4+m ）（4+m ），解得：m 8，即Q （0，8），由B （4,0），可得直线BP 的解析式为：y =（2x 8，综上所述，直线BP 的解析式为：y =－x +4或y =（2x －8.3.（2019·洛阳三模）在平面直角坐标系中，直线y =12x －2与x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点 C ，二次函数y =12x 2+bx +c 的图象经过 B ，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点A ．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点M 是线段BC 上的一动点，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上．设点 D 的横坐标为 m ．过点 D 作 DM △BC 于点 M ，求线段 DM 关于 m 的函数关系式，并求线段 DM 的最大值；【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线y =12x －2与x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点 C ，△B (4,0),C (0,－2),△B 、C 在抛物线y =12x 2+bx +c 上，△8402b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：b =32-，c =－2，即抛物线解析式为：y =12x 232-x －2.（2）过点D 作DF △x 轴于F ，交BC 于E ，△D (m , 12m 232-m －2)，E (m ，12m －2)，F (m ，0)，其中0<m <4， △DE =12-m 2+2m ， △DM △BC ，△△DME =△BFD =90°， △△BOC =△DME =90°， △△OBC △△MDE ， △DM OBDE BC=,即DM OB DE BC =△DM=)2255m --+，△<0，△当m=2时，DM4.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的解析式；（2）若D(2，m)在该抛物线上，连接CD，DB，求四边形OCDB的面积；（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH△x轴于点H，再过点F作FG△x轴于点G，得到矩形EFGH．在点E的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，△40 16440a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得：a=-1，b=3，即抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4.（2）△抛物线y=-x2+3x+4与y轴交于点C △C（0,4），△D(2,m)在抛物线上，△m=6，即D(2,6),S四边形OCDB=S△OCD+S△OBD= 12×4×2+12×4×6=16，即四边形OCDB的面积为16.（322，理由如下：△EFGH为正方形，△EF=EH，设E(n，-n2+3n+4)，则F(3-n，-n2+3n+4)，△抛物线的对称轴为x=32，△n>3 2 ,△n－（3-n）=-n2+3n+4或n－（3-n）=-（-n2+3n+4），解得：n= 或n= (舍)或n= 或n= (舍)△边长EF=2n-3，得：EF22.5.（2019·濮阳二模）如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的动点，当S△P AB＝2S△AOB时，求点P的坐标.【答案】见解析．【解析】解：（1）将A（1，0）代入y＝﹣3x+c，得：c＝3，即B（0，3），将A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：-1+b+c=0，c=3，解得：b =-2，c =3，△抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3； （2）连接OP ，抛物线的对称轴为：x ＝﹣1，设P （m ，﹣m 2﹣2m +3），其中m ＜﹣1， S △P AB ＝S △POB +S △ABO ﹣S △POA ， △S △P AB ＝2S △AOB ， △S △POB ﹣S △POA ＝S △ABO ，△()2111312313222m m m ⨯⨯--⨯⨯--+=⨯⨯， 解得：m =－2或m =3（舍）， 即P 点坐标为（－2,3）.6.（2019·商丘二模）如图．在平面直角坐标系中．抛物线y ＝12x 2+bx +c 与x 轴交于A 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣1，0），点C 的坐标为（0，﹣2）．已知点E （m ，0）是线段AB 上的动点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作PE △x 轴交抛物线于点P ．交BC 于点F ．（1）求该抛物线的表达式；（2）当线段EF ，PF 的长度比为1：2时，请求出m 的值；（3）是否存在这样的m ，使得△BEP 与△ABC 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）将点A （﹣1，0）、C （0，﹣2）代入y ＝12x 2+bx +c 得：2102c b c =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：b =32-，c =－2， △抛物线的表达式为：y ＝12x 232-x ﹣2；（2）在y ＝12x 232-x ﹣2中，当y =0时，x =－1或x =4，即B (4,0),设直线BC 的解析式为：y ＝kx +n ，将点C （0，﹣2）、B (4,0)代入y ＝kx +n ，得：2420n k =-⎧⎨-=⎩，解得：212n k =-⎧⎪⎨=⎪⎩△直线BC 的表达式为：y ＝12x ﹣2， △E （m ，0），△P (m ，12m 232-m ﹣2)，F (m ，12m ﹣2)△当E 在线段AO 上时，EF >PF ，不符合题意； △当E 在线段OB 上时，EF =2－12m ，PF =12m ﹣2－（12m 232-m ﹣2）=－12m 2+2m ，△2EF =PF ，△2（2－12m ）=－12m 2+2m ，解得：m =2或m =4， △E 不与A 、B 重合， △m ≠4， 即m =2；（3）△A （﹣1，0）、C （0，﹣2）、B (4,0), △AB 2=25，AC 2=5，BC 2=20， △AB 2=AC 2+BC 2△△ABC 是直角三角形， 当△BEP 与△ABC 相似，则△EPB ＝△CAB 或△EPB ＝△ABC ，△tan △EPB ＝tan △CAB ，或tan △EPB ＝tan △ABC ， △当tan △EPB ＝tan △CAB 时， 即：24213222mm m -=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，解得：m ＝0或4（舍去）， △当tan △EPB ＝tan △ABC ， 即：241132222m m m -=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，解得：m ＝3或4（舍去）， 综上所述，m 的值为0或3．7.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC △x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线y ＝﹣x 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线于点G ，作PH △EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC △x 轴 △点E 的纵坐标为2， △点E 在直线y ＝﹣x 上， △点E （﹣2，2），△将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+；（2）△OC =CE =2， △△ECO =△CEO =45°， △PG △x 轴，PH △EO ， △△PGH =45°，即△PGH 为等腰直角三角形，P (m ，224233m m --+)，G （m ，﹣m ），△l=2PG224233m m --++m ）＝214m ⎫+⎪⎝⎭△3-<0， △当m =－14时，l.8.（2019·西华县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y =﹣2x +10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，P A=QA？【答案】见解析．【解析】解：（1）△直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，△A（5，0），B（0，10），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，△抛物线过点B（0，10），C（8，4），O(0,0)，△c=0，25a+5b=0，64a+8b=4，△a=16，b=56-，c=0抛物线解析式为y=16x256-x，△A（5，0），B（0，10），C（8，4），△AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，△AC2+BC2=AB2，△△ABC是直角三角形．（2）由（1）知BC=10，AC=5，OA=5，OP=2t，BQ=t，CQ=10﹣t，△AC=OA，△ACQ=△AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，AC=OA，P A=QA，△Rt△AOP△Rt△ACQ，△OP=CQ，即2t=10﹣t，解得：t=103，即当运动时间为103s时，P A=QA.9.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0，y＝5，当y＝0，x＝5，点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=4，c=5即二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5.（2）在y＝﹣x2+bx+5中，当y＝0时，x＝﹣1或5，△A（﹣1，0），OB＝OC＝2，∴△OCB＝45°；过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，△△OCB＝45°，∴CD″△x轴，点D″（2，5），连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，设直线D’D’’的解析式为：y＝mx+n将D′（0，﹣3），D″（2，5），代入解得：m=4，n=－3，直线D’D’’的解析式为：y＝4x﹣3，∴N(34，0).联立y＝4x﹣3，y＝﹣x+5得：x=85，y=175，即M(85，175).10.（2019·郑州模拟）如图，二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，OB=OC．点D 在函数图象上，CD∥x 轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b，c的值．（2）如图1，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′恰好在线段BE 上，求点F 的坐标．（3）如图2，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵CD∥x轴，CD=2，C在y轴上，∴抛物线的对称轴为：x=1，即b=－2，∵OB=OC，C(0，c)，∴B(-c,0)，即c2+2c+c=0，解得：c=0（舍）或c=－3，即b=-2，c=-3，（2）抛物线的解析式为：y= x2-2x-3，可得：E(1,-4)，A(-1,0)，B(3,0),C(0,-3),则直线BE的解析式为：y=2x-6，设F(0,m)，则其关于直线l对称点为F’(2,m)，∵F’在直线BE上，∴m=－2，即F(0，－2).(3)存在，理由如下：过点Q作QD⊥PN于D，连接PQ、NQ，设点P(x，0)，由B(3,0),C(0,-3)得直线BC的解析式为：y=x－3则M(x，x-3)，N(x,x2-2x-3)，AP=x+1，PM=3-x，PN= -x2+2x+3∵S△PQN=S△APM，∴PN·DQ=AP·PM，∴（-x2+2x+3）DQ=(x+1)(3-x)，即DQ=1，①当点D在直线PN右侧时，D(x，x2-4),Q(x+1,x2-4)，则DN=|2x-1|,在Rt△DNQ中，由勾股定理得：NQ2=(2x-1)2+12=4212x⎛⎫-⎪⎝⎭+1,当x=12时，NQ取最小值，此时Q(32，154-)；②当点Q在直线PN的左侧时，由对称性求得：此时Q(12，154-)；11.（2019·郑州模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c和直线y=x+1交于A、B两点，点A在x轴上，点B 在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C.（1）求抛物线的解析式.（2）点P从点A AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵B 点横坐标为3，在y =x +1上，∴B （3，4），∵A 点在y =x +1上，∴A （﹣1，0），将A （﹣1，0），B （3，4）代入y =﹣x 2+bx +c 得：10934b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：34b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y =﹣x 2+3x +4（2）①过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，由题意得：E （﹣1+t ，0），Q （3﹣2t ，0），∴EQ =4﹣3t ，PE =t∵∠PQE +∠NQC =90°，∠PQE +∠EPQ =90°，∴∠EPQ =∠NQC ，∴△PQE ∽△QNC ， ∴12PQ PE NQ CQ ==, ∴S 矩形PQNM =PQ •NQ =2PQ 2∵PQ 2=PE 2+EQ 2∴S =20t 2﹣36t +18 =26162055t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当t =65时，S 最小为165.②由①知：△PQE∽△QNC，C（3﹣2t，0），P（﹣1+t，t），∴NC=2QO=8﹣6t，∴N（3，8﹣6t），∴M（3t﹣1，8﹣5t），（i）当M在抛物线上时，可得：8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4解得：t t；（ii）当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2，（iii）当N在抛物线上时，8﹣6t=4，∴t=23，综上所述，当t，2，23时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．12.（2019·郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3,1），（3,0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B 随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是【答案】14-≤b≤1.【解析】解：当点A与点N重合时，MN⊥AC，B、M、N共线，∵N（3，1）∴b=1；当点A与点M重合时，延长NM交y轴于E，易知∠CAN=∠BAE，即tan∠CAN=tan∠BAE，∴11252BE=，∴BE=54，即b=14-，∴b的取值范围是:14-≤b≤1.。

2020年四川省成都市中考数学B卷培优专练（18）轴对称变换问题一、单选题1.如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形，，现将矩形ABCD沿AE 向上翻折，得四边形AEC'B'，连接BB'，若AB＝2，则线段BB'的长度为（）A. B. C.2 D.2.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则与之间有始终不变的关系是（）A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2C.3∠A=∠1+∠2D.3∠A=2（∠1+∠2）3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF （E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（）A.128°B.118°C.108°D.98°5.如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③＝④AD=BD•cos45°．其中正确的一组是（）A.①②B.②③C.①④D.③④6.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为()A.20B.24C.D.7.如图，△ABE，△ADC是△ABC分别沿着边AB，AC翻折形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，BE与DC交于点F，则∠BFC的度数为（）A.15°B.20°C.30°D.36°8.如图，在正方形中，是边的中点，将沿折叠，使点落在点处，的延长线与边交于点.下列四个结论:①;②;③;④S正方形ABCD，其中正确结论的个数为（）A.个B.个C.个D.个9.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A.140°B.100°C.50°D.40°10.如图，在四边形ABCD中，∠C=70°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.70°二、填空题11.在矩形中，，，点，分别为，上的两个动点，将沿折叠，点的对应点为，若点落在射线上，且恰为直角三角形，则线段的长为________.12.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=________.13.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为________.14.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当△为直角三角形时，BE的长为________.15.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________.16.∠A=65º，∠B=75º，将纸片一角折叠，使点C 落在△ABC外，若∠2=20º，则∠1的度数为________.17.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC分别交AD、AB于点E、F，将△AEF沿EF折叠，点A落在A′处，当△A′BC是等腰三角形时，AP的长为________．18.如图①的长方形ABCD中，E在AD上，沿BE将A点往右折成如图②所示，再作AF⊥CD于点F，如图③所示，若AB＝2，BC＝3，∠BEA＝60°，则图③中AF的长度为________．19.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边COOA分别在x轴，y轴上，点E在边BC上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的点F处，若OA=8，CF=4，则AE所在直线的表达式为________。

中考数学复习考点知识专题讲解动点型问题归类解析点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题．它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题．这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力．一、点动问题例1 如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，DE上AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12动点P从点A出发，沿折线AD－DC－CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止，设运动时间为t秒，y＝S△EPF，则y与t的函数图象大致是( )思路分析分三段考虑：①点P在AD上运动；②点P在DC上运动；③点P在BC上运动．分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．解在Rt△ADE中，综上可得，选项A的图象符合，故选A．点评解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，在具体解题中，可直接判断是一次函数还是二次函数，不需要求出解析式．二、线动问题例2 如图2所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l 垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是( )分析与解分三段考虑：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；综合选项可得，选A．点评解答类似问题，有时候只要我们能判断面积增大的快慢速度就能选出答案．三、面动问题例3 如图3所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为( )分析与解根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段：①小正方形向右未完全穿入大正方形，S＝2×2－V t×1＝4－Vt；②小正方形穿人大正方形，但未穿出大正方形，S＝2×2－1×1＝3；③小正方形穿出大正方形，S＝Vt×1．分析选项可得，选A．四、双动点问题双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系．例4 如图4，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B(10，0)，C(7，4)．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB＝2．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q 从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P 作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒(t>0)，△MPQ的面积为S．(1)点A的坐标为_______，直线l的解析式为_______；(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；(3)试求(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；(4)随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．思路分析 (1)利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB＝2，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D 的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式；(2)解答本小题，需要弄清动点在各阶段运动过程中的状态．(3)本小题考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据(2)中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值；(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论．过点C作CF⊥x轴于点F，则CF＝4，BF＝3，由勾股定理得BC ＝5．过点Q作QE⊥x轴于点E，②当1<t≤2时，如图6所示．过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ＝5t－5， PE＝AF－AP－EF＝11－2t－（5t－5）＝16－7t，③当点M与点Q相遇时，DM＋CQ＝CD＝1，即（2t－4）＋（5t－5）＝7，．解得t＝167时，如图7所示．当2<t<167．∵a＝－5<0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线t＝75∵当0<t≤1时，S随t的增大而增大，∴当t＝1时，S有最大值，最大值为9；②当1<t≤2时，②如图9所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t＝125．故当t＝209，或t＝125时，△QMN为等腰三角形．点评本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题的关键仍然是要对动点运动过程有清晰的理解．。

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A E
P D
Q
B
C
5. 如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点, 与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D. (2)运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化,请说明理由.
1
(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
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04
四边形
1 . 如 图 ， 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 8cm,E 、 F 、 G 、 H 分 别 是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 边 上 的 动 点 ， 且
AE=BF=CG=DH
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm， BC=30cm，动点P从A开始沿AD边向D 以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发， 当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？若AB=8cm，该平行四边形PQCD能否为菱形？ （2）当t为何值时，四边形ABQP为平行四边形？能否添加一个条件，使得该四边形ABQP为正方形？ （3）当t为何值时，以P,Q和四边形ABCD的其中两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
C
B
Q
O P
A
1.如图，在平面直角坐标系中，边长为a（a>0）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半 轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴, y轴正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限. (1)当∠BAO=45°时，求点P的坐标； (2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上； (3)设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由.