定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了]
考什
么怎么考
1．了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.
２.了解微积分基本定理的含义．１.考查形式多为选择题或填空题．２.考查简单定积分的求解．
３.考查曲边梯形面积的求解．
4.与几何概型相结合考查．
1．定积分
(1)定积分的相关概念:在错误!错误!f(x）d x中，ａ,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[ａ，ｂ]叫做积分区间，f(x）叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x）ｄx叫做被积式.
(2）定积分的几何意义
①当函数f（x)在区间［ａ，ｂ］上恒为正时，定积分错误!错误!f(x)d x 的几何意义是由直线x＝a,x＝ｂ(a≠b)，y=０和曲线y＝f（x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分）．
②一般情况下，定积分错误!错误!f(x)dｘ的几何意义是介于x轴、曲线f（x)以及直线x＝a,ｘ=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示），其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴
下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质: ①错误!错误!kf(ｘ)ｄx=k错误!错误!ｆ(ｘ)d x．
②错误!错误![f1(x)±f2(x)]ｄx=错误!错误!ｆ１(x）d x±错误!错误!f2(x)d x.
③错误!错误!ｆ（x)dｘ＝错误!错误!ｆ(ｘ)d x＋错误!错误!f(x）d x.
［探究] 1.若积分变量为t,则错误!错误!f(x)ｄx与错误!错误!f(t)d t是否相等?
提示:相等．
2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗?
提示：一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算．
3．定积分错误!错误![f（x)－ｇ(x)]d x（ｆ（ｘ)>g(ｘ）)的几何意义是什么？
提示：由直线ｘ=ａ,ｘ=b和曲线ｙ＝f(x），ｙ＝g（x)所围成的曲边梯形的面积．
2．微积分基本定理:如果ｆ(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且Ｆ′(x）=ｆ（ｘ),那么错误!错误!ｆ（x）d x=F（b）-F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便,常把F （b)－F(a）记成Ｆ(x)错误!错误!,即错误!错误!f（x)dｘ＝F（x)错误!错误! =F（ｂ)-Ｆ(a）．
课前预测：
1.错误!错误!错误!ｄx等于（)
A ．2l ｎ ２ B.-２ln 2 Ｃ．－l ｎ 2 D.l ｎ 2
2.(教材习题改编）一质点运动时速度和时间的关系为Ｖ
(ｔ)=t 2-t +2,质点作直线运动，则此物体在时间［1,2]内的位移为( )
A.＼ｆ(17,６) Ｂ．错误! C.错误! D.错误!
3.（教材习题改编)直线x =0，ｘ＝2,y =0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为_____＿＿_．
4.(教材改编题)错误!错误!错误!d x =＿__＿_＿＿_.
5.由y ＝＼f(1,x ),直线y =－x +＼f(５,２)所围成的封闭图形的面积为________
考点一 利用微积分基本定理求定积分
[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分:
(1)错误!错误!（x ２+2x ＋1）d x ；(2）错误!错误!（si ｎ ｘ-cos ｘ）d x ; (３)错误!错误!x (x +１)d x ;(4)错误!错误!错误!d x ; (５）20
π⎰ sin 2错误!d x . ———————————————————
求定积分的一般步骤：
(１）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;
(2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;
(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;
（4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；
(5)计算原始定积分的值.
强化训练:
1.求下列定积分:(１)错误!错误!|x -1|ｄｘ；(2) 20π⎰错误!d x .
考点二 利用定积分的几何意义求定积分
[例２] 错误!错误!错误!d x =_______＿.
变式：在本例中，改变积分上限,求错误!错误!错误!d ｘ的值． ———————————————————
利用几何意义求定积分的方法
（1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.
(２)利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．
强化训练：
2．(２014·福建模拟)已知函数f (ｘ）＝错误!错误!（cos t -sin t ）ｄt (x >0)，则f (ｘ)的最大值为___＿___＿.
考点三：利用定积分求平面图形的面积
［例3］ (2014·山东高考)由曲线ｙ=x ，直线y ＝x -2及y 轴所围成的图形的面积为( )
A.103 Ｂ．4 C.＼f （16,３) D.６
变式训练:
若将“y ＝ｘ-2”改为“y =－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？
———————————————————
利用定积分求曲边梯形面积的步骤
（１)画出曲线的草图.
(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限． (３)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差.
（4）计算定积分,写出答案．
强化训练:
3．（201４·郑州模拟)如图,曲线y ＝ｘ2和直线x =０，
ｘ＝１,y ＝14所围成的图形（阴影部分)的面积为( )
Ａ.２3 B ．错误! C.错误! ﻩD ．错误!
考点四：定积分在物理中的应用
［例4] 列车以７2 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度ａ=-０.4 m/s 2,问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？
—————
—————————————— 1.变速直线运动问题
如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v =v （t )(v (t ）≥0)，那么物体从时刻t =a 到ｔ＝b 所经过的路程为错误!错误!v (t )ｄｔ；如果做变速直线运动的物体的速度ｖ关于时间t 的函数是ｖ=v (t ）（v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到ｔ＝b 所经过的路程为－错误!错误!ｖ(ｔ)ｄｔ.
2.变力做功问题
物体在变力F (x ）的作用下，沿与力F (x )相同方向从ｘ=a 到x =b 所做的功为错误!错误!Ｆ(x )d x .
强化训练:
４.一物体在力F (x )＝错误!(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了４米，力F (x ）做功为( )
