复数四则运算汇总
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1 复数的四则混合运算 [本周教学内容]：复数 [重点]：复数的概念、复数的运算、复数的一些应用三部分。 复数的概念：复数的代数形式，复数的模，辐角，共轭复数，规定了复数的加，减，乘，除运算，利用复数的相等求平方根，一元二次方程求根，复数的几何意义：点，向量与解析几何的联系。 [难点]：一元二次方程根的讨论。
[例题讲解]： 例1．m为何实数时，复数Z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)实数；(2)虚数 ；(3)纯虚数；(4)零。
解：Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i (1)当m=1或m=2时，Z是实数。 (2)当m≠1且m≠2时，Z是虚数。
(3)当 即当时，Z是纯虚数。 (4)当 即m=2时，Z是零。
例2．已知：，求实数x。 解：
即或x≥8。 例3．计算： 2
解：原式= 例4．求的平方根。 解：设的平方根为x+yi (x,y∈R)， 则
由复数相等的定义得 (1)2+(2)2，得(x2+y2)2=25 x2+y2=5 (舍去负值)........(3)
(1)+(3)，x2=3, x=, (3)-(1), y2=2, 。
∵ ，∴ 或 ∴ 的平方根为。
例5．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。 解：|Z-(-2+2i)|=1，几何意义：Z在复平面上对应的点集是以O＇(-2,2)为圆心，r=1的圆。 |Z|的几何意义是⊙O＇上的点与原点的距离；
， ∴ , 。 例6．说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。 3
解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a， 几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F1(-1,0)，F2(2,0)距离之和等于2a的轨迹，|F1F2|=3。
(1)当2a>3即时，Z的轨迹是以F1，F2为焦点，2a为长轴的椭圆。 (2)当2a=3即时，Z的轨迹是线段F1，F2。 (3)当2a<3即时，Z的轨迹不存在。 例7．已知a∈R，方程x2+2x+a=0的两根为a、b，求|a|+|b|。 解：∵ a∈R，∴ 方程为实系数一元二次方程，可以用Δ来判定方程有无实根。 (1)当Δ=4-4a≥0，即a≤1时，方程的根a、b为实数根。
由韦达定理 又∵ |a|+|b|≥0，
∴
①当0≤a≤1时，|a|+|b|=2, ②当a<0时，|a|+|b|=。 (2)当Δ=4-4a<0，即a>1时，方程的根a、b为虚根。
例8．已知是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的根，求a,b的值。 解：。 方法(1) ∵ 实系数一元二次方程虚根为一对共轭复数，
∴ 也是该方程的根。 4
由韦达定理： 解得：a=1，。
方法(2)，∵ 是方根的根，代入原方程整理得： 。
由复数相等的定义得 解得a=1，。
[本周参考练习] 一、选择题： 1．下面四个命题，正确的是（ ）。
A、|Z|2=Z2 (Z∈C) B、 (Z∈C) C、|Z|<1-1
2．Z1，Z2∈C, 则Z1+Z2∈R, 且Z1·Z2∈R，是Z1与Z2共轭的（ ）。 A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
3．复数的共轭复数是（ ）。 A、3-4i B、3+4i C、 D、 4．关于x的一元二次方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根，则m的取值范围是（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．在复平面内，若|Z-1+2i|+|Z-1-2i|=4. 则复数Z的对应的点的轨迹是（ ）。 A、椭圆 B、圆 C、直线 D、线段 5
6．设Z=x+yi(x,y∈R)，则满足等式|Z+2|=-x的复数Z对应的点的轨迹是（ ）。 A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆
7．若P、Q是复平面内|Z|=2与直线的两个交点，则P与Q之间的距离为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、填空题
1．设复数Z1=2-i, Z2=1-3i, 则复数的虚部等于________。 2．-5-12i的平方根是______。
3．若x∈C且x2+ix+6=5x+2i，则x=______。 参考答案： 一、1. D 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. A
二、1. 2. 2-3i, -2+3i 3. 2, 3-i 在线测试 选择题 1．实数m≠-1时，复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i是（ ）。
A、实数 B、虚数 C、纯虚数 D、不能确定 2．若x，y∈R，“x=0”是“x+yi”为纯虚数的是（ ）。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3．下列式子或结论中正确的是（ ）。
A、|1-3i|>|3cosθ+i·3sinθ| B、|cosθ+isinθ|= C、|5+2i|>|-1-6i| D、|cosθ+isinθ|的最大值是，最小值是零。 4．如果z=x+yi (x，y∈R)，则有（ ）。
A、|z|≤|x|+|y|≤|z| B、|z|<|z|≤|x|+|y| C、|z|≤|x|+|y|<|z| D、|z|<|z|<|x|+|y| 5．设z1，z2∈C，z1=的一个必要不充分条件是（ ）。 A、|z1-z2|=0 B、 C、z1=z2 D、|z1|=|z2| 6
6．已知f(z)=1-，且z1=2+3i，z2=5-i，则的值是（ ）。 A、-3+4i B、3-4i C、4-4i D、4+4i 7．若复数z满足|z+3-4i|=2，则|z|的最小值和最大值分别是（ ）。
A、1和9 B、3和7 C、5和11 D、4和10 8．(1+i)15-(1-i)15的值是（ ）。
A、-256i B、256i C、256 D、-256
9．若，则(z2-z)-1的值等于（ ）。 A、-2 B、-1 C、1 D、±1
10．若x3-1=0有一个虚根，那么ω2n+ωn+1 (n∈N)的值是（ ）。 A、0 B、1 C、3 D、0或3 答案与解析 答案：1. D 2. B 3. A 4. A 5. D 6. C 7. B 8. A 9. B 10. D
解析：略。 数的由来和发展 你是否看过杂技团演出中“小狗做算术”这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如“2+5”，由演员写到黑板上。小狗看到后就会“汪汪汪……”叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的“数学尖子”表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。
人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表，捕获了3头，就放3块石子。“结绳记事”也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有“结绳而治”的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大不相同。 古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。 实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”。 2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如“IV”表示“4”，“XL”表示“40”，“VD”表示“495”。 3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有“10”这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到
