几何变换法在初中数学解题中的应用
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几何变换法在初中数学解题中的应用
在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而
得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。
中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习
题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到
中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有
利于对图形本质的认识。
几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
例1、在矩形ABCD中，AB=2，AD=3．
（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；
（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．
①求证：点B平分线段AF；
②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求
出旋转度数；若不能，请说明理由．
答案：（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC。
由∠D=90°，DE=1，AD=3，推得∠DEA=60°，同理，∠CEB=60°，
从而∠AEB=∠CEB=60°，即EB平分∠AEC。
（2）①∵CE∥BF，∴BFCE=BPCP=21 ∴BF=2CE。
∵AB=2CE，∴点B平分线段AF
②能。
证明：∵CP=313，CE=1，∠C=90°，∴EP=323。
在Rt△ADE中，AE= 2213 =2，∴AE=BF，
又∵PB=332，∴PB=PE
∵∠AEP=∠BP=90°，∴△PAS≌△PFB。
∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。
旋转度数为120°。
【解析】本题综合考查学生三角形相似及全等、矩形性质、勾股定理、旋转等等
几何知识的应用。（1）发散思维的考查，让学生自己找满足条件的点，并说明
理由。题目中给出AB=2，AD=3，发现满足条件的点为AB的中点；利用三
角函数的知识，及平角为180度，很容易得到结论。（2）①应用相似三角形的
知识得BF=2CE，且AB=2CE，所以点B平分线段AF。（3）问：△PAE能否由
△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，即证明：△PAE和△PFB是否全等。
平移在几何中的运用
例2、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的
顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的
坐标为（﹣1，1）．
（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△
A1B1C1．试在图中画出图形Rt△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画
出图形Rt△A2B2C2．并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程．
考点：作图-旋转变换；弧长的计算；作图-平移变换。
专题：作图题。
分析：（1）根据网格结构找出点A．B．C平移后的对应点A1、B1、C1的位
置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后的对应点A2、
B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出A1C1的长度，然后
根据弧长公式列式计算即可得解．
解答：解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，
点A1的坐标为（1，0）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形，
根据勾股定理，A1C1==，
所以，旋转过程中C1所经过的路程为=π．
点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，弧长的计算公式，熟
练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．
对称在几何中的运用
例3.（2012•德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P
为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B
落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S
是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
考点： 翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；
正方形的性质。
分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得
出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，
利用二次函数的最值求出即可．
解答： （1）解：如图1，∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．
（2）△PHD的周长不变为定值8．
证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH=QH．
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．
又∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，
∴∠EFM=∠ABP．
又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM≌△BPA．
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．
解得， ．
∴ ．又四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴ ．
即： ．
配方得， ，
∴当x=2时，S有最小值6．
点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定
理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系
是解题关键．
