专题 几何关系巧解圆锥曲线问题
解决圆锥曲线中的范围、最值问题一般有三种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解；三是通过建立不等式、解不等式求解.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用几何关系解答圆锥曲线的综合问题，特别是最值（范围）问题的常见解法. 1、利用几何关系求最值的一般思路:
（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关
（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到.因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值.所以只有共线时才有可能达到最值.要注意动点与定点相对位置关系.一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上.
（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置
（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置. 2、常见的线段转移： （1）利用对称轴转移线段
（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移.
（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化. （4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径
（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上）
3、与圆相关的最值问题：
（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点
C P C r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC
（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦
解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为
最小，则要取最大，
在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中， ，所以时，最小
（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为
（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于
（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为 解：，则若最小，则只需最小即可，
所以点为过作垂线的垂足时，最小，过作圆的切线，则切线长
最短
4、与圆锥曲线相关的最值关系：（1）椭圆：设椭圆方程为
① 焦半径：焦半径的最大值为，最小值为
② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直
C P P MN
AB =AB d CP
P d CP ≤d CP =AB N
C l C l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM PM =
PM CP P C l CP ∴P PM ()22
2210x y a b a b
+=>>a c +a c -2
2b a
（2）双曲线：设双曲线方程为
① 焦半径：焦半径的最小值为，无最大值
② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直
（3）抛物线：设抛物线方程为
① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即 ② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为
【经典例题】
例1．（2020·山西运城·高三三模）已知抛物线2
1:4
C y x =
的焦点为F ，O 为坐标原点，点A 在抛物线C 上，且2AF =，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，则PA PO +的最小值为（ ）. A
B
．C
．D
．例2．（2020·北京海淀·人大附中高三三模）点P 在曲线2
4y x =上，过P 分别作直线1x =-及3y x 的
垂线，垂足分别为G ，H ，则PG PH +的最小值为（ ）
A
．
32
2
B ．22
C ．
32
12
+ D ．
22+
例3．（2020·湖北东西湖·武汉为明学校高三三模）已知F 是抛物线2
4y x =的焦点，则过F 作倾斜角为60?的直线交抛物线于,A B （A 点在x 轴上方）两点，则
||
||
AF BF 的值为（ ） A ．9 B ．3 C ．2
D
例4．（2020·河北桃城·衡水中学高三三模）已知点(0,2)A ，抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ） A ．2B ．1:2
C ．
D ．1:3
例5．（2020·山东省平邑县第一中学高三三模）已知O 为坐标原点，双曲线C ：()
2222100x y a b a b
-=＞，＞()22
2210,0x y a b a b
-=>>a c -2
2b a
2
2y px =2
p 2p
的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF ∥OA ，若0AB OB ?=，则双曲线C 的离心率为（ ） A
．
3
B
C
D ．2
例6．（2020·湖南益阳·高三三模）过抛物线()2
:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，
若3AF BF =，O 为坐标原点，则AF
OF
=（ ） A ．
43
B ．
34
C ．4
D ．
54
例7．（2020·梅河口市第五中学高三三模）设抛物线2
4y x =的焦点为F
，过点)
M
的直线与抛物线
相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，3BF =，则BCF △与ACF 面积的比
BCF ACF
S S
=（ ）
A ．
34
B ．
45
C ．
56
D ．
67
例8．（2020·安徽高三三模）已知直线:1l y kx =+与抛物线2
:4C x y =交于A 、B 两点，
直线:22m y kx +＝与抛物线2
:8D x y =交于M 、N 两点，
若对于任意k ∈R 时，AB MN λ-为定值，则实数λ的值为（ ）. A ．12 B ．8 C ．4 D ．2
【精选精练】
1．（2020·山西运城·高三三模）已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，
为原点，点P 是抛物线C 的准线上的
一动点，点A 在抛物线C 上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（2020·全国高三三模）已知椭圆22
12516
x y +=，()3,0A ，()2,1B -，点M 是椭圆上的一动点，则MA MB
+的最小值为（ ）
A ．6
B ．10
C ．11
D ．12-
3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）设双曲线C ：22
218x y b
-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的
直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上，若点2F 在线段MN 的中垂线上，则
MN =（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．4
4．（2020·湖北武汉·高三三模）已知过抛物线C ：2
4y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆
2
2
20x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则
11
PM QN
+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5．（2020·贵州贵阳·高三三模）已知F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点，O 是坐标原点.过F
作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，并交y 轴于点Q .若3OQ OP =，则C 的离心率为( )
A ．
4
B C D
6．（2020·福建高三三模）已知椭圆22
:11612
x y C +=，圆22:320A x y x y +--+=，P ，Q 分別为椭圆C
和圆A 上的点，(2,0)F -，则||||PQ PF +的最小值为( )
A ．42
-
B ．8-
C ．4
D ．8
7．（2020·湖南益阳·高三三模）如图，已知1F ，2F 为椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，
过原点O 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（22AF BF >），若1212==4AF AF AF AF +-，124AF BF S =，则2tan BAF ∠=（ ）
A ．
1
4
B ．
13
C ．2
D ．2
8．（2020·佛山市顺德区容山中学高三三模）已知抛物线2
4C y x =：与圆()2
219：-+=E x y 相交于A ，B
两点，点M 为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（ ） A ．(3，5)
B ．(5，7)
C ．(6，8)
D ．(6，8]
9．（2020·四川仁寿一中高三三模）已知点F 为抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线l 交C 于
A ，
B 两点，与
C 的准线交于点M ，若2=BM BA ，则||AB 的值等于（ ）
A ．
3
4
p B ．2p C ．3p
D ．
94
p 10．（2020·陕西新城·西安中学高三三模）如图，()1,0F c -，()2,0F c 分别为双曲线Γ：22221x y a b
-=（a ，0b >）的左?右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆()2
22x c y r -+=相切于点P ，设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A ?B 两点（A ?B 位于线段1F P 上），若132F A AB =
且1
2
BP AB =，则双曲线Γ的离心率为（ ）
A B C D ．4
11．（2020·广东深圳·高三三模）已知过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PF 的中点，连接OM ，则∥OMQ 的最小面积为（ ）
A ．1
B C ．2
D ．4
12．（2020·芜湖县第一中学高三三模）已知椭圆22
1:184
x y C +
=的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()22:20C y px p =>的准线l 过点1F ，设P 是直线l 与椭圆1C 的交点，Q 是线段2PF 与抛物线2C 的一个
交点，则2QF =（ ）
A ．(123-
B ．(124-
C D ．