经典数列求和公式

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数列求和的常用方法

永德二中 王冬梅

数列是高中数学的重要内容， 又是学习高等数学的基础。 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。

数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定 的技巧。

下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。

/ 第一类：公式法 \

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、 等差数列的前n项和公式

n(ai an) n(n 1)d Sn nai 2 2

2、 等比数列的前n项和公式

n ai(q 1) \

Sn ai (1 qn) ai a.q -------------- ------------- (q 1) 1 q 1 q

3、 常用几个数列的求和公式

(1 )、 Sn n

k 1 2 3

n ^n(n 1)

k 1

2

(2 )、 Sn n

k2 12 22 32 n2 ^n(n 1)(2n 1)

k 1

6

(3 )、 Sn n

k3 13 23 33 n3 [：n(n 1)]2

k 1 2

第二 类： 乘公比错项相减］ (等差 等比)

这种方法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列 ｛an bn｝的前n 项和，其中｛an｝，｛0｝分别是等差数列和等比数列。

例1 ：求数列｛nqn 1｝ (q为常数)的前n项和。

解：1、若 q =0,则 Sn =0

n、若 q =1，则 Sn 1 2 3 n = n(n 1) 2

『若 q丰0且q丰1,

则Sn 1 2q 3q2 n 1 nq ①

qSn q 2q2 3q3 n nq ② 百度文库-让每个人平等地提升自我

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的等比数列前 n项和公式就是用这种方法推导出来的） ，但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后

再综合成三种情况。

详解数列求和的六种⽅法⼋个典型例题

数列求和是数列的重要内容之⼀，除了等差数列和等⽐数列有求和公式外，⼤部分数列的求和

都需要⼀定的技巧。

第⼀类:公式法

利⽤下列常⽤求和公式求和是数列求和的最基本最重要的⽅法。

1、等差数列的前n项和公式

2、等⽐数列的前项和公式

3、常⽤⼏个数列的求和公式

第⼆类:乘公⽐错项相减(等差x等⽐)

这种⽅法是在推导等⽐数列的前n项和公式时所⽤的⽅法，这种⽅法主要⽤于求数列{a ×b,}的前n项和，其中{a}，{b}分别是等差数列和等⽐数列。

第三类:裂项相消法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应⽤。

裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去⼀些项，最终达到求和

的⽬的通项分解(裂项)如:

解析:要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意:究竟是像例2-样剩下⾸尾两项，还是像

例3-样剩下四项。

第四类:倒序相加法

解析:此类型关键是抓住数列中与⾸末两端等距离的两项之和相等这--特点来进⾏倒序相加的。此

例题不仅利⽤了倒序相加法，还利⽤了裂项相消法。在数列问题中，要学会灵活应⽤不同的⽅

法加以求解。

第五类：分组求和法

有⼀类数列，既不是等差数列，也不是等⽐数列，若将这类数列适当拆开，可分为⼏个等差、

等⽐或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

这个题，除了注意分组求和外，还要注意分类讨论思想的应⽤。

第六类：拆项求和法

在这类⽅法中，我们先研究通项，通项可以分解成⼏个等差或等⽐数列的和或差的形式，再代

⼊公式求和。解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。

这篇⽂章中，有6类重要⽅法，8个典型例题，⼤部分常见数列的前n项和都可以求出来了。

1 求数列前N项和的七种方法

1. 公式法

等差数列前n项和：

11()(1)22nnnaannSnad

特别的，当前n项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n项和：

q=1时，1nSna 1111nnaqqSq，，特别要注意对公比的讨论。

[例1] 已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.

解：由212loglog3log1log3323xxx

由等比数列求和公式得 nnxxxxS32 （利用常用公式）

＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21nnSn， )2)(1(211nnSn

∴

1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501

∴ 当

88n，即n＝8时，501)(maxnf

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：132)12(7531nnxnxxxS……………①

解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积

设nnxnxxxxxS)12(7531432………. ② （设制错位）

①－②得 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432

数列求和常用公式

数列求和，这可是数学里的一个重要“关卡”！咱们从小学到高中，这部分知识都在不断深入和拓展。

先来说说等差数列的求和公式，那就是“Sn = n(a1 + an) / 2”。这里面的“n”是项数，“a1”是首项，“an”是末项。比如说，咱们有一个等差数列 1，3，5，7，9，要算它前 5 项的和。首项“a1”是 1，末项“an”是

9，项数“n”是 5，那用这个公式算出来就是 5×(1 + 9) / 2 = 25。

再看看等比数列的求和公式，“Sn = a1(1 - q^n) / (1 - q)” （q≠1）。这里的“q”是公比。举个例子，有个等比数列 2，4，8，16，32，公比“q”是 2，要算前 5 项的和，首项“a1”是 2，代入公式就是 2×(1 - 2^5) /

(1 - 2) = 62。

我记得有一次给学生们讲数列求和的课，有个学生特别有意思。当时我正在黑板上写等差数列求和的公式，他突然举手说：“老师，这公式看起来好复杂，怎么能记住啊？”我笑着对他说：“别着急，咱们来做个小游戏。” 我让大家把自己的学号当成数列的项，从 1 号开始，然后按照等差数列的规律，假设公差是 2，依次写出前 10 个学号对应的数字。接着，我让他们分组用刚刚讲的公式去计算这个“学号数列”的和。这一下，大家都忙起来了，一边算一边讨论，那个一开始觉得公式复杂的同学也全神贯注地参与其中。等大家算完，我再带着他们一起验证答案，发现用公式算出来的结果和他们分组计算的完全一致。这时候，那个同学恍然大悟：“原来用公式算这么简单，一下子就出来结果啦！” 从那以后，他再也不觉得数列求和的公式难记了。

还有一些特殊的数列求和，比如自然数数列 1，2，3，4，5……的求和，就可以用“Sn = n(n + 1) / 2”这个公式。

再比如，咱们遇到一个数列，相邻两项的差是有规律的，像 1，4，9，16，25……这时候，可以通过对每一项进行分析，找到规律来求和。