(广东专用)2020高考数学第一轮复习用书 第10课 基本不等式 文

专题10 不等式、推理与证明、算法初步、复数

1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若312iiz，则||=z

A．0 B．1

C．2 D．2

【答案】C

【解析】因为31+21+21ziiiii，所以22112z．

故选C．

【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．

2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】（1–i）4=

A．–4 B．4

C．–4i D．4i

【答案】A

【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4iiiii.

故选A.

【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.

3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若)(1i1iz，则z=

A．1–i B．1+i C．–i D．i

【答案】D

【解析】因为21(1)21(1)(1)2iiiziiii，所以zi.

故选：D

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.

4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】2i12i

A．1 B．−1

C．i D．−i

【答案】D

【解析】2(2)(12)512(12)(iiiiii12)ii5

故选：D

【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．【2020年高考北京】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则iz

A．1i2 B．2i

C．12i D．2i

【答案】B

【解析】由题意得12iz，ii2z.故选：B．

【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知a>0，b>0，且a+b=1，则

A．2212ab B．122ab

C．22loglog2ab D．2ab

广东省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练

不等式

1、（广州市2018高三一模）若x，y满足约束条件20,210,10,xyyx≥≥≤ 则222zxxy的最小值为

A．12

B．14

C．12 D．34

2、（珠海市2019届高三9月摸底考试）变量xy，满足034040xyxyxy≥≤≤，则2zxy的最小值为_____．

3、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）设11ab，0b，则下列不等式中恒成立的是

A.ba11 B.ba11 C.2ab D.22ab

4、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是 ※※ 万元.

5、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）设变量,xy满足约束条件：-222xxyyx，则22zxy的最大值是 .

6、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）若实数x，y满足||||2xy，则222Mxyx的最小值为（ ）

A．2 B．0 C．212 D．12

7、（佛山市2019届高三教学质量检测（二））设实数x，y满足的约束条件00201yyxyx，则yxz的取值范围是（ ）

A．]1,1[ B．]2,1[ C．]3,1[ D．]4,0[

高中数学第一轮复习04基本不等式

·知识梳理·

模块01：平均值不等式

一、平均值不等式有关概念1、通常我们称ab

为正数ab、的算术平均值，称ab为正数ab、的几何平均值。

2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数ba、，有

2ab

ab

，

且等号当且仅当ab时成立.

3、定理：对于任意的实数ba、，有2()

2ab

ab

，且等号当且仅当ba时成立。

即对任意的实数ba、，有222abab，且等号当且仅当ba时成立。

[注意事项]：

222abab和

2ab

ab

两者的异同：

（1）成立的条件是不同的：前者只要求,ab都是实数，而后者要求,ab都是正数；

（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当ab时取等号”；

（3）222abab可以变形为：22

2ab

ab

；2ab

ab

可以变形为：2()

2ab

ab

。

4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，ACa,BCb，过点C作

DCAB交圆于点D，连接AD、BD.易证~RtACDRtDCB，那么2CDCACB，即CDab.这个圆的半径为

2ba

，它大于或等于CD，即abba



2，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.

[知识拓展]

1、当0ab

时，222

1122abab

aabb

ab





（调和平均值几何平均值算术平均值平方平均值）

2、123,,,,

naaaa是n个正数，则12naaa

n

称为这n个正数的算术平均数，12nnaaa称为这n个正数的几何平均数，它们的关系是：12

12nnnaaa

aaa

n



，当且仅当12naaa

时等号成立.

2二、利用基本不等式求最值问题

（1）“积定和最小”：2abab如果积ab是定值P，那么当ab时，和ab有最小值2P；

（2）“和定积最大”：2()

2ab

ab

第3节 基本不等式及其应用

考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

1.基本不等式：ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).

1.ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.

2.ab≤a＋b22≤a2＋b22. 3.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0).

4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.

5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.( )

(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.( )

(3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为－5.( )

(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.( )

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

解析 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；

不等式a＋b2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.

(2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.