用方程与函数思想指导三角形求解问题

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．

(2)商数关系：tan α＝sin αcos α．

2．六组诱导公式

组数 一 二 三 四 五 六

角

α＋2kπ(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin α －sin_α －sin α sin α cos_α cos α

余弦 cos α －cos α cos_α －cos α sin α －sin_α

正切 tan α tan α －tan α －tan_α

口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限

简记口诀：把角统一表示为kπ2±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．

1．辨明三个易误点

(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin23α＋cos23α＝1，sin α2cos α2＝tan α2.

(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．

(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．

2．三角函数求值与化简的三种常用方法

(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．

(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．

(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ) ＝tanπ4＝….

1．cos－20π3＝( )

A.12 B.32

C．－12 D．－32

C

2．已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则sin(π＋α)等于( )

A.35 B．－35

C.45 D．－45

D 因为sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，

第5节三角函数的应用

1.

经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.

2.

能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意

义进行说明.

3.

发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.

1.

从实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学思想.

2.

进一步感受数形结合思想(方程方法与画图法),力图引导学生从三个例题解答中归纳并建构

数学模型思想,即抽象成平面图形(直角三角形)后,再利用三角函数解决问题.

1.

发展学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.

2.

能将实际问题抽象成数学问题(数学符号或图形).

3.

让学生在探索活动中相互合作与交流,进一步发展学生的合作交流能力和数学表达能力.

【重点】

1.

经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的作用.

2.

发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.

【难点】灵活将实际问题转化为数学问题,建立数学模型,并选择适当三角函数来解决.

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】复习解直角三角形的相关知识.

导入一:

课件出示:

《盘点1833年以来重大海难》2015年6月1日约21时28分,一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没.

出事船舶载客458人,其中内宾406人、旅行社随行工作人员5人、船员47人.

仅14人生还.

历史上的海难事件非常多,最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没,但实际上,遇难人

数远超泰坦尼克号的遇难船只并不罕见.

在这一统计所含的75起海难中,遇难人数超过1000人的共

有18起.

随着时间的推移,因袭击所致的海难逐渐减少.

但21世纪以来,海难仍时有发生,如:2014年

韩国“岁月号”客轮,2008年菲律宾“群星公主号”客轮,2006年埃及客轮“萨拉姆98号”,2002

年的塞内加尔“乔拉号”等船只遇难都造成了巨大的人员伤亡.

【引入】今天我们就探究与轮船航行有关的知识.

[设计意图]通过对历史上海难事件的了解,使学生对本节课所要探究的知识有一个初步了解,

20213.4

第四节 三角函数的图象与性质

课标要求 考情分析

1。能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．

2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在错误!内的单调性．

以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.

知识点一 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

1．正弦函数y＝sinx,x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0），错误!，(π，0),错误!，（2π，0）．

2．余弦函数y＝cosx，x∈［0,2π］的图象中，五个关键点是：20213.4

(0,1),错误!，(π，－1），错误!，(2π,1）．

知识点二 正弦、余弦、正切函数的图象与性质下表中k∈Z 20213.4

1.对称与周期

（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．

（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ）的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况,避免出现增减区间的混淆．

3．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间错误!(k∈Z)内为增函数． 20213.4

1．思考辨析

判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）

（1)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．（ × )

（2）已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1。( × )

(3）y＝sin｜x｜是偶函数．( √ ）

(4)由sin错误!＝sin错误!知，错误!是正弦函数y＝sinx（x∈R）的一个周期．（ × ）

专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）

【专题说明】

二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

【解题思路】

等腰三角形的存在性问题

【方法1 几何法】“两圆一线”

（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；

（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；

（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．

注意：若有重合的情况，则需排除．

以点 C1 为例，具体求点坐标：

过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1， 又32121131311HCAC，

03211，坐标为故点C

类似可求点 C2 、C3、C4 ．关于点 C5 考虑另一种方法．

【方法2 代数法】点-线-方程

表示点：设点C5坐标为m,0，又A（1,1）、B（4,3），

表示线段：11-m225）（AC

94-m225）（BC

联立方程：914-m1-m22）（）（，623m解得：，），坐标为（故点06232C

总结：

【典例分析】

【考点1 等腰角形的存在性】

【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．

【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．