平面向量的数量积与平面向量应用举例(9)

课时跟踪检测(二十八) 数系的扩充与复数的引入

1．(2012·江西高考)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为(

)

A．0

B．－1

C．1 D．－2

2．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i对应的点的坐标为( )

A．(1,3) B．(3,1)

C．(－1,3) D．(3，－1)

3．(2012·揭阳调研)若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是( )

A．1 B．－1

C.2 D．－2

4．(2013·深圳调研)复数1＋2i2＋i1－i2等于( )

A.52 B．－52

C.52i D．－52i

5．(2012·中山调研)已知i为虚数单位，复数z＝2＋i1－2i，则|z|＋1z＝( )

A．i B．1－i

C．1＋i D．－i

6．(2012·广东名校模拟)设复数z的共轭复数为z，若(2＋i)z＝3－i，则z·z的值为( )

A．1 B．2

C.2 D．4

7．(2013·长沙模拟)已知集合M＝i，i2，1i，1＋i2i，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中的元素个数是( )

A．3个 B．2个

C．1个 D．0个

8．定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是( )

A．1－2i或－1＋2i B．1＋2i或－1－2i

C．－7－24i D．7＋24i

9．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则|AB|＝________.

10．已知复数z＝1－i，则z2－2zz－1＝________.

11．设复数z满足|z|＝5且(3＋4i)z是纯虚数，则z＝________. 12.－1＋i2＋ii3＝________.

13．(2011·上海高考改编)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.

14．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则1z＋a的虚部为________．

1．(2012·广州一模)在复数集C上的函数f(x)满足f(x)＝ 1＋x，x∈R，1－ix，x∉R，则f(1＋i)等于(

)

A．2＋i B．－2

C．0 D．2

2．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)(a＋i)在复平面内对应的点为M，则“a>12”是“点M在第四象限”的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．(2012·佛山质量检测)设i为虚数单位，则(1＋i)5的虚部为________．

4．复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，与复数12＋16i互为共轭复数，则实数m＝________.

5．已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

6．设z是虚数，ω＝z＋1z，且－1<ω<2.

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；

(2)设u＝1－z1＋z，求证：u为纯虚数．

[答 题 栏]

A级

1.______ 2.______ 3.______ 4.______

5.______ 6.______ 7. ______ 8. ______

B级

1.______ 2.______

3.______ 4.______

9. ______ 10. ______ 11. ______ 12.

______ 13. ______ 14. ______

答 案

课时跟踪检测(二十八)

A级

1．选A ∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z2＋z2＝(z＋z)2－2zz＝4－4＝0，∴z2＋z2的虚部为0.

2．选A 由10i3＋i＝10i3－i3＋i3－i＝101＋3i10＝1＋3i得，该复数对应的点为(1,3)．

3．选B 因为复数(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1,2a)，又因为该点在y轴负半轴上，所以有 a2－1＝0，2a<0，解得a＝－1.

4．选B 1＋2i2＋i1－i2＝2＋4i＋i＋2i2－2i＝5i－2i＝－52.

5．选B 由已知得z＝2＋i1－2i＝－2i2＋i1－2i＝i1－2i1－2i＝i，|z|＋1z＝|i|＋1i＝1－i.

6．选B 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入(2＋i)z＝3－i，得(2a－b)＋(2b＋a)i＝3－i，从而可得a＝1，b＝－1，那么z·z＝(1－i)(1＋i)＝2.

7．选B 由已知得M＝{i，－1，－i,2}，Z为整数集，∴Z∩M＝{－1,2}，即集合Z∩M中有2个元素．

8．选B 设(x＋yi)2＝－3＋4i(x，y∈R)，则 x2－y2＝－3，xy＝2，

解得 x＝1，y＝2，或 x＝－1，y＝－2.

9．解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，

故|AB|＝－1－12＋3－12＝22.

答案：22

10．解析：z2－2zz－1＝z－12－1z－1＝z－1－1z－1＝(－i)－1－i＝－i－i－i·i＝－2i.

答案：－2i

11．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则有a2＋b2＝5. 于是(3＋4i)z＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i.

由题设得 3a－4b＝04a＋3b≠0得b＝34a代入得a2＋34a2＝25，a＝±4，

∴ a＝4，b＝3或 a＝－4，b＝－3.

∴z＝4－3i或z＝－4＋3i.

答案：±(4－3i)

12．解析：－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i.

答案：－1－3i

13．解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.

设z2＝a＋2i，a∈R.

则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)

＝(2a＋2)＋(4－a)i.

∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.

答案：4＋2i

14．解析：由题意得 a2－1＝0，a＋1≠0，所以a＝1，所以1z＋a＝11＋2i＝1－2i1＋2i1－2i＝15－25i，根据虚部的概念，可得1z＋a的虚部为－25.

答案：－25

B级

1．选D ∵1＋i∉R，∴f(1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.

2．选C z＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i，若其对应的点在第四象限，则a＋2>0，且1－2a<0，解得a>12.即“a>12”是“点M在第四象限”的充要条件．

3．解析：因为(1＋i)2＝2i，所以(1＋i)5＝(1＋i)4(1＋i)＝[(1＋i)2]2(1＋i)＝(2i)2(1＋i)＝－4(1＋i)＝－4－4i，故(1＋i)5的虚部为－4.

答案：－4

4．解析：根据共轭复数的定义得

 m2＋5m＋6＝12，m2－2m－15＝－16. 解之得m＝1.

答案：1

5．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.

∵z2－i＝x－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)

＝15(2x＋2)＋15(x－4)i.

由题意得x＝4，∴z＝4－2i.

∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.

由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，

∴ 12＋4a－a2>0，8a－2>0，解得2

∴实数a的取值范围是(2,6)．

6．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，

ω＝a＋bi＋1a＋bi＝a＋aa2＋b2＋b－ba2＋b2i，

∵ω是实数，∴b－ba2＋b2＝0.

又b≠0，∴a2＋b2＝1.∴|z|＝1，ω＝2a.

∵－1<ω<2，∴－12

即z的实部的取值范围是－12，1.

(2)u＝1－z1＋z＝1－a－bi1＋a＋bi＝1－a2－b2－2bi1＋a2＋b2＝－ba＋1i.

∵－12

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