1.1.2 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用
课标解读 1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(重点)
2．会应用两个计数原理解决实际问题．(难点)
两个原理的异同点
【问题导思】
1．若集合A＝{a，b，c}，集合A所有子集的个数用分类的方法如何来求？
【提示】 A中无元素的集合共有1个，A中有一个元素的集合共有3个，A中有两个元素的集合共有3个，A中有三个元素的集合共有1个，共有1＋3＋3＋1＝8个．
2．对于问题1中，用分步的方法如何来求？
【提示】 可先对元素a的取舍考虑，有两种可能；第二步对元素b的取舍考虑，有两种可能；第三步对元素c的取舍考虑有两种可能．共有：2×2×2＝23＝8个．
3．问题1、2的共同点是什么？
【提示】 把一个原始事件分解成若干个事件来完成．
4．问题1、2的不同点是什么？
【提示】 一个是分类来完成，一个是分步来完成．
两个计数原理的联系与区别：
原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 把一个原始事件分解成若干个事件来完成
不同点
与分类有关 与分步有关
每类方法都能完成这件事，它们是相互独立的，且每一次得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事. 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不可能独立地完成这件事，缺少任何一步都不可能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事．
各类方法之间是互斥的．．．，并列的．．．，独立的．．．.
各步之间是有关联的．．．．，不独立的．．．．.
数字问题
从0到9十个数字中选出4个组成一个四位数，问组成的数字不重复的四位偶数共有多少个？
【思路探究】 本题就要根据0在末位和0不在末位的情况来解．
【自主解答】 0在末位时，十、百、千分别有9、8、7种安排方法，共有9×8×7＝504个；
0不在末位时，2,4,6,8中的一个在末位，有4种排法，首位有8种(0除外)，其余两位各有8、7种排法．
分类计数原理与分步计数原理
一、分类计数原理
在概率论和组合数学中，分类计数原理是一种常用的计数方法。它基于对样本空间的划分，将问题分解为若干个互不重叠的子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加，得到问题的总计数。
分类计数原理的基本思想是将问题分解为若干个子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加。这种方法适用于问题的样本空间可以被划分为互不重叠的子集的情况。
分类计数原理的应用非常广泛，例如在概率问题中，可以将样本空间按照事件的性质进行划分，然后对每个子事件进行计数，从而得到事件的概率。在组合数学中，可以将集合按照元素的性质进行划分，然后对每个子集进行计数，从而得到集合的大小。
二、分步计数原理
分步计数原理是一种计数方法，它将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，并通过逐步求解这些简单问题，最终得到复杂问题的计数结果。
分步计数原理的基本思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后逐步求解这些简单问题。这种方法适用于问题的计数过程可以划分为多个步骤，并且每个步骤的计数方法相对简单的情况。
分步计数原理的应用也非常广泛。例如，在排列组合问题中，可以将问题分解为选择元素的步骤和排列元素的步骤，然后分别计算每个步骤的计数结果，最后将两个步骤的计数结果相乘，得到问题的总计数。在概率问题中，可以将事件的发生过程分解为多个独立的步骤，然后计算每个步骤的概率，最后将各个步骤的概率相乘，得到事件的总概率。
三、分类计数原理与分步计数原理的联系与区别
分类计数原理和分步计数原理都是常用的计数方法，它们在解决计数问题时具有一定的相似性，但也存在一些区别。
分类计数原理侧重于将问题分解为若干个互不重叠的子问题，并对每个子问题进行计数。而分步计数原理侧重于将问题分解为多个步骤，并逐步求解每个步骤的计数结果。
分类计数原理更加注重问题的样本空间的划分，将问题分解为互不重叠的子集，然后对每个子集进行计数。而分步计数原理更加注重问题的计数过程的划分，将问题分解为多个步骤，然后分别计算每个步骤的计数结果。
排列：
1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。
规定：0!=1
5、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。
组合：
1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同
元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。
b=屋=题…---掰+。_ /
3、组合数公式：1H 史 耀！ 的I一对；
4、组合数性质： K - … ,
5、排列数与组合数的关系：量二5,
排列与组合的联系与区别：
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一 列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只 有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两 个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的 排列，但却是同一个组合。
排列应用题的最基本的解法有:
(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素 分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;
(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
1 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第一节分类计数原理与分步计数原理
对应学生用书P153
1．分类计数原理
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，„„在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋„＋mn种不同的方法．
2．分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„„做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2ׄ×mn种不同的方法．
1．分类计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
2．分步计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
[试一试]
1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的有________种．
解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类计数原理得共有N＝3＋3＝6种．
答案：6
2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．
解析：∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．
答案：36
1．应用两种原理解题 2 (1)分清要完成的事情是什么？
(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；
(3)有无特殊条件的限制；
(4)检验是否有重漏．
2．混合问题一般是先分类再分步，分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．
[练一练]
1．(2014·郑州模拟)在2012年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种
