课时跟踪检测（十四） 导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·某某测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·某某、某某、某某、某某调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·某某、某某、某某、某某三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值X 围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值X 围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值X 围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·某某中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·某某调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，某某数m 的取值X 围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值X 围是(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
江苏省2013届高考数学复习专题4 导 数(Ⅱ)解答题中出现导数的几率非常大，导数的考查思路比较清晰，把导数作为工具仅限于理论上的分析和实践中的应用，考查导数有时会跟分类讨论、数形结合、函数与方程联系一起综合考查，特别是利用导数解决函数最值问题的实际操作，更是层出不穷，所以在平时的学习当中，注重函数模型化的识别.1．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值是________．解析：由题意得：y ′＝1x ，令1x ＝12，得x ＝2，故切点(2，ln 2)，代入直线方程y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1. 答案：ln 2－12．函数y ＝4x 2＋1x单调递增区间是________．解析：令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x2>0，(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，x >12.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则f (x )的图象最有可能的是________．(填图象序号)解析：利用导函数的图象的零点，可知函数f (x )在(－∞，0)及(2，＋∞)上单调递增，而在(0,2)上单调递减．从而只有图象③符合要求．答案：③4．函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递增，则实数a 的最大值为________． 解析：法一：f ′(x )＝1－a2x ，由已知，得1－a2x ≥0，即a ≤2x 在区间[1,4]上恒成立． ∴a ≤(2x )min ＝2，∴a max ＝2. 法二：令t ＝x ，则把函数f (x )＝x －a x 看成是函数y ＝t 2－at ，t ∈[1,2]，与函数t ＝x ，x ∈[1,4]的复合函数，∵t ＝x 在区间[1,4]上单调递增，∴要使函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递增，只要y ＝t 2－at 在区间[1,2]上单调递增即可． 当且仅当a2≤1，即a ≤2，∴a max ＝2.答案：25．(2012·南通模拟)各项均为正数的等比数列{}a n 满足a 1a 7＝4，a 6＝8，若函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则f ′⎝⎛⎭⎫12＝________.解析：各项为正的等比数列{}a n 满足：a 1a 7＝4，a 6＝8，推算出a 1＝14，q ＝2，所以a n＝2n －3.又f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋10a 10x 9，将x ＝12代入得na n x n －1＝14n ，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝14(1＋2＋…＋10)．答案：554[典例1](2012·江苏高考)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．[解](1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2.于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点．当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.当|d|<2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d>0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d<0，所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)>f(2)＝2，此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．②当x∈(1,2)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d<0，f(2)－d>0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(1,2)内有惟一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有惟一实根．③当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d>0，f(1)－d<0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(－1,1)内有惟一实根．由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；当|d|<2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|x i|<2，i＝3,4,5.现考虑函数y ＝h (x )的零点．(ⅰ)当|c |＝2时，f (t )＝c 有两个根t 1，t 2满足|t 1|＝1，|t 2|＝2，而f (x )＝t 1有三个不同的根，f (x )＝t 2有两个不同的根，故y ＝h (x )有5个零点．(ⅱ)当|c |<2时，f (t )＝c 有三个不同的根t 3，t 4，t 5满足|t i |<2，i ＝3,4,5，而f (x )＝t i (i ＝3,4,5)有三个不同的根，故y ＝h (x )有9个零点．综上可知，当|c |＝2时，函数y ＝h (x )有5个零点； 当|c |<2时，函数y ＝h (x )有9个零点．本题考查函数的概念、性质以及导数等基础知识，考查运算求解能力、运用数形结合、分类讨论思想分析与解决问题的能力．第一问利用极值点列方程组，求出a 和b 的值；第二问先求极值点．第三问要注意整体换元思想，要注意变形的等价性和函数的零点的认识，极值和极值点的理解．[演练1](2012·泰州期末)已知函数f (x )＝12x 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＋12a ln x －2ax . (1)当a ＝－12时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )在f ′(x )的单调区间上也是单调的，求实数a 的范围． 解：(1)f (x )＝12x 2－116ln x ＋x (x >0)，f ′(x )＝x －116x ＋1＝16x 2＋16x －116x ＝0，∴x 1＝－2－54，x 2＝－2＋54.∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－2＋54上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2＋54，＋∞上单调递增．∴f (x )在x ＝－2＋54时取极小值． (2)f ′(x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12ax (x >0)，令g (x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12a ，Δ＝4a 2－3a 2－2a ＝a 2－2a ， 设g (x )＝0的两根x 1，x 2(x 1<x 2)， (ⅰ)当Δ≤0时，即0≤a ≤2，f ′(x )≥0， ∴f (x )单调递增，满足题意． (ⅱ)当Δ>0时，即a <0或a >2时，①若x 1<0<x 2，则34a 2＋12a <0，即－23<a <0时，f (x )在(0，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，f ′(x )＝x ＋34a 2＋12a x －2a ，f ″(x )＝1－34a 2＋12a x 2≥0， ∴f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，不合题意； ②若x 1<x 2<0，则⎩⎪⎨⎪⎧34a 2＋12a ≥0，a <0，即a ≤－23时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，满足题意；③若0<x 1<x 2则⎩⎪⎨⎪⎧34a 2＋12a >0，a >0，即a >2时，f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增，不合题意． 综上得a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[0,2]． [典例2](2012·徐州最后一卷)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．[解] (1)f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①0<t <t ＋2<1e ，t 无解；②0<t ≤1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e； ③1e <t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ； 所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t ≤1e，t ln t ，t >1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，x ∈(0,1)，h ′(x )<0，h (x )单调递减，x ∈[1，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(3)问题等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e 时取到．设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易得m (x )max ＝m (1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．本题第一问考查单调和分类讨论的思想；第二问是通过转化与化归思想解决h (x )的最小值问题；第三问有一定的难度，如果直接化成ln x －1e x ＋2e x >0来解决，对p (x )＝ln x －1e x ＋2e x 求导将无法得到极值点，通过将原不等式化归成x ln x >x e x －2e ，分别求f (x )的最小值和m (x )的最大值来研究，则不难获得证明．[演练2]设a ≥0，f (x )＝x －1－ln 2 x ＋2a ln x (x >0)．(1)令F (x )＝xf ′(x )，讨论F (x )在(0，＋∞)内的单调性并求极值； (2)求证：当x >1时，恒有x >ln 2 x －2a ln x ＋1.解：(1)根据求导法则有f ′(x )＝1－2ln x x ＋2ax ，x >0，故F (x )＝xf ′(x )＝x －2ln x ＋2a ，x >0，于是F ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，x >0.列表如下：故知F (x )在(0,2)内是减函数，在(2，＋∞)内是增函数，所以在x ＝2处取得极小值F (2)＝2－2ln 2＋2a .(2)证明：由a ≥0知，F (x )的极小值 F (2)＝2－2ln 2＋2a >0.于是由上表知，对一切x ∈(0，＋∞)，恒有F (x )＝xf ′(x )>0.从而当x >0时，恒有f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)内单调递增． 所以当x >1时，f (x )>f (1)＝0，即x －1－ln 2 x ＋2a ln x >0.故当x >1时，恒有x >ln 2 x －2a ln x ＋1. [典例3](2012·泰州中学期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．[解] (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数， 故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )是增函数，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间． 因此，x ＝1是g (x )的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g (x )的最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0.因此h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以，g (a )－g (x )<1a ，对任意x >0，成立⇔g (a )－1<1a ，即ln a <1，从而得0<a <e.所以a 的取值范围为(0，e)．(1)先求出原函数f (x )，再求得g (x )，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值；(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3)对于恒成立问题可转化为求函数的最值问题． [演练3]若不等式|ax 3－ln x |≥1对任意x ∈(0,1]都成立，则实数a 取值范围是________． 解析：显然x ＝1时，有|a |≥1，a ≤－1或a ≥1.令g (x )＝ax 3－ln x ，g ′(x )＝3ax 2－1x ＝3ax 3－1x.①当a ≤－1时，对任意x ∈(0,1]，g ′(x )＝3ax 3－1x <0，g (x )在(0,1]上递减，g (x )min ＝g (1)＝a ≤－1，此时g (x )∈[a ，＋∞)，|g (x )|的最小值为0，不符合题意． ②当a ≥1时，对任意x ∈(0,1]，g ′(x )＝3ax 3－1x ＝0⇒x ＝313a .|g (x )|的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫313a ＝13＋13ln (3a )≥1，解得a ≥e 23. 答案：⎣⎡⎭⎫e23，＋∞ [专题技法归纳] (1)利用导数研究函数极值问题需注意解题步骤． (2)根据函数的极值求参数值一定要注意进行检验．(3)利用导数研究函数最值问题讨论思路很清晰，但计算比较复杂，其次有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则实数a 的取值为________．解析：设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝1.答案：－2564或12．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 解析：由曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4.可得曲线C 在点P 处切线的斜率范围为[0,1]，又y ′＝2x ＋2，设点P 的横坐标为x 0，则0≤2x 0＋2≤1，解得－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎡⎦⎤－1，－12 3．(2012·启东期末)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)·x ＋1在区间(1,4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋(a －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝a －1，结合图象知4≤a －1≤6，故a ∈[5,7]．答案：[5,7]4．(2012·通州中学期末)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x .因为函数f ′(x )存在单调递减区间，所以f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，从而ax 2＋2x －1>0有正解．①当a >0时，y ＝ax 2＋2x ＋1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1>0总有正解； ②当a <0时，y ＝ax 2＋2x ＋1为开口向下的抛物线，要使ax 2＋2x －1>0总有正解，则Δ＝4＋4a >0，解得－1<a <0.综上所述，a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)5．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，等价于f ′(x )＝0在区间(－1,1)上有实数解，且无重根．又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.从而⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23， 或⎩⎨⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－5，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1. 答案：⎝⎛⎭⎫－5，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 6．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值为________．解析：考查线性规划思想，有导函数f ′(x )≤0恒成立构造线性区域，得到b ＋c 的最大值为－152.答案：－1527．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，则f (x )的解析式为________．解析：令x ＝0列一个方程，然后求导，再令x ＝1，列一个方程，从而求出f ′(1)＝e ，f (0)＝1，f (x )＝e x －x ＋12x 2.答案：f (x )＝e x －x ＋12x 28．(2012·南通高中联考)设函数f (x )＝ax ，x ∈[0，π]，且f (x )≤1＋sin x ，则a 的取值范围________．解析：因为f (x )≤1＋sin x ⇔ax ≤1＋sin x . 当x ＝0时，0≤1＋sin 0＝1恒成立． 当0<x ≤π时，ax ≤1＋sin x ⇔a ≤1＋sin x x ⇔a ≤⎣⎡⎦⎤1＋sin x x min .令g (x )＝1＋sin xx (0<x ≤π)，则g ′(x )＝x cos x －1－sin xx 2，令c (x )＝x cos x －1－sin x ， c ′(x )＝－x sin x ≤0，x ∈(0，π]．故c (x )在(0，π]上单调递减，c (x )<c (0)＝－1<0. 综上可知x ∈(0，π]时，g ′(x )<0， 故g (x )在区间(0，π]上单调递减． 所以[g (x )]min ＝g (π)＝1π.故a ≤1π.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，1π 9．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a .若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0与g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3知，f (0)＝a ＋3，f (1)＝4，又存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0， 知Δ＝a 2－4(a ＋3)>0，即a <－2或a >6. 又g (x )＝ax －2a 恒过(2,0)．①若a >6时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f (2)<0⇒a >7， ②若a <－2时，a 2<－1， 又f (1)>4，显然不成立．答案：(7，＋∞)10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4， g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x )＝3(1－2x )x 4>0，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4.综上a ＝4.答案：411．(2012·南通学科基地)已知函数f (x )＝12ax 2－2x sin 2α和函数g (x )＝ln x ，记F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)当α＝π3时，若f (x )在[1,2]上的最大值是f (2)，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝1时，判断F (x )在其定义域内是否有极值，并予以证明；(3)对任意的α∈⎝⎛⎭⎫π6，23π，若F (x )在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a 的取值范围．解：(1)α＝π3时，f (x )＝12ax 2－32x . ①当a ＝0时，f (x )＝－32x ，不合题意；②当a <0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递增，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递减，而[1,2]⊆⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞，故不合题意； ③当a >0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递减，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递增，f (x )在[1,2]上的最大值是max{f (1)，f (2)}＝f (2)，所以f (1)≤f (2)，即12a －32≤2a －3，所以a ≥1. 综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)a ＝1时，F (x )＝12x 2－2x sin 2α＋ln x 的定义域为(0，＋∞)， F ′(x )＝x ＋1x－2sin 2α≥2－2sin 2α＝2cos 2 α≥0. ①当cos α≠0时，F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而F (x )在其定义域内没有极值；②当cos α＝0时，F ′(x )＝x ＋1x －2＝(x －1)2x，令F ′(x )＝0，有x ＝1，但是x ∈(0,1)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )也单调递增，所以F (x )在其定义域内也没有极值．综上，F (x )在其定义域内没有极值．(3)据题意可知，令F ′(x )＝ax ＋1x－2sin 2α＝0，即方程ax 2－2x sin 2α＋1＝0在(0，＋∞)上恒有两个不相等的实数根．即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4sin 4α－4a >0，a >0恒成立，因为α∈⎣⎡⎭⎫π6，23π，sin α∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以0<a <116. 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，116 12．(2012·苏中五市联考)如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2 km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．(1)如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；(2)如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．解：(1)过S 作SH ⊥RT 于H ，S △RST ＝12SH ·RT .由题意，△RST 在月牙形公园里，RT 与圆Q 只能相切或相离；RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P (H )时(如下左图)，上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST ＝12×4×2＝4(km 2)．(2)同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P (如上右图)，再设∠BP A ＝θ，则有S 四边形ABCD ＝12×2×2×sin θ×2＋12×2×2×sin(π－2θ)＝4(sin θ＋sin θcos θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2. 令y ＝sin θ＋sin θcos θ，则y ′＝cos θ＋cos θcos θ＋sin θ(－sin θ)＝2cos 2 θ＋cos θ－1.令y ′＝0，则cos θ＝12，θ＝π3. 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，y ′>0，θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2时，y ′<0， 函数y ＝sin θ＋sin θcos θ在θ＝π3处取到极大值也是最大值，故θ＝π3时，场地面积取得最大值为3 3km 2.。
一、填空题1．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知：f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－12．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象关于________对称． 解析：∵f (x )＝4x ＋12x ＝2x ＋2－x ， ∴f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称．答案：关于y 轴对称3．若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，则函数f (x )＝(xa ＋b ) ·(xb －a )是________(填奇函数、偶函数)．解析：∵a ⊥b ，|a |≠|b |，∴a·b ＝0，a 2－b 2≠0，则f (x )＝(a·b )x 2＋(b 2－a 2)x －a·b ＝(b 2－a 2)x .又b 2－a 2≠0，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是一次函数且是奇函数．答案：奇函数4．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)＝________. 解析：依题意得f (－52)＝－f (52)＝－f (52－2)＝－f (12)＝－2×12×(1－12)＝－12. 答案：－125．(2011年安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________. 解析：法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x ＞0，则－x ＜0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×121＝－3.答案：－36．(2011湖南)已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.解析：∵g(－2)＝f(－2)＋9∴f(－2)＝3－9＝－6∴f(2)＝－f(－2)＝6.答案：67．(2011年广东)设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.解析：令g(x)＝f(x)－1＝x3cos x，∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cos x＝－g(x)，∴g (x)为定义R上的奇函数．又∵f(a)＝11，∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10，又g(－a)＝f(－a)－1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9.答案：－98．(2011年浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.答案：09．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析：由f(x－4)＝－f(x)⇒f(4－x)＝f(x)，故函数图象关于直线x＝2对称，又函数f(x)在[0,2]上是增函数，且为奇函数，故f(0)＝0，故函数f(x)在(0,2]上大于0，根据对称性知函数f(x)在[2,4)上大于0，同理推知函数f(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f(x)＝m(m＞0)的两根关于直线x＝2对称，故此两根之和等于4，根据f(x－4)＝－f(x)⇒f(x －8)＝－f(x－4)＝f(x)，函数f(x)以8为周期，故在区间(－8,0)上方程f(x)＝m(m＞0)的两根关于直线x＝－6对称，此两根之和等于－12，综上四个根之和等于－8.答案：－8二、解答题10．设f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)＜3.求a、b、c的值．解析：∵f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数，∴f (－x )＝ax 2＋1－bx ＋c ＝－f (x )＝－ax 2＋1bx ＋c. ∴b (－x )＋c ＝－(bx ＋c )≠0.∴c ＝0.由f (1)＝2，f (2)＜3，得⎩⎨⎧ a ＋1b ＝2，4a ＋12b ＜3.消去b ，得4a ＋1a ＋1＜3，解得－1＜a ＜2. 又a ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1.若a ＝0时，b ＝12∉Z ，若a ＝1时，b ＝1. ∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.11．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 009]上的所有x 的个数．解析：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ， 设－1≤x ≤0，则有0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x . ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x . 故f (x )＝12x (－1≤x ≤1) 又设1<x <3，则－1<x －2<1，∵f (x －2)＝12(x －2)， 设∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f ((－x )＋2)＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2) (1<x <3) ∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)由f (x )＝－12，解得x ＝－1. ∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z) 令0≤4n －1≤2 009，则14≤n ≤1 0052， 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z)，∴在[0,2 009]上共有502个x 使f (x )＝－12. 12．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x－12)]＜0的解集． 解析：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0.又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f [x (x －12)]＜0＝f (1)， ∴⎩⎨⎧ x (x －12)＞0x (x －12)＜1即0＜x (x －12)＜1， 解得12＜x ＜1＋174或1－174＜x ＜0. 0若f [x (x －12)]＜0＝f (－1)， ∴⎩⎨⎧ x (x －12)＜0x (x －12)＜－1 由x (x －12)＜－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是{x |12＜x ＜1＋174或1－174＜x ＜0}．。
2013高考总复习某某专用（理科）：第三篇 导数及其应用《第14讲 用导数研究函数的单调性与极值》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A 级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值X 围是________． 解析 由题意，得y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0解集为R ，所以Δ＝4－12m ≤0，解得m ≥13.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 2．(2011·某某卷)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.由f ′(x )＞0得x ＜0或x ＞2，由f ′(x )＜0得0＜x ＜2，所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 答案 23．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值X 围是________． 解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，由题意知f ′(x )＝0有两个不等的实根，由Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，即a 2－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)4．(2011·某某统考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2＋2)＜f (3x )，则实数x 的取值X 围是________．解析 由f (x )＝ln x ＋2x，得f ′(x )＝1x＋2x ln 2＞0，x ∈(0，＋∞)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x 2＋2)＜f (3x )，得0＜x 2＋2＜3x ，所以x ∈(1,2)． 答案 (1,2)5．已知函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在实数集R 上是增函数，则实数m的取值X 围是________．解析 f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，依题意，知f ′(x )在R 上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0得2≤m ≤4. 答案 [2,4]6．(2011·某某调研)已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则满足f (x 0)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的x 0的取值X 围为________．解析 f (x )是偶函数，且由f ′(x )＝2x ＋sin x ≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2，知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以由f (x 0)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，得f (|x 0|)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，从而π3＜|x 0|≤π2，解得－π2≤x 0＜－π3或π3＜x ≤π2.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，－π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π27．(2011·某某模拟)函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值X 围是________．解析 令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝± 2a3(a ＞0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则2a 3＜1，∴0＜a ＜32. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，32二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8. (1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；解 (1)由函数f (x )的图象过点P (1,2)，得f (1)＝2，所以a ＋b ＝1.① 因为函数图象在点P 处的切线斜率为8，所以f ′(1)＝8， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以2a ＋b ＝5.② 解由①②组成的方程组，可得a ＝4，b ＝－3.(2)由(1)得f ′(x )＝3x 2＋8x －3，令f ′(x )＞0，可得x ＜－3或x ＞13；令f ′(x )＜0，可得－3＜x ＜13，故函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)与⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，13. 9．(2011·某某学情调查)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．(1)求a ，b 的值以及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值X 围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意可知f ′(x )＝0的两根为x 1＝－23和x 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋b ＝0，3×12＋2a ×1＋b ＝0.解得a ＝－12，b ＝－2.故f ′(x )＝3x 2－x －2.当f ′(x )＞0时，解得x ＜－23或x ＞1.当f ′(x )＜0时，解得－23＜x ＜1.故函数f (x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23与(1，＋∞)，递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1. (2)由(1)知，函数f (x )在[－1,2]上的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，端点x ＝2的函数值f (2)，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＜f (2)，故只需f (2)＜c 2即可．因为f (2)＝2＋c ，所以2＋c ＜c 2. 解得c ＜－1或c ＞2，故c 的取值X 围为(－∞，－1)∪(2，＋∞) 10．已知曲线f (x )＝ln(2－x )＋ax 在点(0，f (0))处的切线斜率为12，(1)求f (x )的极值；(2)设g (x )＝f (x )＋kx ，若g (x )在(－∞，1)上是增函数，某某数k 的取值X 围． 解 (1)f (x )的定义域是(－∞，2)，f ′(x )＝1x －2＋a . 由题知f ′(0)＝－12＋a ＝12，所以a ＝1，所以f ′(x )＝1x －2＋1＝x －1x －2.令f ′(x )＝0，得x＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示x (－∞，1)1 (1,2) f ′(x ) ＋0 －f (x )1所以f (x )在x ＝1(2)g (x )＝ln(2－x )＋(k ＋1)x ，g ′(x )＝1x －2＋(k ＋1)， 由题知g ′(x )≥0在(－∞，1)上恒成立，即k ≥12－x －1在(－∞，1)上恒成立，因为x ＜1，所以2－x ＞1，所以0＜12－x ＜1，所以－1＜12－x －1＜0，所以k ≥0.故实数k 的取值X 围是[0，＋∞)．B 级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·某某模拟)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，导函数为f ′(x )＝x 2＋2cos x 且f (0)＝0，则满足f (1＋x )＋f (x 2－x )＞0的实数x 的集合是________．解析 因为当x ∈(－2,2)时，f ′(x )≥0且为偶函数，所以f (x )是奇函数且在(－2,2)上单调增，于是由f (1＋x )＞－f (x 2－x )＝f (x －x 2)，得－2＜x －x 2＜1＋x ＜2，解得－1＜x ＜1. 答案 (－1,1)2．(2011·某某卷改编)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________．解析 由题意，x ＝1是f ′(x )＝12x 2－2ax －2b 的一个零点，所以12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6(a ＞0，b ＞0)，因此ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．答案 93．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值X 围是________． 解析 由y ′＝a e ax＋3＝0，得x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，所以－3a＞0，a ＜0，又因为有正根，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，0＜－3a ＜1，得a ＜－3.答案 (－∞，－3)4．(2010·全国卷)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，则a 的取值X 围是________．解析 f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3＝3[(x －a )2＋1－a 2]．当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点； 当1－a 2＜0时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1. 由题意，知2＜a －a 2－1＜3，① 或2＜a ＋a 2－1＜3，② ①无解，②的解为54＜a ＜53，因此a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，53.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，53 5．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )内有极小值点的个数为________．解析 f ′(x )图象与x 轴的交点从左至右第1个与第4个是极大值点，第2个是极小值点，x ＝0不是极值点．答案 1个6．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )＜1，则b ＋1a ＋1的取值 X 围是________．解析 当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )≥0，所以f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，于是由f (2a＋b )＜f (4)，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜2a ＋b ＜4，a ＞0，b ＞0，它表示的平面区域如图所示(不包括边界)，所以13＝k PA ＜b ＋1a ＋1＜k PB ＝5.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，5 二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ＜0时，对x ∈R ，有f ′(x )＞0，∴当a ＜0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0时，由f ′(x )＞0，解得x ＜－a 或x ＞a ； 由f ′(x )＜0，解得－a ＜x ＜a ，∴当a ＞0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )， (a ，＋∞)，f (x )的单调减区间为(－a ，a )． (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3. 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， ∴结合f (x )的单调性可知，m 的取值X 围是(－3,1)． 8．(2010·某某卷)已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设a ＜－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，某某数a 的取值X 围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.当a ≥0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1＜a ＜0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a ＋12a. 所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减． (2)不妨设x 1≥x 2，而a ＜－1，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，从而对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|成立，它等价于对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，有f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1.① 令g (x )＝f (x )＋4x ，则g ′(x )＝a ＋1x＋2ax ＋4，①式等价于g (x )在(0，＋∞)上单调递减，即a ＋1x ＋2ax ＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立，从而a ≤－4x －12x 2＋1＝2x －122x 2＋1－2在(0，＋∞)上恒成立，由于2x －122x 2＋1－2≥－2，故a 的取值X 围是(－∞，－2]．。
