拉格朗日（Lagrange ）中值定理
教学目的：
1.熟练掌握中值定理及其几何意义
2.能应用拉格朗日中值定理证明不等式
3.了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2
教学重点：
1.拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用
2.拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3.利用导数证明不等式的技巧。
教学难点：辅助函数的引入和中值定理的应用技巧 教学内容：
1．罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入
我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数满足下列条件： )(x f ①在闭区间[连续； ②在开区间]b a ,()b a ,可导； ③)()(b f a f = 则在(内至少存在一点)b a ,ξ，使得'
()0f ξ=
图1 图2
罗尔定理的几何意义大家都清楚了如图1，现在我们把坐标系统绕原点在平面内的旋转α角，使在新坐标系如图2，大家看看有什么不同？
2．拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理
如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点)(x f (a <],[b a ),(b a ),(b a )b <ξξ, 使得等式成立。 )a )(()('
b f a f −=−ξ)(b f 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则)()(b f a f =()()'
()0f b f a f b a b a
ξ−=
==−−，即：，拉
格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
'()0f ξ=
拉格朗日（微分）中值定理几何意义
我们从几何的角度看一个问题，如下：
设连续函数()y f x =，a 与是它定义区间内的两点（a b b <），假定此函数在(,上处处可导，也就是在(,内的函数图形上处处有不垂直于)a b )a b x 轴的切线，那么我们从图2上容易看到，差商
()y f x b =
(f a
)
a b Δ−Δ−就是割线的斜率，若我们把割线作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点AB AB ()C x ξ=处成为曲线的切线，而切线的斜率为()f ξ′，由于切线与割线是平行的，因此()()
()f b f a f b a
ξ−′=−成立。
3.分析与证明：
分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数)(x ϕ，使它满足罗尔定理的条件。由前述分析，我们知道图2是在图1的基础上绕点A 旋转了α角得到的，现进行逆变换，即将图2曲线()f x 减去铅直量()tan x a α−得到图1的曲线，而
()()
tan f b f a b a
α−=
−。 作辅助函数
()()
()()()f b f a x f x x a b a
ϕ−=−
−−，注意)(x ϕ满足罗尔定理的三个条件。 证明：作辅助函数()()()
(()f b f a )x f x x a b a
ϕ−=−−−，易知)(x ϕ在闭区间[连续，
在开区间(可导，又])b a ,b a ,)()(b a ϕϕ=，根据罗尔定理，)(x ϕ在()b a ,内至少存在一点ξ，使得，而'
ϕξ()0=()()a
b a f b f x f x −−−
=)()'
('ϕ，于是())(''
()f ξ()ϕξ0f b f a b a −=−=−，
即()()
'
()f b f f b a
−−a ξ=
，命题得证。
注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理)()(b f a f =时的特例
注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点
(,())C f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB 。我们在证明中引入
的辅助函数()x ϕ，正是曲线 与铅直量())(x f y =tan x a α−之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于图形绕点A 在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB 平行于新x 轴（()a ()b ϕϕ=）。本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范，同
时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是高等数学中的重要而常用的数学思维的体现。
()b a ,ξ注3°拉格朗日中值定理的中值点是开区间内的某一点，而非区间内的任意点
或指定一点。换言之，这个中值定理都仅“定性”地指出了中值点ξ的存在性，而非“定量”地指明ξ的具体数值。
注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，该公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系。
当设
在上连续，在(,内可导时，若)[(x f ],b a )a b 00,(,)x x x a b +Δ∈，
则有)10()()0(0)(0<<+′=Δ⋅Δ−Δ+θθx
x x f x x f x f ；当(y f )x =时， 也可写成
0()y f x x x θ′Δ=+Δx x f Δ⋅′=)(⋅Δ，(01)θ<<，
试与微分dy x f 比较： 即微分x dy Δ⋅′=)(是函数增量的近似表达式， 而)1y Δ0()(0+′<<Δ⋅Δ=Δθy x f x
x θ是函数增量y Δ的
精确表达式。所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式， 拉格朗日中值定理又称有限增量定理。
它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：
)((b f f ),(),b a a )()a f (b ∈−′=−ξξ
)1,0[(),)](()()(∈−−+′=−θa f f a f ()b (a b a b 0(,)θ )1,()′=∈+−+θθh h a f f a f h a
4.拉格朗日中值定理的两个重要推论
推论1
函数在区间)(x f I 上可导且)(x f ′)( x f I ,0⇒≡为上的常值函数.
12[,]x x 证明：任取两点 （设x x 21,I 1x 2x <∈）
，在区间上应用拉格朗日中值定理，存在12(,)x x I ξ∈⊂(2，使得0)(()2)1)(1=−′=−x x f x f x f ξ
