电极层对压电微悬臂梁动态性能的影响
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第4期2006年8月微细加工技术MICROFABRICATIONTECHNOLOGY吻Aug..4,2006
文章编号:1003-8213(2006)04-0053-04
电极层对压电微悬臂梁动态性能的影响
陶云，孙长敬
(中国计量学院机电工程学院，杭州310018)
摘要:采用解析方法就电极层对压电微悬臂梁动态性能的影响进行了研究，并得出结论:当弹性层、
压电层与电极层的厚度比值较大时，可忽略电极层对压电悬臂梁横向位移及谐振频率的影响。当
各层的厚度都在微纳米量级时，电极层的影响不容忽视;同时，微纳尺度下该解析方法的适用性还
有待进一步研究。这些对微纳尺度下压电悬臂梁的设计及应用都有一定的指导作用。
关键词:电极层;压电悬臂梁;动态性能中图分类号:TM354文献标识码:A
1引言
压电微悬臂梁作为一种微型驱动器和传感器，
在微机电系统(MEMS)和智能结构等应用中被广泛采用，如压电探针原子力显微镜(AFM)I')、打印机喷
头〔2〕以及痕量物质的检测t’〕等。一般来说，压电悬
臂梁可分为单晶片和双晶片两种。受目前加工工艺
的限制，微系统中应用较多的是压电单晶片悬臂梁
(结构如图1所示)，它是在与压电材料极化方向平
行的电场作用下使悬臂梁弯曲，产生横向位移。压
电悬臂梁的性能受诸多因素的影响，如梁的尺寸及
材料特性、外界施加的载荷等。针对这些问题，许多
研究者从不同角度、应用不同理论进行了深人分析，如JanGSmits等〔4」研究了压电悬臂梁在不同机械
边界条件下系统响应参数(如尖端回转角、尖端位
移、体积位移、电极上的电荷)与驱动参数(所受弯
矩、集中力、均布压力、电压)之间的关系;Don1..DeVo。等「5〕应用经典板壳理论，从系统的内力及力
矩平衡角度来研究压电悬臂梁在电场作用下的横向位移;SmitsJanG.等〔“〕研究了压电悬臂梁对外加动
态电压的响应。但是，大多数文献研究的悬臂梁尺
寸都较大，且以电极层很薄为由在分析中将其忽略，并也都得到了与实验较吻合的结果。虽然QingyuanMeng等〔’]和MichelBrissaud等[s」都考虑了电极层
的影响，但其研究的梁尺寸也较大(33mmx15mmx0.063mm和300mmx4mmx1mm)，而且也没有
就电极层对压电悬臂梁动态性能的影响进行详细的
分析。
虽然在大尺度下忽略电极层的影响并不会导致
分析结果有较大的差异，然而在微米乃至纳米尺度，
由于尺寸效应，电极层的影响要比宏观下大得多，因
此有必要在分析时加以考虑，否则将会产生较大的
偏差。为此，本文采用解析方法对比研究了电极层
(厚度在纳米级)对微纳尺度下压电微悬臂梁动态性
能(如横向位移和谐振频率)的影响，并得出结论，在
微纳尺度下，电极层对压电微悬臂梁的动态性能会
产生显著的影响，设计计算时应予以考虑，且文献
「8]中给出的计算压电悬臂梁在电场作用下横向位
移和谐振频率的公式在微纳米尺度的适用性还有待
进一步研究。
Z压电悬臂梁横向位移
和谐振频率的解析分析
如前所述，电场作用下，由于压电材料的压电效
应及其与弹性层的藕合作用，压电悬臂梁会产生一
个横向的位移(如图1所示)，很多研究者应用不同
理论、从不同角度进行了深人的研究。就目前发表
的文献来看，横向位移的计算主要有系统内能法、经
典板壳理论法和动态电压响应法等。这些方法都是
收稿日期:2005-10-17;修订日期:2006-06-01作者简介:陶云(1969一)，女，回族，安徽奉县人，硕士，讲师，从事教学和科研工作。
微细加工技术2006年
压电层Yelhe,(hel+hb)+Cjlhp(hp+2he,+hb)+
2(hbYb+he,Ye,+Y,,h二(h,2+2hp+2h,1+hb)
hPCII+h二Y,2)
当式(1)中分母趋近于零(即coshaLcosaL+1
0)时，可得压电悬臂梁的各阶谐振频率:
图1压电单晶片悬臂梁在电场作用下的横向位移
在假设悬臂梁各层宽度相等且完美地粘接在一起
(即各层间界面不会发生相对滑移和分离)的前提下
进行的。为考察电极层对压电悬臂梁动态性能的影
响，这里采用动态电压响应法进行分析，根据压电理
论及梁的弯矩平衡理论，电场作用下压电悬臂梁产
生的横向位移可表示为[s},_2厂石.J‘一L2丫Peq式中，f,a‘分别为谐振频率和对应的常数(i=1,2,
3,…分别对应于谐振频率f]f介，f3，..，其中。1=
0.5598，a2=3.5084，a3=9.6825，…)。若忽略上下电极层时，将式(1)一(7)中与上下
电极层有关的参数取零值即可。
S_w(cosux一，，0haL+cosaL)(cos2(1+l)
处hax
一sin一cosax
(sinhaL一sinaL)(sinhaxcoshaLcosaL)
式中，L和8，分别为悬臂梁长度及其距固支点x
的横向位移，Wo和a为中间计算常数，其中
、，2
、，12
弓」zr、
了‘、Wo二1MpDeqa2
P=e31E3a二4P,,(2叮)2
Deq3实例计算
由上可见，压电悬臂梁在电场作用下产生的横
向位移及其谐振频率与很多因素有关，其中悬臂梁
各层厚度的影响是不容忽视的，下面以解析方法研
究具有不同弹性层、压电层与电极层厚度之比的悬
臂梁在电场作用下的横向位移及其谐振频率。压电
悬臂梁的结构如图1所示，相关参数如表1所示。hp(hp+hb一2zo)
2表1压电悬臂梁相关参数
Deq=Db+Del+Dp+Dr2二h3h(+hbz吕)Yb+
「3rhe]3hel(26一:0)(26hel一:。):。，+
Eht33hp(2he，一。)(26、。，hp一:0)]e11+L今mhb/Pmh,今mhp;/lemPb/(kg-m一3
p,/(kg-m一3p,/(kg-m一三22007700Y,;/GPace,/GPa
21450139一5.2Y,,/GPa69e3l/(G"m一2)
V/V
+h,2
Yet(hl,2he1hp一)(h6(2“一“P“‘-
(4)
(5)根据式(1)一(6)，可得悬臂梁的横向位移曲线
(如图2所示)。由图可见，在弹性层、压电层与电极
层的厚度比值分别为hb/he=20,hp/he=10，考虑电
极层时，悬臂梁的尖端位移与忽略电极层时相比减
小了近1/4。可见，在该结构尺度下电极层对压电悬
臂梁性能的影响是不容忽视的。
随着压电悬臂梁在微纳尺度下应用的不断深人
和扩展，对其谐振频率和品质因数都提出了更高的
要求(如高响应和高灵敏度)，这些都依赖于梁尺寸
(特别是厚度)的不断缩小及结构的进一步优化等。
由于电极层的厚度本来就在纳米量级(100nm左
右)，梁厚度的减小主要体现在弹性层和压电层厚度
的减小上，为了考察不同弹性层、压电层与电极层厚
度比值下，电极层对悬臂梁动态性能的影响，改变表
1中弹性层和压电层的厚度(保持电极层厚度及其他.件一凡j、、了，九-尸电0!
Z
peA,=Pbhb+Pethe1+pphp+p}2he
其中:Deq,Per,M。和f分别为复合梁的等效横向弯
曲刚度、等效密度、压电材料在电场作用下产生的弯
矩及电压激励的频率，。卜I,e3.和E3分别为恒定电场
下的压电弹性柔顺系数、压电应变常数及施加于压
电层上的:向电场强度(E3=V/hp,V为电压)，
Di,Yi,h*和r‘分别为复合梁各层的弯曲刚度、弹性
模量、厚度及密度(其中i二b,el,p,e:分别指的是弹
性层、下电极层、压电层和上电极层)，:。是复合梁截
面的中性层与弹性层之间的距离，对图1所示的坐
标系(即二0，坐标面与复合梁截面的中性层重合):
第4期陶云等:电极层对压电微悬臂梁动态性能的影响
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二阶、三阶共振频率的变化l.口J..............，，，-.-一长面共振频率已二\禅妞碧锹
.t."'二、1所示的数值
()I弹性层、234567x910压电层、电极层的厚度与表1中数值的比值悬臂梁长度/rtu;图2考虑电极层与否，压电悬臂梁横向位移的比较
参数不变)，在是否考虑电极层这个问题上，对压电
悬臂梁的横向位移及谐振频率进行了分析，结果如
图3和图4所示。由图可知，在表1所示的悬臂梁
各层厚度尺寸，即hb/he=20,hp/he二10下，与忽略
电极层相比，考虑电极层时悬臂梁尖端的横向位移
减小了23%，而各阶谐振频率的变化并不十分明显
(仅为4.5%)。随着hb/h。和hp/he的比例增加，悬
臂梁尖端位移和谐振频率相应的偏差都逐渐减小，
即电极层对压电悬臂梁动态性能的影响越来越小，
例如，当增加表1中hb/he和hP/h。比值增加两倍
时，悬臂梁尖端位移和谐振频率的偏差分别减少为13.1%和2.7%;增加5倍时，相应的差异分别仅为
6.6%和1.2%。可见，此种情况下忽略电极层已不会使分析结果出现较大的差异。相反，若减小表1
中hb/he,h丫he的比值两倍(即hb/he=10,hP/he=5),
与忽略电极层相比，考虑电极层时悬臂梁尖端横向
位移的减小急剧加大至39.6%，而三个模态下谐振
频率的偏差增加不大(6.5%)，进一步缩小两厚度比
值5倍，即hb/he=4,hp,/he=2，此时弹性层、压电层图4考虑电极层与否，不同压电层、弹性层与电极层厚度比时悬臂梁谐振频率的比较
与电极层的厚度均在纳米量级，考虑电极层与否，梁
尖端横向位移和谐振频率的偏差分别为67%和
5%。由以上分析可知，随着压电悬臂梁尺寸(特别是
厚度尺寸)的不断缩小，电极层对悬臂梁横向位移的
影响也越来越严重。当弹性层、压电层与电极层厚
度的比值hb/he=40,hp1he=20时，分析悬臂梁动
态性能时就不能再忽略电极层的影响，否则就会导
致分析结果的严重失真。值得注意的是，当各层厚
度均在纳米量级(如hb/he=4,hp/h。二2)时，考虑
电极层与否，悬臂梁尖端横向位移的偏差大得难以
理解，而谐振频率的差异反而有减小的趋势(如图3
和图4所示)。这可能是因为(1)式和(7)式在纳米
尺度下的适用性问题，这些还有待进一步的分析和
实验验证。
4结论
100罗绷擎密泌坦褥粼以仇徽却噢护田性御0
0
0
0
0口n
6
4
、不考虑电极层时号虑电极层时两六的差异
表1所示的数值1卜1二\泌洲疽娜教粼顺
..闷.叫....，.匀.门..哟......娜门........用解析方法研究了电极层对微纳尺度下压电悬
臂梁动态性能(横向位移及谐振频率)的影响，并得
出以下结论，当压电层、弹性层与电极层厚度的比值
较大时，分析时可以忽略电极层对悬臂梁动态性能
的影响，否则应予以考虑，特别是当各层的厚度均处
在纳米量级时，一方面电极层的影响不容忽视，另一
方面本文解析方法的适用性还有待进一步研究，这
些对微纳尺度下压电悬臂梁的设计及应用都有一定
的指导作用。7k91硬)弹性层、压电层、电极层厚度I3表1中数值的比值图3考虑电极层与否，不同压电层、弹性层与电极层厚度比时悬臂梁尖端位移的比较参考文献:
川ItohToshihiro,ChuJiaru,MisumiIchiko,etal.New
