2024-2025学年一般高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)第Ⅰ卷（共60分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信念要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝愿，愿你能中学，马到功自成，金榜定题名。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}22 2A x y log x x==--,B N =,则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}01，D ．{}-10， 2.复数()+2z x x i =+(其中i 为虚数单位,x R ∈)满意2iz+是纯虚数,则z =（ ） A ．5 B ．25 C ．53 D ．2533.已知2:,2028p x R x x a q a ∀∈++><；：.若“P q ∧”是真命题,则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(),3-∞C ．(1,3)D ． ()(), 1 3 ,+ U -∞∞4.已知双曲线()22210,02x y a b a b -=>>的离心率为e ,其中一条渐近线的倾斜角θ的取值范围是63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,其斜率为k ,则2e k的取值范围是（ ）A ．(1 ,3⎤⎦B ．4313⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，C.223⎡⎤⎣⎦， D ．4323⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5.电路从A 到B 上共连接着6 个灯泡(如图),每个灯泡断路的概率是13,整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路,则从A 到B 连通的概率是（ ）A ．1027 B ．448729 C.100243 D ．40816.已知点(),P x y ,若实数,x y 满意330103x y x y x ++≤⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩,则目标函数21x y z x +-=-的取值范围是（ ）A ．124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．134⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.524⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．534⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 7.已知430.355=2,22 ,=1 9111a b c g g --=+,则,a b c ，的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b << C.c a b << D ．c b a <<8.某锥体的三视图如图所示,用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分,则截面面积为（ ）A ．2B ．22 C.323 D ．3249.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个探讨了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最终输出的结果等于（ ）A ．1N a +B ．2N a + C.11N a +- D ．21N a +-10.将函数()y f x =的图象按以下次序变换:①纵坐标不变，横坐标变为原来的12，②向左平移6π个单位，得到函数=()y g x 的图象(如图所示，其中点2(,0)3D π-,点(,0)3E π,则函数()'()f x y f x =在区间[]02π，上对称的中心为（ ）A ．()()020ππ，，，B ．()0π， C.()()000π，，， D ．()()()00020ππ，，，，， 11.已知()()()()22+121122220,,: ,:12a c r r R C x a y r r C x a y r >>∈++-=-+-2，=r给出以下三个命题:①分别过点()(),0,,0E c F c -作1C 的不同于x 轴的切线,两切线相交于点M ,则点M 的轨迹为椭圆的一部分; ②若12,C C 相切于点H ,则点H 的轨迹恒在定圆上;③若12,C C 相离,且122r r a ==,则与12,C C 都外切的圆的圆心在定椭圆上.则以上命题正确的是（ ）A ．①②B ．①③ C.②③ D ．①②③12.已知函数()221ln 323e x e f x c c n x xln ⎛⎫ ⎪⎝⎭=---(其中e 为自然对数的底数)有两个极值点，则函数()()22211xg x e x c x c c =--+---的零点个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某学校男女比例为2:3,从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本容量为m 的样本,若女生比男生多10 人,则m = ． 14.如图所示,已知在ABC ∆中,21,,33AE AC BD BC BE ==交AD 于点F ,AF AB AC λμ=+,则+λμ= ．15.某港口停岸两艘船,大船船速40 海里/小时,小船船速20 海里/小时,某时,大船从港口动身,沿东偏北60°方向行驶2.5小时后,小船起先向正东方向行驶,小船动身1.5小时后,大船接到吩咐,须要把一箱货物转到小船上,便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向起先，到与小船相遇,最少须要的时间是______小时．16.母线长为23,底面半径为3的圆锥内有一球O ,与圆锥的侧面、底面都相切,现放入一些小球,小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切,这样的小球最多可放入____个.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 满意12a =,且1122,*n n n a a n N ++=+∈.(1)设2nn na b =证明:数列{}n b 为等差数列,并求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和Sn ．18.如图,在ABCD 中,30,3,2A AD AB =∠==,沿BD 将ABD ∆翻折到'A BD ∆的位置,使平面'A BC ⊥平面'A BD .(1)求证:'A D ⊥平面BCD ;(2)若在线段'A C 上有一点M 满意' 'A M A C λ=,且二面角M BD C --的大小为60°,求λ的值.19.我国华南沿海地区是台风登陆常见的地区，为统计地形地貌对台风的不同影响,把华南沿海分成东西两区，对台风的强度按风速划分为:风速不小于30米/秒的称为强台风,风速小于30米/秒的称为风暴,下表是2024 年对登陆华南地区的15次台风在东西两部的强度统计:强台风 风暴 东部沿海 9 6 西部沿海312(1)依据上表,计算有没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关;(2)2024 年8月23 日，“天鸽”在深圳登陆,造成深圳特大风暴,如图所示的茎叶图统计了深圳15 块区域的风速.(十位数为茎,个位数为叶)①任取2个区域进行统计，求取到2个区域风速不都小于25 的概率;②任取3个区域进行统计,X 表示“风速达到强台风级别的区域个数”，求X 的分布列及数学期望()E X .附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.82820.已知双曲线2212x y =一的左、右顶点分别为12,A A ,直线:l x p =与双曲线交于,M N ,直线2A M 交直线1A N 于点Q .(1)求点Q 的轨迹方程;(2)若点Q 的轨迹与矩形ABCD 的四条边都相切,探究矩形ABCD 对角线长是否为定值，若是,求出此值;若不是,说明理出. 21.已知函数()x x af x e+=,其中e 为自然对数的底数,若当[] 1,1x ∈-时,()f x 的最大值为()g a .(1)求函数()g a 的解析式; (2)若对随意的1,a R k e e∈<<,不等式()g a ka t ≥+恒成立,求kt 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为46cos sin ρθθ=+.(1)求圆M 的直角坐标方程,并写出圆心和半径;(2)若直线l 与圆M 交于,A B 两点,求AB 的最大值和最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数() f x x x a =++.(1)若不等式()221f x a ≥-对随意的x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若不等式()21f x a ≤-的解集为[],3b b +],求实数,a b 的值.2024年一般高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)一、选择题1-5:ADCB 6-10:DCCDD 11、12：AD 二、填空题13.50【解析】由题意得32105055m m m -=⇒= 14.【解析】设()0,AD k AF k AD AB BD =≠=+=()1212133332AB AC AB AB AC AB AE +-=+=+,即2121+3232k AF AB AE AF k AB AE k =+⇒=,由,,F B E 三点共线,得21=132k k=,解得76k =，又214342327777AF AB AE AB AE AB AC k k =+=+=+,所以47λ=,27μ=所以67λμ==.15.3.5【解析】设港口为O ,小船行驶1.5小时到达B ,此时大船行驶到A ,大船折向按AC 方向行驶,大船与小船同时到达C 点时,用时最少.设从A 到C ,大船行驶时间为t ,则()240 2.5.5160,40,20 1.520OA AC t OC t =⨯+===⨯+.由余弦定理得()()2222 2 . 6016030201603020OA OC OC OA cos AC t t +-•=⇒++-+,()()()224012202170276310 3.5t t t t t t =⇒+-=⇒-+=⇒=,即最少须要3.5小时.16.10【解析】由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高为3,如图1.设球O 半径为R ,由30OCB ∠=,可得2OC R =,故2OA OC R ==,所以231,2R R R OC +==>==,故得1EC =.设小球半径为r ,同理可得'2O C r =r,故31r =,所以小球半径13r =,且4'3OO =.这时'O 到直线AO 的距离为423sin 6033=.这些小球相邻相切，排在一起,则球心在一个半径为233的圆M 上(图2),H 为相邻两球切点,12,M M 分别为相邻两球球心，设1M MH θ∠=,则1r sin tan MM θθ===,可知222sin tan πθθθθθθ<<=><⇒<<<<，因为11>=<，故可得能入入小球个数最多为10三、解答题17.解:(1)把2n n n a b =,代入到1122n n n a a ++=+， 得1112 122n n n n n b b ++++=+，两边同除以12n +， 得11n n b b +=+,∴{}n b 为等差数列,首项1112a b ==,公差为1, ∴()* n b n n N =∈. (2)由 22nn n na b n an n ===>=⨯ ， ∴123122232...2nSn n =⨯+⨯+⨯++⨯()23412122232...122nn Sn n n +⇒=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减,得()()()123111-222...221 22?122* n n n n Sn n n Sn n n N +++=++++-⨯=-⨯-⇒=-⨯+∈18.解:(1)ABD ∆中,由余弦定理,可得1BD =. ∴222BD AD AB +=,∴90,90ADB DBC ∠=∴∠=. 作'DF A B ⊥于点F , ∵平面'A BC ⊥平面'A BD , 平面'A BC平面''A BD A B =∴DF ⊥平面'A BC . ∵BC ⊂平面'A BC . ∴DF BC ⊥. 又∵,CB BD BDDF D ⊥=,∴CB ⊥平面'A DB . 又∵'A D ⊂平面'A DB , ∴'CB A D ⊥. 又∵',A D BD BDCB B ⊥=,∴'A D ⊥平面CBD .(2)由(1)知,,'DA DB DA 两两垂直,以D 为原点,以DA 方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ,则()()(0,1,0,3,1,0,'3B C A -. 设(),,M c y z ,则由3''33x A M A C y z λλλλ⎧=-⎪=⇒=⎨⎪=-⎩ ()3,33M λλλ⇒-.设平面MDB 的一个法向量为(),,m a b c =,则由00m DB M DM ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩03(33)0b a b c λλλ=⎧⎪⇒⎨-++=⎪⎩取() 1-1- 0,a c m λλλλ=⇒=⇒=，.平面CBD的一个法向量可取('DA =,∴1cos ,2DA m <>=⇒=12λ⇒ ∵[]01λ∈，∴λ=19.解:(l)22⨯列联表如下:强台风 风暴 合计 东部沿海 9 6 15 西部沿海 3 12 15 合计121830由22⨯列联表中数据，可得2K 的观测值222()30108-18==5 6.635()()()()12181515n ad bc K a b c d a c b d -⨯=<++++⨯⨯⨯（）所以没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关. (2)①风速小于25的区域有7块，2块区域风速都小于25的概率为2172515CC = 故取到2个区域风速不都小于25的概率为14155-= ②达到强台风级别的区域有5块， 故0,1,2,3X =.()32410039115CP X C===,()2145105139115CCP X C ===, ()1220105239115CC P X C ===, ()325339115CP X C ===, 故随机变量X 的分布列为2445202()=0+1+2+3=191919191E X ⨯⨯⨯20.解:(1)设点()()()0,,, ,, o Q x y M p y N p y -，其中00y ≠ 由题意,得())12,A A .由11QA NA k k =⇒=，①22QA MA k k =⇒=②两式相乘得2222022yy x p =--, ∵22102p y -=， ∴22102p y =-，代入上式得X 0 1 2 3P24914591 2091 291222222112-12222p y x y x p -==-⇒+=--, 由①与0o y ≠,得0y ≠,10x =≠-⇒≠.故点Q 的轨迹方程为221(0,0)2x y x y +=≠≠. (2)设点()(),0,0A m n m n ≠≠,过点A 作椭圆的切线， 则切线的斜率存在且不为0,设斜率为k ,则切线方程为()y n k x m y kx n km -=-⇒=+-,代入到椭圆方程整理， 得()()()222124220.kx k n km x n km ++-+--=()()()222216 41+22- -2 =0k n km k n km ⎡∆-⎤⎣⎦=-即()2222210m k mnk n --+-=.这个关于k 的一元二次方程的两根即为AB k 与AD k , 由1AB AD k k •=-,得22221131n m n m -=-⇒+=-. 设O 为坐标原点,故可知OA =同理,得OA OB OC OD ====即点O 为矩形ABCD 外接圆的圆心,其中AC 为直径,大小为 故矩形ABCD对角线长为定值21.解:(1)由题意，得()1'xa xf x e --=当11a -≤-,即2a ≥时,()()0f x f x ≤⇒在[]1,1x ∈-时为单调递减函数， 所以()f x 最大值为()()()11g a f e a =-=-.当111a -<-<,即02a <<时,当()1,1x a ∈--时,()()'0,f x f x >单调递增; 当()1,1x a ∈-时,()()'0,f x f x <单调递减， 所以()f x 的最大值为()()11a g a f a e -=-=.当11a -≥,即0a ≤时,()()'0,f x f x ≥在[]1,1x ∈-时为单调递增函数， 所以()f x 的最大值为()()11ag a f e+==. 综上得() -1),21,02 1,0e a a g a ea a a a e ⎧⎪≥⎪=-<<⎨⎪+⎪≤⎩（(2)令()()h a g a ka t =--.①当02a <<时,()()()11'a a h a g a ka t e ka t h a e k --=--=--⇒=-,由()'0h a =,得1a lnk =+, 所以当()0,1a lnk ∈+时,()'0h a <; 当()1,2a lnk ∈+时,()'0h a >,故()h a 最小值为()()110 h lnk k k lnk t t kln k +=-+-≥⇒≤-. 故当1k e e<<且t klnk ≤-时,()g a ka t ≥+恒成立. ②当2a >,且t klnk ≤-时,()()()()h a g a ka t a e k e t =-+=---. 因 为0e k ->, 所以()h a 单调递增，故()()()()222 2ln min h a h e k e t e k e kln k e k k k ==---≥--+=-+. 令()2 p k e k kln k =-+, 则()'10p k lnk =-≤,故当1,k e e ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时，()p k 为减函数，所以()()p k p e >, 又()0p e =, 所以当1k e e<<时,()0h a >, 即()0h a ≥恒成立. ③当0a ≤,且t klnk ≤-时，()()()11h a g a ka t a k t e e=-+=-⎛⎫ ⎪⎭-⎝+,因为10k e-<, 所以()h a 单调递减， 故()()110min h a h t klnk e e==-≥+. 令()1m k kln k e=+, 则()'10m k lnk =+≥,所以当1,k e e ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时,()p k 为增函数， 所以()1(0)m k em >=, 所以()0h a >,即()0h a ≥. 综上可得当1k e e<<时,“ t kln k ≤-”是“()g a ka t ≥+g(a) 成立”的充要条件. 此时2tk k ln k ≤-. 令()2q k k ln k =-,则()()'2 21 1q k kln k k k n k =--=-+, 令()'0q k =,得1-2k e =故当112,k e e --⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时,()'0q k >;当12k e e -⎛⎫⎪⎝∈⎭，时,()'0q k <,所以()q k 的最大值为1-212q e e⎛⎫ =⎪⎝⎭，当且仅当11--221,2k e t klnk e ==-=时,取等号，故tk 的最大值为12e. 22.解:(1)24 64 6 cos sin cos sin ρθθρρθρθ=+⇒=+2246x y x y ⇒+=+ 22 2)(3)13x y ⇒-+-=（.圆心为(2,3),(2)把直线l 的参数方程代入圆M 的标准方程, 得()()22122313tcos tsin αα+-++-=, 整理得()22 2110t cos sin t αα-+-=,()22 2 440cos sin αα∆=++>,设,A B 两点对应的参数分别为12,t t , 则12122 2,11t t sin cos t t αα+=+=-.所以12AB t t =-==因为[]21,1sin a ∈-,所以AB ∈⎡⎣,即AB 的最大值为最小值为23.解:(1)对(), ()|x R f x x x a x x a a ∀∈=++≥-+=当且仅当()0x x a +≤时取等号， 故原条件等价于21a a ≥-,即21a a ≥-或()211a a a ≤--⇒≤, 故实数a 的取值范围是(],1-∞.(2)由210a x x a -≥++≥,可知210a -≥, 所以12a ≥’ 故-0a <.故()2,,02,0x a x a f x a a x x a x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩,的图象如图所示，由图可知222152(3)212a b a a b a a b =⎧--=-⎧⎪⇒⎨⎨++=-=-⎩⎪⎩。
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