2019高考数学试题汇编之坐标系与参数方程(解析版)

专题14 坐标系与参数方程

1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为13,24xtyt（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是

A．15 B．25 C．45 D．65

【答案】D

【解析】由题意，可将直线l化为普通方程：1234xy，即41320xy，即4320xy，所以点（1，0）到直线l的距离22|402|6543d，故选D．

【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．

2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

【答案】（1）221(1)4yxx；l的直角坐标方程为23110xy；（2）7．

【解析】（1）因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx．

l的直角坐标方程为23110xy．

（2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，ππ）． 2221141txttyt，2cos3sin110

C上的点到l的距离为π4cos11|2cos23sin11|377．

当2π3时，π4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．

【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．

3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点000(,)(0)M在曲线:4sinC上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P．

（1）当0=3时，求0及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

【答案】（1）023，l的极坐标方程为cos23；

（2）4cos,,42．

【解析】（1）因为00,M在C上，当03时，04sin233．

由已知得||||cos23OPOA．

设(,)Q为l上除P的任意一点．在RtOPQ△中，cos||23OP，

经检验，点(2,)3P在曲线cos23上．

所以，l的极坐标方程为cos23．

（2）设(,)P，在RtOAP△中，||||cos4cos,OPOA 即 4cos．

因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,42．

所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,42．

【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．

4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD．

（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；

（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在M上，且||3OP，求P的极坐标．

【答案】（1）1M的极坐标方程为π2cos04，2M的极坐标方程为π3π2sin44，3M的极坐标方程为3π2cosπ4．

（2）π3,6或π3,3或2π3,3或5π3,6．

【解析】（1）由题设可得，弧,,ABBCCD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos．

所以1M的极坐标方程为π2cos04，2M的极坐标方程为π3π2sin44，3M的极坐标方程为3π2cosπ4．

（2）设(,)P，由题设及（1）知

若π04，则2cos3，解得π6；

若π3π44，则2sin3，解得π3或2π3；

若3ππ4，则2cos3，解得5π6．

综上，P的极坐标为π3,6或π3,3或2π3,3或5π3,6．

【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．

5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,2,42AB，直线l的方程为sin34．

（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．

【答案】（1）5；（2）2．

【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，4），B（2，2），

由余弦定理，得AB=223(2)232cos()524．

（2）因为直线l的方程为sin()34，

则直线l过点(32,)2，倾斜角为34．

又(2,)2B，所以点B到直线l的距离为3(322)sin()242．

【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．

6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1C的参数方程为510cos()10sinxy为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos．

（1）求曲线1C与曲线2C两交点所在直线的极坐标方程；

（2）若直线l的极坐标方程为sin()224，直线l与y轴的交点为M，与曲线1C相交于,AB

两点，求MAMB的值．

【答案】（1）5cos2；（2）92

【解析】（1）曲线1C的普通方程为：22(5)10xy，

曲线2C的普通方程为：224xyx，即22(2)4xy，

由两圆心的距离3(102,102)d，所以两圆相交，

所以两方程相减可得交线为6215x，即52x．

所以直线的极坐标方程为5cos2．

（2）直线l的直角坐标方程：4xy，则与y轴的交点为(0,4)M，

直线l的参数方程为22242xtyt，带入曲线1C22(5)10xy得292310tt．

设,AB两点的参数为1t，2t，

所以1292tt，1231tt，所以1t，2t同号．

所以121292MAMBtttt

【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．

7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cossinxy（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为322,4，直线l的极坐标方程为sin2204．

（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．

【答案】（1）40xy，2213xy；（2）722．

【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为πsin2204，

即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

可得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．

将曲线C的参数方程3cossinxy，消去参数a，

得曲线C的普通方程为2213xy．

（2）设N（3cos，sinα），α∈[0，2π）．

点M的极坐标（22，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．

则31cos1,sin122P．

所以点P到直线l的距离31πcossin6sin622372222d，

所以当5π6时，点M到直线l的距离的最大值为722．

【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．

8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为24,2 232xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为223sin12（）．

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于AB，两点，且设定点21P（，），求PBPAPAPB的值．

【答案】（1）l普通方程为10xy，C直角坐标方程为22143xy；（2）867．

【解析】（1）由直线l的参数方程消去t，得普通方程为10xy．

223sin12（）等价于2223sin12，

将222sinxyy，代入上式，得曲线C的直角坐标方程为222312xyy（），

即22143xy．

（2）点21P（，）在直线10xy上，所以直线l的参数方程可以写为222 212xttyt，（为参数），

将上式代入22143xy，得2720280tt．

设AB，对应的参数分别为12tt，，则1212202877tttt，，

所以22||PAPBPBPAPAPBPAPB22PAPBPAPBPAPB（）21212122tttttt（）

2121212||2tttttt2202828677877（）．

【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义．

9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为15（，），点M的极坐标为π42（，）．若直线l过点P，且倾斜角为π3，圆C以M为圆心、4为半径．

（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

（2）试判定直线l和圆C的位置关系．

【答案】（1）112352xtyt（t为参数），8sin；（2）直线l与圆C相离．