王自伟_何庆明_张兴强(抗旱方案的制定)
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抗旱方案的制定摘要我国西部地区因深居内陆，距海远，具有气候干旱，降水稀少的气候特点。
加之近年来我国经济增长迅速，水资源日趋紧张，西部地区常常出现干旱问题。
如何合理开发，充分利用水资源，并持续供给，成了人们关注，探讨与研究的焦点。
本文以位于我国西南地区的某个缺水的贫困村为例，针对该地的干旱情况，以及政府为解决干旱所出台的政策，运用数学建模的相关知识，提出了两个开发利用水资源的方案，并建立三个最优化模型，使人们能够有充足的水源可用。
首先，本文先根据原有的四口水井的年产水量，利用MATLAB拟合出四口井的产水量随时间变化的曲线方程，并根据方程计算出2010~2014五年中每年四口水井的总产水量：43.8241（万吨），32.8314（万吨），24.8005（万吨），21.3078（万吨），17.8684（万吨）。
根据得出的数据拟定以下两个方案：方案一：只打井而不铺设管道。
因为八口井同时打也只会花费40万元，故不需要考虑费用问题，只需确保该村从2010到2014这五年间，每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，。
本文利用0~1整数规划，以及年需水量，得出约束条件，建立最优化模型。
并利用LINGO编程求解，发现求解结果是无解，可见光打井无法满足需求。
方案二：既铺设管道又打井。
本文根据实际情况建立了两种不同的优化模型。
○1.用于工程建设的费用不可拖欠，即三年来分批付款。
则需要根据不同年份的需水量，铺设管道总长大于等于20公里，以及前三年中每年的费用不得超过60万元来列出约束条件，设三年的总费用为目标函数。
用LINGO编程，得出费用最小值为172万元；第一年打2、5、6、7号井，铺设管道4.485571公里，共花费54万元；第二年打1号井，铺设管道7.668880公里，共花费58万元；第三年打3号井，铺设管道7.958272公里，花费60万元。
○2.若该建设工程三年的总费用是在竣工的时候一次付清，则根据不同年份的需水量，铺设管道总长，以及三年费用总和不超过180万元来列出约束条件，并对总费用的目标函数求其最小值。
利用LINGO编程求解，得出的最小总费用为172万元；第一年打1、2、3、7号井，铺设管道1.870504公里，共花费35万元；第二年打5、6号井，铺设管道18.12950公里，共花费137万元；第三年既不打井也不铺设管道。
关键词：干旱水资源利用 LINGO 0~1整数规划模型 MATLAB 最优化问题位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm ，是典型的缺水地区。
过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。
由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。
而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。
2009年以来，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。
为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。
从两方面考虑，一是地质专家经过勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表2，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。
二是从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。
铺设管道的费用为L Q P 51.066.0 （万元），其中Q 表示每年的可供水量（万吨/年），L 表示管道长度（公里）。
铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。
要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨水。
政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）。
表1 现有各水井在近几年的产水量（万吨）表2 8个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）根据问题重述，可知这实质上是费用的最优化问题。
首先考虑到原有的四口水井还会有产水量，可以根据2001~2009共九年的产水量，用MATLAB拟合出产水量随时间变化的曲线方程，然后预测出未来五年的产水量。
根据预测出的这些数据，可知不打井只铺设管道的方法不符合实际，故不可行，然后由此我们制定出以下两种方案：对于方案一：只打井而不铺设管道。
因为假设八口井在同一年被打，也只需要花费40万元，而政府在2010~2014的前三年每年会给予60万元来建设，所以在这种方案下完全不用考虑资金问题。
一共八口井，每一口井只会被打一次，这是0~1整数规划的问题。
只要保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水即可，于是得出约束条件，将总费用作为目标函数，求其最小值即可。
对于方案二：既铺设管道又打井。
考虑到工程建设所花费的资金是分批付款还是等竣工的时候一次付清，我们建立了两种模型：第一种情况：用于工程建设的费用不可拖欠，即三年来分批付款。
则只要保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水的前提下，再让铺设管道总长L大于等于20公里，以及前三年中每年用于建设的总费用不得超过60万元。
然后用LINGO编程求解即可。
第二种情况：该建设工程三年的总费用是在竣工的时候一次付清，则我们要在保证之后五年的需水量的条件下，再让铺设管道的总长L不小于20公里，以及前三年总费用不超过180万元来列出约束条件，并对总费用的目标函数求其最小值。
利用LINGO编程求解即可。
三、模型假设1)假设天气对水井的供水量没有影响。
2)假设打井时间忽略不计，打完井就可以立马用。
3)假设原有四口井的供水量满足某种函数关系。
4)假设8个位置的供水量服从专家的预计方式变化。
5)假设该村庄未来五年不发生大的自然灾害。
6)假设管道提供的水量是稳定的。
7)假设新打完的井不会影响原有井的供水量。
四、符号说明,8）口井1,2,3,4）五、模型的建立和求解5.1全局约束将2010~2012的年份编号为1,2,3i =，可能被打的井编号为1,2,3,,7,8j =，第i 年打第j 口井记为ij x ，1 , 0 ij i j x ⎧=⎨⎩若第年打第口井，否则 ， 且38118iji j x==≤∑∑因铺设管道的总长度L 需超过20公里，故有3120ii L=≥∑ 。
已知0.510.66i i P Q L =5.2原有四口水井产水量的预测5.2.1 MATLAB 拟合根据问题重述中表1的数据，利用MATLAB 分别拟合出原有的四口井年产水量随时间变化的曲线，如下图:图1：原1号井拟合 图2：原2号井拟合图3：原3号井拟合 图4：原4号井拟合使用MATLAB 拟合出的原四口水井的曲线方程如下：1() 1.201733.4639f x x =-+ 2()28.9036f x =0.2993xe -3() 2.085029.9806f x x =-+324()0.1773 3.733327.044286.2095f x x x x =-+-+5.2.2 原四口水井未来四年的产水由MATLAB 拟合出的四口井的年产水量的曲线方程，可以得出2010~2014 共五年四口水井分别的产水量和总产水量，如下：年份井 号2010 2011 2012 2013 20145.3方案一模型的建立与求解此模型为只打井而不铺设管道模型。
考虑到产水量在五年内都要达到需求，费用也要达到需求，于是有以下约束条件：2010年：总产水量：481111(10)150n j jn jW f xω===+≥∑∑总费用：811160j jjM c x==≤∑2011年：总产水量：488212111(11)0.9160n j j j jn j jW f x xωω====++≥∑∑∑总费用：822160j jjM c x==≤∑2012年：总产水量：4888 3123 1111(12)0.810.9170n j j j j j j n j j jW f x x xωωω=====+++≥∑∑∑∑总费用：833160j jjM c x==≤∑2013年：总产水量：48884123 1111(13)0.7290.810.9180n j j j j j j n j j jW f x x xωωω=====+++≥∑∑∑∑2014年：总产水量：488851231111(14)0.65610.7290.81190n j j j j j j n j j j W f x x x ωωω=====+++≥∑∑∑∑利用LINGO 编程求解，发现无解，则此方案不可行，可见光打井是无法满足对水资源的需求。
5.4 方案二中模型○1的建立与求解 5.4.1模型的建立这是第一种情况：用于工程建设的费用不可拖欠，即三年来需要分批付款，既铺设管道又打井的模型。
根据五年需水量的不同要求，费用的不同要求，故有： 2010年：总产水量：481111(10)150n j j n j W f x ω===+≥∑∑总费用： 8111160j jj M P c x==+≤∑2011年：总产水量：488212111(11)0.9160nj j j j n j j W fx x ωω====++≥∑∑∑总费用：8222160j jj M P c x==+≤∑2012年： 总产水量：488831231111(12)0.810.9170n j j j j j j n j j j W f x x x ωωω=====+++≥∑∑∑∑总费用：8333160j jj M P c x==+≤∑2013年：总产水量：488841231111(13)0.7290.810.9180nj j j j j j n j j j W Q fx x x ωωω=====++++≥∑∑∑∑2014年：总产水量：488851231111(14)0.65610.7290.81190n j j j j j j n j j j W Q f x x x ωωω=====++++≥∑∑∑∑为使五年来在满足水量的情况下，费用最小，于是有目标函数：五年的总费用：338123111i j ij i i j E M M M P c x ====++=+∑∑∑ ，对其求最小值即可。
