关于中考数学压轴题的思考2013、5、18思考一：中考数学压轴题如何攻克对中考数学卷,压轴题是考生最怕的,以为它一定很难,不敢碰它;其实,对历年中考的压轴题作一番分析,就会发现,其实也不是很难;这样,就能减轻做“压轴题”的心理压力,从中找到应对的办法;压轴题难度有约定：历年中考,压轴题一般都由3个小题组成;第1题容易上手,得分率在以上；第2题稍难,一般还是属于常规题型,得分率在与之间,第3题较难,能力要求较高,但得分率也大多在与之间;近十年来,最后小题的得分率在以下的情况,只是偶尔发生,但一旦发生,就会引起各方关注;控制压轴题的难度已成为各届命题组的共识,“起点低,坡度缓,尾巴略翘”已成为各地区数学试卷设计的一大特色,以往茂名卷的压轴题大多不偏不怪,得分率稳定在与之间,即考生的平均得分在7分或8分;由此可见,压轴题也并不可怕;压轴题一般都是代数与几何的综合题,很多年来都是以函数和几何图形的综合作为主要方式,用到三角形、四边形、相似形和圆的有关知识;如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了;方程与图形的综合的几何问题也是常见的综合方式,就是根据已知的几何条件列出代数方程而得解的,这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例;动态几何问题中有一种新题型,如北京市去年的压轴题,在图形的变换过程中,探究图形中某些不变的因素,它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起;在这类动态几何问题中,锐角三角比作为几何计算的一种工具,它的重要作用有可能在压轴题中初露头角;总之,压轴题有多种综合的方式,不要老是盯着某种方式,应对压轴题,决不能靠猜题、押题;分析结构理清关系：解压轴题,要注意它的逻辑结构,搞清楚它的各个小题之间的关系是“平列”的,还是“递进”的,这一点非常重要;如果1、2、3三个小题是平列关系,它们分别以大题的已知为条件进行解题,1的结论与2的解题无关,2的结论与3的解题无关,整个大题由这三个小题“拼装”而成;如果1、2两个小题是“递进关系”,1的结论由大题的已知条件证得,除已知外,1的结论又是解2所必要的条件之一;思考二：中考数学压轴题解题技巧之分类讨论题分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现,是满分率比较低的一种题,这一类题的特点就是小题较多,且容易失分,常常会被同学们忽略,经常忘记分类讨论,而大题却经常是讨论不全,讨论全了结果还不一定对;而且,这类题往往陷阱比较多,一个不注意就会掉进出题陷阱中;因此我们在考试当中一定要养成以下几个好习惯;以下几点是需要大家注意分类讨论的1、熟知直角三角形的直角,等腰三角形的腰与角以及圆的对称性,根据图形的特殊性质,找准讨论对象,逐一解决;在探讨等腰或直角三角形存在时,一定要按照一定的原则,不要遗漏,最后要综合;2、讨论点的位置,一定要看清点所在的范围,是在直线上,还是在射线或者线段上;3、图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题,对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论;4、代数式变形中如果有绝对值、平方时,里面的数开出来要注意正负号的取舍;5、考查点的取值情况或范围;这部分多是考查自变量的取值范围的分类,解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围;6、函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点,那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点;7、由动点问题引出的函数关系,当运动方式改变后比如从一条线段移动到另一条线段时,所写的函数应该进行分段讨论;值得注意的是：在列出所有需要讨论的可能性之后,要仔细审查是否每种可能性都会存在,是否有需要舍去的;最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根,那么我们就要看看是不是这两个根都能保留;思考三：破解中考数学压轴题四个秘诀切入点一：做不出、找相似,有相似、用相似;压轴题牵涉到的知识点较多,知识转化的难度较高;学生往往不知道该怎样入手,这时往往应根据题意去寻找相似三角形;切入点二：构造定理所需的图形或基本图形即作辅助线;在解决问题的过程中,有时添加辅助线是必不可少的;对于北京中考来说,只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的,其余的全都涉及到辅助线的添加问题;中考对学生添线的要求还是挺高的,但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形;切入点三：紧扣不变量,并善于使用前题所采用的方法或结论;在图形运动变化时,图形的位置、大小、方向可能都有所改变,但在此过程中,往往有某两条线段,或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变;切入点四：在题目中寻找多解的信息分类思考; 图形在运动变化,可能满足条件的情形不止一种,也就是通常所说的两解或多解,如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题,其实多解的信息在题目中就可以找到,这就需要我们深度的挖掘题干,实际上就是反复认真的审题;思考四：压轴题的做题技巧1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识,根据自己的情况考试的时候重心定位准确,防止“捡芝麻丢西瓜”;所以,在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制,如果超过你设置的上限,必须要停止,回头认真检查前面的题,尽量要保证选择、填空万无一失,前面的解答题尽可能的检查一遍;2、解数学压轴题做一问是一问;第一问对绝大多数同学来说,不是问题；如果第一小问不会解,切忌不可轻易放弃第二小问;过程会多少写多少,因为数学解答题是按步骤给分的,写上去的东西必须要规范,字迹要工整,布局要合理；过程会写多少写多少,但是不要说废话,计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识,少用代数计算,尽量用三角函数,少在直角三角形中使用相似三角形的性质;例解压轴题解题：如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B4,0、C8,0、D8,8.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.1直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；2动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长②连接EQ．在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值.解：1点A的坐标为4,8将A 4,8、C8,0两点坐标分别代入y=ax2+bx8=16a+4b得0=64a+8ba=-12,b=4∴抛物线的解析式为：y=-12x2+4x …………………3分2①在Rt △APE 和Rt △ABC 中,tan ∠PAE=PE AP =BC AB ,即PE AP =48∴PE=12AP=12t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为4+12t,8-t. ∴点G 的纵坐标为：-124+12t 2+44+12t=-18t 2+8. …………………5分∴EG=-18t 2+8-8-t =-18t 2+t.∵-18＜0,∴当t=4时,线段EG 最长为2. …………………7分②共有三个时刻. …………………8分t 1=163, t 2=4013,t 3． …………………11分压轴题解题技巧练习一、 对称翻折平移旋转1．2010年南宁如图12,把抛物线2y x =-虚线部分向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到抛物线1l ,抛物线2l 与抛物线1l 关于y 轴对称.点A 、O 、B 分别是抛物线1l 、2l 与x 轴的交点,D 、C 分别是抛物线1l 、2l 的顶点,线段CD 交y 轴于点E .1分别写出抛物线1l 与2l 的解析式；2设P 是抛物线1l 上与D 、O 两点不重合的任意一点,Q 点是P 点关于y 轴的对称点,试判断以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形说明你的理由.3在抛物线1l 上是否存在点M ,使得ABMAOED S S ∆∆=四边形,如果存在,求出M 点的坐标,如果不存在,请说明理由.2．福建2009年宁德市如图,已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ,与x 轴相交于A 、B 两点点A 在点B 的左边,点B 的横坐标是1．1求P 点坐标及a 的值；4分2如图1,抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称,将抛物线C 2向右平移,平移后的抛物线记为C 3,C 3的顶点为M ,当点P 、M 关于点B 成中心对称时,求C 3的解析式；4分3如图2,点Q 是x 轴正半轴上一点,将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点点E 在点F 的左边,当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标．5分二、 动态：动点、动线3．2010年辽宁省锦州如图,抛物线与x 轴交于Ax 1,0、Bx 2,0两点,且x 1＞x 2,与y 轴交于点C 0,4,其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根． 1求这条抛物线的解析式；2点P 是线段AB 上的动点,过点P 作PE ∥AC ,交BC 于点E ,连接CP ,当△CPE的面积最大时,求点P 的坐标；3探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q ,使△QBC 成为等腰三角形若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在,请说明理由．4．2008年山东省青岛市已知：如图①,在Rt△ACB中,∠C＝90°,AC＝4cm,BC ＝3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为ts0＜t＜2,解答下列问题：1当t为何值时,PQ∥BC2设△AQP的面积为y2cm,求y与t之间的函数关系式；3是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分若存在,求出此时t的值；若不存在,说明理由；4如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形若存在,求出此时菱形的边长；若不存在,说明理由．5．09年吉林省如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米,∠B＝60°．从初始时刻开始,点P、Q同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动,当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时,△APQ与△ABC重．叠部分．．．的面积为y平方厘米这里规定：点和线段是面积为0的三角形,解答下列问题：1点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；2点P、Q从开始运动到停止的过程中,当△APQ是等边三角形时x的值是__________秒；3求y与x之间的函数关系式．6．2009年浙江省嘉兴市如图,已知A、B是线段MN上的两点,4=MN,1=MB．以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时MA,1>针旋转点N,使M、N两点重合成一点1求x的取值范围；2若△ABC为直角三角形,求x的值；3探究：△ABC的最大面积三、圆7．2010青海如图10,已知点A3,0,以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点,与x轴的另一个交点为B,过B作⊙A的切线l.1以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C0,9,求此抛物线的解析式；2抛物线与x轴的另一个交点为D,过D作⊙A的切线DE,E为切点,求此切线长；3点F是切线DE上的一个动点,当△BFD与EAD△相似时,求出BF的长．8．2009年中考天水如图1,在平面直角坐标系xOy,二次函数y＝ax2＋bx＋ca ＞0的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,点A在原点的左侧,点B的坐标为3,0,OB＝OC,tan∠ACO＝错误!． 1求这个二次函数的解析式；2若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N,且以MN为直径的圆与x 轴相切,求该圆的半径长度；3如图2,若点G2,y是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上的一动点,当点P 运动到什么位置时,△AGP 的面积最大求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．9．09年湖南省张家界市在平面直角坐标系中,已知A －4,0,B 1,0,且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ,过点C 作圆的切线交x 轴于点D ． 1求点C 的坐标和过A ,B ,C 三点的抛物线的解析式；2求点D 的坐标；3设平行于x 轴的直线交抛物线于E ,F 两点,问：是否存在以线段EF 为直径的圆,恰好与x 轴相切若存在,求出该圆的半径,若不存在,请说明理由．角坐标O 在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ,与直线y x =交于点M N 、,且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．1求抛物线的解析式；2抛物线的对称轴交x 轴于点E ,连结DE ,并延长DE 交圆O 于F ,求EF 的长．3过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ,判断点P 是否在抛物线上,说明理由．四、比例比值取值范围11．2010年怀化图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M1,-4.1求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；2在二次函数的图象上是否存在点P,使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在,求出P 点的坐标；若不存在,请说明理由；3将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.12． 湖南省长沙市2010年如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上,82OA = cm, OC=8cm,现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发,P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动,Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．1用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；2求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值,并求出这个定值；3当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时,抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点,过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ,当线段MN 的长取最大值时,求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．13．成都市2010年在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点点A 在点B 的左侧,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为(30)-，,若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线2x =-．1求直线AC 及抛物线的函数表达式；2如果P 是线段AC 上一点,设ABP ∆、BPC ∆的面积分别为ABP S ∆、BPC S ∆,且:2:3ABP BPC S S ∆∆=,求点P 的坐标；3设Q 的半径为l,圆心Q 在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况若存在,求出圆心Q 的坐标；若不存在,请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ,圆心Q 在抛物线上运动,则当r 取何值时,⊙Q 与两坐轴同时相切五、探究型14．内江市2010如图,抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于C 点.1请求出抛物线顶点M 的坐标用含m 的代数式表示,A B 、两点的坐标； 2经探究可知,BCM △与ABC △的面积比不变,试求出这个比值； 3是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线若存在,请求出；如果不存在,请说明理由.15．重庆市潼南县2010年如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C,与x 轴相交于A 、B,点A 的坐标为2,0,点C 的坐标为0,-1.1求抛物线的解析式；2点E 是线段AC 上一动点,过点E 作DE ⊥x 轴于点D,连结DC,当△DCE 的面积最大时,求点D的坐标；3在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.16．2008年福建龙岩如图,抛物线254y ax ax=-+经过ABC△的三个顶点,已知BC x∥轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC BC=．1求抛物线的对称轴；2写出A B C，，三点的坐标并求抛物线的解析式；3探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在PAB△是等腰三角形．若存在,求出所有符合条件的点P坐标；不存在,请说明理由．17．09年广西钦州26．本题满分10分如图,已知抛物线y＝34x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点, A点的坐标为－1,0,过点C的直线y＝34t x－3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t,且0＜t＜1．1填空：点C的坐标是_▲_,b＝_▲_,c＝_▲_；2求线段QH的长用含t的式子表示；3依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ 相似若存在,求出所有t的值；若不存在,说明理由．18．09年重庆市已知：如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA＝2,OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E．1求过点E、D、C的抛物线的解析式；2将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G．如果DF与1中的抛物线交于另一点M,6,那么EF＝2GO是否成立若成立,请给予证明；若不点M的横坐标为5成立,请说明理由；3对于2中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．B19．09年湖南省长沙市如图,抛物线y3,0、B两点,与y轴相交于点C0,3．当x2＋bx ＋ca≠0的函数值y相等,连结AC、1求实数a,b,c的值；2若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时,连结MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标；3在2的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．20．08江苏徐州如图1,一副直角三角板满足AB＝BC,AC＝DE,∠ABC＝∠DEF ＝90°,∠EDF＝30°操作将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板．．．．DEF．．,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q ．．E．旋转．．．绕点探究一在旋转过程中,（1） 如图2,当CE 1EA＝时,EP 与EQ 满足怎样的数量关系并给出证明. （2） 如图3,当CE 2EA＝时EP 与EQ 满足怎样的数量关系,并说明理由. （3） 根据你对1、2的探究结果,试写出当CE EA＝m 时,EP 与EQ 满足的数量关系式 为_________,其中m 的取值范围是_______直接写出结论,不必证明 探究二若,AC ＝30cm,连续PQ,设△EPQ 的面积为Scm 2,在旋转过程中：（1） S 是否存在最大值或最小值若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由.（2） 随着S 取不同的值,对应△EPQ 的个数有哪些变化不出相应S 值的取值范围.六、最值类22．2010年恩施 如图11,在平面直角坐标系中,二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为3,0,与y 轴交于C 0,-3点,点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.1求这个二次函数的表达式．2连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP/C, 那么是否存在点P,使四边形POP/C为菱形若存在,请求出此时点P的坐标；若不存在请说明理由．3当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.。
