等差数列及其前n 项和 等比数列及其前n 项和等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示 充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示 不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 题组二 教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三 易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．(多选)设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值6．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝____时，{a n }的前n 项和最大．7．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．等差数列基本量的运算1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．122．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n3．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1 (2020·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (2019·江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.跟踪训练2 (1)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( )A.1316B.1314C.1116D.1115(2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．131．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于( ) A ．－2 B ．0 C ．3 D ．62．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－33．在等差数列{a n }中，已知a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A ．2 020 B ．2 021 C ．4 040 D ．4 0424．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．1846．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．147．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( ) A ．a 10＝0 B ．S 10最小 C ．S 7＝S 12 D ．S 20＝08．(多选)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( ) A ．a n ＝－12n－1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 0509．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.13．(2020·大连模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于( )A ．90B ．100C ．110D ．12014．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A ．210 B.1210 C.10 D.321016．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn ，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)． 概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示 不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示 必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二 教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11题组三 易错自纠4．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．log 2a 2nC ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}5．若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．22．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．23．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .等比数列的判定与证明例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列； (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列；(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列． 例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( ) A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2n C ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1 B ．3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D ．5n －3×2n －1构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根． 例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2019·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916 D ．3785．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－162 C ．2 D ．1627．(多选)在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为( ) A ．8 B ．12 C ．－8 D ．－128．(多选)在等比数列{a n }中，公比为q ，其前n 项积为T n ，并且满足a 1＞1，a 99·a 100－1＞0，a 99－1a 100－1＜0，下列选项中，结论正确的是( ) A ．0＜q ＜1 B ．a 99·a 101－1＜0C ．T 100的值是T n 中最大的D ．使T n ＞1成立的最大自然数n 等于1989．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________.10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1 成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 020的个位数字是____．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ，2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝2n a ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．。
2.等差数列通项公式:3•等差中项4 •等差数列的前n 项和公式:c n(a 1 a n )n(n 1) d 2 , 1 , 2S n ------------------ na i ------ d — n ⑻一d)n An Bn 2 2 2 2(其中A 、B 是常数，所以当d M 0时，S 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地，当项数为奇数2n 1时，a n1是项数为2n+1的等差数列的中间项项)5 •等差数列的判定方法6•等差数列的证明方法7.提醒:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素: d 称作为基本元素。
只要已知这 5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
(2)设项技巧:①一般可设通项a n a 1 (n 1)d1.等差数列的定义式:a na n 1等差数列性质总结d (d 为常数)(n 2);a n a i (n 1)d dn a i d (n N首项：a i ，公差:d ，末项：a n推广：a n a m(n m)d(1)如果a , A , b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项.即: (2)等差中项：数列a n 是等差数列2a n a n-1 a n i (n 2,n N +)2an 1 a n an 2na iS 2n 12n 1 a i a 2n i2n 1 a ni (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间(1)定义法：若a n a n 1d 或 a n 1 a n d (常数 n N )a n 是等差数列. (2)等差中项：数列a n 是等差数列2a n a n-1a n i (n 2)2a n i a . a⑶数列a n 是等差数列a n kn b(其中k,b 是常数)。
(4)数列a n 是等差数列2S n An Bn ,(其中A 、B 是常数)。
定义法：若a n a n 1 d 或a n 1 a nd(常数n N )a n 是等差数列等差中项性质法：2a n a n-1a n i (n 2, n N ).a i 、d 、n 、a n 及 S n ,其中 a i 、②奇数个数成等差，可设为…,2d,a d, a, a d,a 2d …(公差为d );③偶数个数成等差，可设为…,3d,a d,a d,a 3d ,…(注意；公差为2d )8.等差数列的性质:(1)当公差d 0时,等差数列的通项公式a n a1 (n 1)ddn a1d是关于n的一次函数，且斜率为公差^d d n2 2 2 (a i 新是关于n的二次函数且常数项为0.(2)若公差d 0,则为递增等差数列，若公差d 0,则为递减等差数列，若公差 d 0,则为常数列。
等差等比数列的性质总结一、等差数列1、等差数列的定义：（d为常数）（）；2、等差数列通项公式：，首项:，公差:d，末项: 推广：、从而；3、等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项、即：或（2）等差中项：数列是等差数列4、等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若或(常数)是等差数列、（2）等差中项：数列是等差数列、⑶数列是等差数列（其中是常数）。
（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。
6、等差数列的证明方法定义法：若或(常数)是等差数列、7、提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：①一般可设通项②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）8、、等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0、（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
（3）当时,则有，特别地，当时，则有、注：，（4）若、为等差数列，则都为等差数列(5) 若{}是等差数列，则，…也成等差数列（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1、当项数为偶数时，2、当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）、（8）、的前和分别为、，且，则、（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和(10)求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
一、等差数列1.等差数列的定义：d a a n n =--1〔d 为常数〕〔2≥n 〕；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项〔1〕如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 〔2〕等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ 〔其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0〕 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+〔项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项〕5．等差数列的判定方法〔1〕定义法：假设d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．〔2〕 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=〔其中b k ,是常数〕。
〔4〕数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,〔其中A 、B 是常数〕。
6．等差数列的证明方法定义法：假设d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．7.提醒：〔1〕等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为根本元素。
