等差数列的性质

教学内容【知识结构】1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=[或=n a d m n a m )(-+]等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--=则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=nm a a nm --3.有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=mn a a mn --4.等差中项：定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+【例题精讲】例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20 解法一：∵105=a ，3112=a ，则⎩⎨⎧=+=+311110411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=321d a∴53)1(1-=-+=n d n a a n5519120=+=d a a解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+=例3设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，判断数列{a n }是否是等差数列？ 解法一：a n =⎩⎨⎧≥-==⇒⎩⎨⎧≥-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数∴{a n }是等差数列解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。

等差数列的性质总结1. 等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d a d nd n N =+-=-+∈； 首项:1a ；公差: d ；末项:n a .推广：d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中,A B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为21n +的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5. 等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）中项公式法：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）通项公式法：数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）前n 项和公式法：数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中,A B 是常数）。

6. 等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． 7. 考点提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

合作探究：问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？由定义得A-a =b -A ，即：2ba A +=反之，若2ba A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 也就是说，A =2ba +是a ,A ,b 成等差数列的充要条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n的数列的图象，这个图象有什么特点？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说说等差数列q pn a n +=的图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系？定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+即 m+n=p+q ⇒q p n ma a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )例1在等差数列{na }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来例3已知数列{n a }的通项公式为q pn a n+=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定{n a }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看)1(1>--n a a n n是不是一个与n 无关的常数。

等差数列掌握等差数列的概念与性质等差数列是数学中的重要概念，它在实际问题的建模与解决中起着重要的作用。

本文将介绍等差数列的概念与性质，并探讨其在数学和实际应用中的重要性。

一、等差数列的概念等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等。

换句话说，如果一个数列满足每个数与它的前一个数之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，则根据等差数列的定义，可得该数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列中的第n个数。

二、等差数列的性质1. 公差的性质：等差数列的公差d是常数，它决定了数列中每两个相邻项之间的差值。

2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来求解数列中任意一项的数值。

通项公式可以通过观察数列中的规律来得到，也可以通过公式推导得到。

3. 首项与末项：等差数列的首项和末项可以利用通项公式求解。

首项即为数列中的第一个数，末项即为数列中的最后一个数。

4. 数列求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式进行计算。

求和公式可以用来计算数列中任意一段连续项的和。

5. 数列的性质：等差数列具有数学性质，比如对称性、递推性等。

这些性质在解决实际问题时常常起到重要的作用。

三、等差数列的重要性等差数列在数学中有着广泛的应用，尤其是在代数学和数学分析中。

它不仅是数学理论的重要基础，也是其他数学分支的重要工具。

同时，等差数列也有广泛的实际应用。

在自然科学、工程技术、经济管理等领域中，等差数列常常被用来描述一些周期性的变化规律。

比如，在物理学中，等差数列可以用来描述物体在等时间间隔内的位移变化；在经济学中，等差数列可以用来描述某种资源的消耗或增长规律。

此外，等差数列还可以在求解一些实际问题时起到重要的作用。

比如，在工程规划过程中，通过分析等差数列可得到一些有用的结论，从而为决策提供科学依据。

综上所述，等差数列的概念与性质在数学和实际问题中都具有重要的作用。