专题1二次函数
题型一二次函数的图象和性质
例 1对于抛物线y＝－x2＋2x＋3，有下列四个结论：①它的对称轴为x＝1；
②它的顶点坐标为(1，4)；
③它与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，
0)；
④当x＞0时，y随x的增大而减小．
其中正确的个数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】①对称轴为x＝－b
2a ＝－
2
2×（－1）
＝1，∴①正确；②y＝
－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴它的顶点坐标为(1，4)，∴②正确；
③y＝－x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，x1＝－1，x2＝3，∴y＝－x2＋2x＋3与y轴的交点坐标为(0，3)，与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，∴③正确；④∵a＝－1＜0，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴④错误．故正确的选项有①②③三个．
【点悟】二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析．
变式跟进
1．小张同学说出了二次函数的两个条件：
(1)当x＜1时，y随x的增大而增大；
(2)函数图象经过点(－2，4)．
则符合条件的二次函数表达式可以是( D )
A ．y ＝－(x －1)2－5
B ．y ＝2(x －1)2－14
C ．y ＝－(x ＋1)2＋5
D ．y ＝－(x －2)2＋20
2．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标．
(1)y ＝4x 2＋24x ＋35；
(2)y ＝－3x 2＋6x ＋2；
(3)y ＝x 2－x ＋3；
(4)y ＝2x 2＋12x ＋18.
解：(1)∵y ＝4x 2＋24x ＋35，
∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，－1)，
解方程4x 2
＋24x ＋35＝0，得x 1＝－52，x 2＝－72， 故它与x 轴交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－72，0； (2)∵y ＝－3x 2＋6x ＋2，
∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，5)，
解方程－3x 2＋6x ＋2＝0，
得x 1＝1＋153，x 2＝1－153
， 故它与x 轴的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋153，0，⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1－153，0； (3)∵y ＝x 2－x ＋3，
∴对称轴是直线x ＝12，顶点坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，114，
解方程x2－x＋3＝0，无解，故它与x轴没有交点；
(4)∵y＝2x2＋12x＋18，
∴对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，0)，
当y＝0时，2x2＋12x＋18＝0，∴x1＝x2＝－3，
∴它与x轴的交点坐标是(－3，0)．
题型二二次函数的平移
例 2将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为( C )
A．y＝－2(x＋1)2B．y＝－2(x＋1)2＋2
C．y＝－2(x－1)2＋2 D．y＝－2(x－1)2＋1
【点悟】二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律．
变式跟进
3．将抛物线y＝2x2＋4x－5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是( C )
A．y＝2(x＋1)2－7 B．y＝2(x＋1)2－6
C．y＝2(x＋3)2－6 D．y＝2(x－1)2－6
题型三二次函数与一元二次方程和不等式的关系例 3 [2016·宁夏]若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是__m＜1__．
【解析】∵二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴4－4m＞0，∴m＜1.
【点悟】抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的交点的横坐标x 1，x 2，就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，判断抛物线与x 轴是否有交点，只要判断b 2－4ac 与0的大小即可．
变式跟进
4．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(－1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是( D )
A ．x 1＝1，x 2＝2
B ．x 1＝1，x 2＝3
C ．x 1＝－1，x 2＝2
D ．x 1＝－1，x 2＝3
【解析】 二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的对称轴是x ＝1，(－1，0)关于x ＝1的对称点是(3，0)．则一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是x 1＝－1，x 2＝3.
5．[2017·高邮二模]如图1，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是__－4＜x ＜－3__．
图1 第5题答图 【解析】 如答图所示，∵点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物
线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为x ＝－32
，
∵二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx的图象交于点A和原点O，∴C点坐标为(－3，0)，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是－4＜x＜－3.
题型四二次函数的图象与系数之间的关系例 4 如图2，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝1.下列结论：
①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；
③4ac－b2＜8a；④1
3＜a＜
2
3
；⑤b＞c.
其中含所有正确结论的选项是( D )
图2
A．①③B．①③④
C．②④⑤D．①③④⑤
【解析】①∵函数开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴在原点右侧，∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故
①正确；
②∵图象与x轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x＝1，∴图象与x 轴的另一个交点为(3，0)，
