云南师大附中2013届高考适应性月考卷(四)(五)(六)理科数学及答案分析

甲 乙 9 0 86 5 5 4 1 3 5 5 71 2 2云南师大附中2013届高考适应性月考卷（四）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U 为实数集R ，{}||2M x x =>，{}2|430N x x x =-+<，则图1中阴影部分所表示的集合是A ．{}|2x x <B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|21x x -≤<D ．{}|12x x <≤2．已知i 为虚数单位，则复数133i i-+的虚部是A ．1-B ．1C ．iD ． i -3．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A ．所有实数的平方都不是正数B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方不是正数D ．至少有一个实数的平方是正数4．已知(0,0)a b t a b +=>>，t 为常数，且a b 的最大值为2，则t ＝A ．2B ．4C．D．5．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图2所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s ==C ．1212,x x s s =<D ．1212,x x s s =>6．若二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A ．2B ．5C ．7D ．107．已知定义在R 上的函数2()sin x f x e x x x =+-+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是A ．1y x =+B ．32y x =-C ． 21y x =-D ．23y x =-+8．如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是A ．25B ．5C ．4D ．19．如图1给出的是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A ．12?i >B ．11?i >C ．10?i >D ．9?i >10．已知一几何体的三视图如图3，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，若方程()(0)f x m m =>，在区间[]0,8上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++＝A ．－12B ．－8C ．－4D ．412．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点，双曲线两条渐近线分别为12,l l ，过F 作直线1l 的垂线，分别交12,l l 于A 、B 两点，且向量BF与FA 同向．若||,||,||OA AB OB 成等差数列，则双曲线离心率e 的大小为主视图左视图俯视图A ．2 B．2C．2D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．如果随机变量2~(1,)N ξσ，且(31)0.4P ξ-≤≤-=，则(1)P ξ≥＝ ． 14．在直角坐标系xOy 中，有一定点(2,1)A ，若线段O A 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．15．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A -，且法向量(1,2)n =-的直线（点法式）方程为1(3)(2)(4)0x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,3)A ，且法向量为(1,2,1)n =--的平面（点法式）方程为 ．16．已知数列{}n a 中121,2a a ==，当整数1n >时，1112()n n n S S S S +-+=+都成立，则15S ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数21()2cos 22f x x x =--，x R ∈．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）设ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c =()9f C =，sin 2sin B A =，求,a b 的值．18．（本小题满分12分）班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示． （1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；（2）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学小时)习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．19．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是A C 中点． （1）求证：平面1B E C ⊥平面11AC C A ；（2）若12A A AB=，求二面角1E BC C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数()ln b f x x a x x=-+在1x =处取得极值，且3a >（1）求a 与b 满足的关系式； （2）求函数()f x 的单调区间．21．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的焦距为4，设右焦点为1F ，离心率为e ．（1）若2e =，求椭圆的方程；（2）设A 、B 为椭圆上关于原点对称的两点，1A F 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段M N 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上； ②设直线A B 的斜率为k，若k ≥e 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图6，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线N A B ，交圆于A 、B 两点，连接P A 并延长，交圆O 于点C ，连续P B 交圆O 于点D ，若M C B C =．（1）求证：△A P M ∽△A B P ； （2）求证：四边形P M C D 是平行四边形．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立ABCE B 1A 1C1平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos ,x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P的直角坐标．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--． （1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由集合运算得结果.2．原式=10i 10-，则复数13i 3i-+的虚部是1-.3．全称命题的否定是特称命题. 4．当0,0a b >>时，有2()4a b ab +≤.5．115x =，215x =，由茎叶图得12s s <. 6．展开式的通项公式是T r ＋1=C r nx3n −3r x −2r=C r nx3n −5r，若二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则3n −5r = 0，即n 53r =(0r =，1，2，…，n )，故当3r =时，此时n 的最小值是5.7．令0x =，解得(0)1f =. 对()f x 求导，得()f x 'x e =+2x −1+cos x ，令0x =，解得(0)1f '=，故切线方程为1y x =+.8．在直角坐标系中画出不等式组1,10,220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≤≤ 所表示的平面区域如图1所示的阴影部分，x 2+y 2的最小值即表示 阴影部分（包含边界）中的点到原点的距离的最小值的平 方，由图可知直线x −y +1=0与直线x =1的交点(1，2)到原 点最近，故x 2+y 2的最小值为12+22=5. 9．该程序框图为求和运算，得C 选项.10．以长方体1111ABCD A B C D -为几何体的直观图. 当选择的四个点为B 1、B 、C 、C 1时，可知①正确；当选择B 、A 、B 1、C 时，可知②正确；当选择A 、B 、D 、D 1时，可知③正确. 11．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，由()f x 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =-对称且(0)f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为()f x 在区间[0，2]上是增函数，所以()f x 在区间[−2，0]上也是增函数. 如图2所示，那么方程()f x =m (m >0)在区间[−8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，由对称性知1262x x +=-，即x 1+x 2 = −12，同理：x 3+x 4 = 4，所以x 1+x 2+x 3+x 4 = −12+4 = −8.12．设O A =m −d ，A B =m ，O B =m +d ，由勾股定理，得 (m −d )2+m 2=(m +d )2．解得m =4d ．设∠AOF =α，则cos2α=35OA OB=．cos α，所以，离心率e=1cos 2α=.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图1图2【解析】13．如果随机变量ξ～N (−1，σ2)，且P (−3≤ξ≤−1) = 0.4.∴P (ξ≥1) = P (ξ≤−3) = 0.5-0.4 = 0.1.14．OA 的垂直平分线的方程是y −12(1)2x =--，令y = 0得到x =54．所以该抛物线的准线方程为54x =-.15．设B (x ，y ，z )为平面内的任一点，由0AB n =得(1)(1)(2)(2)1(3)0x y z -⨯-+-⨯-+⨯-=，即220x y z +--=．16. 111()()22n n n n S S S S S +----==,即12(2)n n a a n +-=≥，数列{n a }从第二项起构成等差数列，15S =1+2+4+6+8+…+28=211.三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1cos 21π()2sin 212226xf x x x +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 则()f x 的最小正周期是2ππ2T ==. ………………………………………………（6分）（Ⅱ）π()sin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πC <<，∴022πC <<， ∴ππ11π2<666C -<-，∴ππ262C -=，∴3C π=，∵sin 2sin B A =，由正弦定理，得12a b =，①由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ②由①②解得1,2a b ==. ……………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）平均学习时间为20102103541.8()50⨯⨯+⨯+⨯=1+小时. ……………（6分）（Ⅱ）设甲开始学习的时刻为x ，乙开始学习的时刻为y ，试验的全部结果所构成的区域为Ω ={(x ，y )|18≤x ≤21，18≤y ≤20}，面积S Ω = 2×3=6.事件A 表示“22时甲、乙都在学习”，所构成的区域为A ={(x ，y )|20≤x ≤21，19≤y ≤20}，面积为111A S =⨯=，这是一个几何概型，所以P (A )A S S Ω==16. …………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图3，∵111ABC A B C -是正三棱柱， ∴1,AA ABC ⊥平面 ∴1BE AA ⊥.∵△ABC 是正三角形，E 是AC 中点， ∴,BE AC ⊥ ∴11BE ACC A ⊥平面. 又∵1BE BEC ⊂平面， ∴平面1BE CA⊥平面. …………………………………………………………（6分）（Ⅱ） 解：如图4，作1CF EC F ⊥于，1FG BC ⊥于G ，连CG . ∵平面111BEC ACC A ⊥平面， ∴1CF BEC ⊥平面，∴FG 是CG 在平面1BEC 上的射影. ∴根据三垂线定理得，1CG BC ⊥， ∴∠CGF 是二面角1E BC C --的平面角， 设AB a =，∵12A A AB=，则12A A =.图3图4在1Rt ECC △中，116EC CC CF EC ⋅==.在1Rt BCC △中，113BC CC CG BC ⋅==,在R t C FG △中，∵sin 2C F C G F C G∠==,∴45C G F ∠=︒.∴二面角1E BC C --的大小是45°. …………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()1a b f x x x'=--，由(1)0f '= 得1ba=-. ………………………（4分）（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由（Ⅰ）可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x xxx-------'=--==．令()0f x '=，则11x =，21x a =-.3a >时，11a ->，所以单调递增区间为(0,1)，(1,)a -+∞，单调递减区间为(1,1)a -. ………（12分）21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2e =c =2，得a =，b =2 ,所求椭圆方程为22184xy+=. ………………………………………………………（4分）（Ⅱ）设00(,)A x y ，则00(,)B x y --， 故00+222x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，，00222x y N -⎛⎫-⎪⎝⎭，.① 由题意，得0OM ON =.化简，得22004x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上. ……………（8分）② 设00(,)A x y ，则002222200220022222222220000,1,111,(1)444y kx x k x x y k k a ba b a b x kx x y =⎧⎧⎪+=⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪+=⎩. 将2c e aa==，222244b ac e=-=-，代入上式整理，得2242(21)2 1.k e e e -=-+因为42210e e -+>，k 2>0，所以2210e ->， 所以 422221321e e k e -+=-≥．化简，得422840,210.e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩≥解之，得2142e <-≤1,2e <≤故离心率的取值范围是12⎤⎥⎝⎦. ……………………………………………（12分）22.（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）∵P M 是圆O 的切线，N A B 是圆O 的割线，N 是P M 的中点， ∴22,MN PN NA NB ==⋅ ∴,PN N A N BPN=又∵,P N A B N P ∠=∠∴PN A △∽BN P △，∴,A P N PB N ∠=∠ 即,A P M P B A ∠=∠∵,M CB C =∴,M A CB AC ∠=∠∴,M AP PAB ∠=∠∴A P M △∽ABP △． …………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）∵AC D PBN ∠=∠，∴AC D PBN APN ∠=∠=∠，即PC D C PM ∠=∠， ∴//PM C D ，∵A P M △∽ABP △，∴PM A BPA ∠=∠，∵P M 是圆O 的切线，∴PM A M C P ∠=∠， ∴PM A BPA M C P ∠=∠=∠，即,M C P D P C ∠=∠∴//,M CP D∴四边形P M C D 是平行四边形． ……………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：因为直线l 的极坐标方程为=()3θρπ∈R ，所以直线l的普通方程为y =，① ………………………………………………（3分） 又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩ (α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为212y x =([2,2])x ∈-，② …………………………（6分）联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩或 6.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P 点的直角坐标为(0，0). ………………………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）函数的定义域满足：150x x a -+-->， 即15x x a -+->， 设()15g x x x =-+-，则()15g x x x =-+-=26,5,4,15,62,1,x x x x x -⎧⎪<<⎨⎪-⎩≥≤g (x )min = 4，f (x )min = log 2 (4−2)=1. ………………………………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()15g x x x =-+-的最小值为4.150x x a -+-->，∴a <4，∴a 的取值范围是(−∞，4). ………………………………………………（10分）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|10A x ax =-=，{}3,4B =，且A B A = ，则a 的所有可能值组成的集合是A ．110,,34⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,34⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{}02．设复数21z i=-（其中i 为虚数单位），则23z z +为A ．2iB ．10i -C ．10iD ．62i --3．设向量sin ,2a α⎛= ⎪⎝⎭的模为2，则cos 2α＝ A ．14-B ．12C ．12-D24．如图1，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数cos y x =的图像上方的点构成的区域，向D 中随机投一点，则该点落入E （阴影部分）中的概率为A ．2πB ．1πC ．2ππ-D ．125．在同一个坐标系中画出函数xy a =，sin y ax =的部分图像，其中0a >且1a ≠，则下列所给图像中可能正确的是6．一个几何体的三视图如图2所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为A ．B ．+正视图侧视图11111CD7．图3是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T 是A ．1B ．2C ．3 D．48．函数sin()y x ωϕ=+（0ω>且||2πϕ<）在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为A ．2B ．12C 2D 49．设a 、b 、c 、d R ∈，若,1,a b 成等比数列，且,1,c d 成等差数列，则下列等式恒成立的是A ．||2a b cd +≥B ．2a b cd +≥C ．||2a b cd +≤D ．2a b cd +≤10．P 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上的点，1F 、2F 是其焦点，且120PF PF ⋅= ，若△12F P F 的面积是9，7a b +=，则双曲线的离心率为A ．74B ．54C 2D 211．如图4，已知O 、A 、B 是平面上三点，向量OA a = ，OB b =．在平面AO B 上，P 是线段A B 垂直平分线上任意一点，向量O P p = ，且||3a =，||2b = ，则()p a b ⋅-的值是A ．12B ．32C ．72D ．5212．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，当(1,1)x ∈-时均有1()2f x <，则实数a 的取值范围是A ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦B ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,11,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)10,4,4⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos 5A =，则)4A π-的值为 ． 14．若数列{}n a 满足112a =，2*12()n n a a a n a n N +++=∈ ，则数列{}n a 的前60项和为 ．15．若不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值为 ．16．如图5，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -的内切球，则以球心O 为顶点，以球O 被平面1A C D 所截得的圆为底面的圆锥的体积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且3452a a a +=，0n a >． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)321nn n b a n =-++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T18．（本小题满分12分）在一次抢险救灾中，某救援队的50名队员被分别分派到四个不同的区域参加救援工作，其分布的情况如下表，从这50名队员中随机抽出2人去完成一项特殊任务．（1）求这2人来自同一区域的概率；（2）若这2人来自区域A ，D ，并记来自区域A 队员中的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）在如图6所示的几何体中，平面AC E ⊥平面A B C D ，四边形A B C D 为平行四边形，90ACB ∠= ，E F ∥B C ，2AC BC EF ==，AC ==．（1）求证：A E ⊥平面B C E F ； （2）求二面角A B F C --的大小． 20．（本小题满分12分）已知函数2()ln 8xf x x =-，[]1,3x ∈．（1）求()f x 的最大值与最小值；（2）若()4f x at <-对于任意的[]0,2t ∈恒成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(2,0)的直线l 的与椭圆C 交于A 、B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP += （O 为坐标原点），当||3PA PB -< 时，求实数t 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图7所示，P A 为O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，10P A =，5P B =，B A C ∠的平分线与B C 和O 分别交于点D 和E ． （1）求证：A B P AA CP C=；（2）求A D A E ⋅的值．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为11,22,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换2,,x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设曲线C '上任一点为(,)M x y，求x +的最小值．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()|1||1|f x x x =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧三、解答题 17．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由= A B A 知⊆A B ，而{3,4}=B ，且0=a 时，=∅A ，适合= A B A ，故选A ． 2．2112i i=-=+z ，则223(12i)3(12i)10i +=+++=z z ，故选C.3. 213sin 24+=α，则21sin 4=α，21cos 212sin 2=-=αα，故选B ．4．=πD S ，22cos d 2ππ-=π-=π-⎰E S x x ，故选C ．5．0>a 且1≠a ，当22π=>πT a时，01<<a ，故选C.6．该几何体是高为1，底面对角线长为2的菱形构成的四棱锥，1121222⎛⎫⎛=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎝⎭⎝S D ．7．第一次循环有1,1,2===a T k ，第二次循环有0,1,3===a T k ，第三次循环有0,1,4===a T k ，第四次循环有1,2,5===a T k ，第五次循环有1,3,6===a T k ，此时不满足条件，输出3=T ，故选C. 8．12=T 2362πππ-=，=πT ，222ππ===πTω，此时sin(2)=+y x ϕ，又函数过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭，代入可得6π=ϕ，因此函数sin 26π⎛⎫=+⎪⎝⎭y x ，令0=x ，可得12=y ．故选B.9．212+⎛⎫= ⎪⎝⎭a b ab ≤，故2+a b ≥，又2+=c d ，故212+⎛⎫= ⎪⎝⎭c d cd ≤，即22cd ≥，故选A ．10． 设1=PF x ，2=PF y ，由题意得192=xy ，即18=xy ，又2224+=x y c ，故22()24-+=x y xy c ，即229+=a c ，于是29=b ，即3=b ，又7+=a b ，所以4=a ，5=c ，54==c e a，选B.11．如图1，采用特殊化法，当点P 运动到线段AB 的中点M 这一特殊位置时，有1()2=+p a b ，所以22115()()()()222-=+-=-=p a b a b a b ab ，故选D.另解：设线段AB 的中点为M ， 则1()2=-=-+M P OP OM p a b ，又=- BA a b ，且⊥ MP BA ，所以1()()02⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦p a b a b ，即22115()()()()222-=+-=-=p a b a b a b ab .12．原命题212⇔-<xx a，在(1,1)∈-x 上恒成立，因为当(1,1)∈-x 时2111222--<x ≤，于是若1>a ，则x a 的最小值是1-a ，故112-a ≥，即2a ≤，此时12<a ≤，至此可选答案为B ；事实上若01<<a ，则x a 的最小值是a ，故12a ≥，此时1 1.2<a ≤（也可作出212=-y x 与=xy a 在(1,1)∈-x 上的简图，易知当1>a 时，112-a ≥；当01<<a 时，112a ≥，解之得B ．）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．在ABC △中，由4cos 5=A ，得3sin 5=A 341sin cos 4555π⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭A A A ．图114. 由题意知2=n n S n a ，当2n ≥时，211(1)--=-n n S n a ，两式相减得221(1)-=--n n n a n a n a ，即221(1)(1)--=-n n n a n a ，故111--=+n n a n a n ，所以324112311123211.23451(1)---===++n n n a a a a n n a a a a a a nn n n ……又1a 也满足上式，故111(1)1==-++n a n n nn ，所以数列{}n a 的前60项和为16016161-=．15．不等式组所表示的平面区域如图2阴影部分，易知40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ，所以直线43=+y kx 过点B ，若=BDC BDA S S △△，则点D 为线段A C 的中点，由34,34,+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)A ，又(0,4)C ，所以15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ，代入直线43=+y kx 中，解得73=k ．16．如图3，O 为球心，也是正方体的中心，设球O 被平面1ACD 所截得的圆的半径为r ，AC 中点为M，则1136==r D M ，球的半径12=R ，则O 到平面1ACD的距离6==h圆锥的体积213108=π=V r h ．三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 则12341112,2,=⎧⎪⎨+=⎪⎩a q a q a q a q ①② …（2分）把①代入②整理得220--=q q ，即1,2=-=q q ，0>n a ∵, 2=q ∴，代入①得11=a , ∴12-=n n a ． ……………（6分） （Ⅱ）1(1)321(1)3221-=-++=-++ n n n n n b a n n ∵13(2)21-=--++n n ， ……………（9分）13[1248(2)][35721]-=--+-++-++++++ n n T n ,223[1(2)]2(2)2112---=++=-++-+nnn T n n n n ∴． ………………………………（12分）图2图318．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“这2人来自同一区域”为事件E ，那么22222010515250C C C C 2()C 7+++==P E ，所以这2人来自同一区域的概率是27． …………………………………………（4分）（Ⅱ）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，且215235C 3(0)C 17===P ξ，112201520223535C C C 6038(1),(2).C119C119======P P ξξ …………………………（8分）所以ξ的分布列是：ξ的数学期望为360381368012.171191191197=⨯+⨯+⨯==E ξ……………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，∵平面⊥AC E 平面ABC D ， 平面 A C E 平面=ABC D AC ， 且⊥BC AC ，∴⊥BC 平面AC E ，⊥BC AE， …………………………………………………………………………（3分）又==AC ，∴⊥AE EC ，而= B C E C C ，∴⊥AE平面.B C E F ……………………………………………（6分） （Ⅱ）解：方法一：建立如图5所示的空间直角坐标系， 不妨设2==AC BC ，则==AE EC ， 由题意得(0,0,0)A ，(2,2,0)-B ，(2,0,0)C ，图4(1,1,1)-F ，(2,2,0)=- AB ，(0,2,0)=BC ，(1,1,1)=-BF ， ……………………………………………………………………（8分）设平面BFC 的法向量为111(,,)=m x y z ， 由0= m BC ，且0= m BF ，得(1,0,1)=m ， 设平面ABF 的法向量为222(,,)=n x y z ，由0=n AB ，且0= n BF ，得(1,1,0)=n ， ……………………………………（10分）所以1cos ,2⋅〈〉==m n m n m n，∴二面角--A BF C 的大小为60︒. ………………………………………………（12分） 方法二：如图6，取A C 的中点N ，连接E N ， ∵平面⊥AC E 平面ABC D ，=A E E C ， ∴⊥EN 平面ABC D .取AB 的中点H ，连接FH ，N H ，由题意可知四边形E F H N 是平行四边形， 则//FH EN ，⊥FH 平面ABC D ， ∴平面ABF ⊥平面ABC D .连接C H ，∵=AC BC ，则⊥C H AB ，∴⊥C H 平面ABF . 过H 向BF 引垂线交BF 于R ，连接C R ，则⊥C R B F ，则∠H R C 为二面角--A BF C 的平面角. …………………………………………（9分） 由题意，不妨设2==AC BC，则=AB ， 在R t BH F △中，3=H R，12==CH AB ,所以在R t △CHR中，tan ∠==C H H RC RH因此二面角--A BF C 的大小为60︒. ……………………………………………（12分）图5图620．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1(2)(2)()44+-'=-=x x x f x xx，令()0'=f x ，得2=-x 或2=x .[1,3]∈x ∵，故当12<<x 时，()0'<f x ，当23<<x 时，()0'>f x ， …………………………………………………………（3分） ∴()f x 在2=x 处取得唯一极小值，也是最小值1(2)ln 22=-f ，又1(1)8=f ，9(3)ln 38=-f ，19ln 3ln 31088⎛⎫--=-> ⎪⎝⎭，即(1)(3)>f f ，∴()f x 的最大值为18， 最小值为1ln 22-． ………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()8f x ≤，所以()4<-f x at 对于任意的[0,2]∈t 恒成立，只要148->at ，即8310-<at 对任意[0,2]∈t 恒成立， ………………………（9分）设()831=-g t at （[0,2]∈t ），则(0)0,(2)0,<⎧⎨<⎩g g 解得3116<a ，所以实数a 的取值范围是31,16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． ……………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2==c e a得，222=a b，依题意1222⨯⨯=a b=ab解方程组222,⎧=⎪⎨=⎪⎩a b ab得=a 1=b ，所以椭圆C 的方程为2212+=xy . …………………………………………………（4分）（Ⅱ）依题意直线l 的斜率存在，设l ：(2)=-y k x ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由22(2),1,2=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 得2222(12)8820+-+-=k x k x k ，由422644(21)(82)0∆=-+->k k k ，得212<k ，且2122812+=+kx x k，21228212-=+k x x k． ………………………………………………（6分）∵+=OA OB tOP ，1212(,)(,)++=x x y y t x y ∴，当0=t 时，0=k ，23-==>PA PB a ，∴0≠t ，21228(12)+==+x x kx tt k ，1212214[()4](12)+-==+-=+y y k y k x x k ttt k ，∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)-+⋅=++k k t k t k ，即22216(12)=+k t k . …………………………………………………………（8分）∵3-<PA PB 123-<x 22121220(1)[()4]9++-<k x x x x ，∴422222648220(1)4(12)129⎡⎤-+-⋅<⎢⎥++⎣⎦k k k k k ， 即22(41)(1413)0-+>k k ，∴21.4>k ………………………………………………（10分）又212<k ，∴21142<<k ，则由222216881221==-++kt kk ，得2843<<t ，∴实数t 的取值范围是2,233⎛⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：P A ∵为 O 的切线，∠=∠PAB AC P ∴， 又∠=∠P P ，PAB PC A ∴△∽△．.=AB PA ACPC∴…………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：如图7，∵P A 为 O 的切线，PBC 是过点O 的割线，2.=⋅PA PB PC ∴ ………………………………………………………………………（5分）又10,5,20,15,====PA PB PC BC ∵∴由（Ⅰ）知，12==AB PA ACPC，∵BC 是 O 的直径，22290,225,∠=︒+==CAB AC AB BC ∴∴==AC AB ∴…………………………（7分）连接CE ，则∠=∠ABC E ，又∠=∠C AE EAB ，,AC E AD B △∽△ .=AB AD AEAC∴90.⋅=⋅==AD AE AB AC ∴…………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）直线l20-+-=y ，曲线C 的直角坐标方程为：221+=x y ． …………………………………………（4分）（Ⅱ）∵2,,'=⎧⎨'=⎩x x y y ∴将,2'⎧=⎪⎨⎪'=⎩x x y y 代入C ，得'C ：22()()14''+=x y ， 即椭圆'C 的方程为2214+=xy ．设椭圆'C 的参数方程为2cos ,sin =⎧⎨=⎩x y ϕϕ（ϕ为参数），则π2cos 4sin 6⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭x ϕϕϕ，∴+x 的最小值为 4.- …………………………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）方法一：当1=-a 时，()11=-++f x x x ， …………………………（1分） 由()3f x ≥得 113-++x x ≥，（ⅰ）当1-x ≤时，不等式化为113---x x ≥，即23-x ≥， 不等式组1,()3-⎧⎨⎩x f x ≤≥的解集为 3,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦；（ⅱ）当11-<x ≤时，不等式化为113-++x x ≥，不可能成立， 不等式组11,()3-<⎧⎨⎩x f x ≤≥ 的解集为∅；（ⅲ）当1>x 时，不等式化为113-++x x ≥，图7即23x ≥，不等式组1,()3>⎧⎨⎩x f x ≥的解集为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，综上得，()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ . ……………………………（5分）方法二：当1=-a 时，()11=-++f x x x ，由()3f x ≥得113-++x x ≥，由绝对值的几何意义11-++x x 表示数轴上的点x 到1-与1的距离之和，而11-++x x 的最小值为2，所以当32-x ≤或32x ≥时，113-++x x ≥，所以不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．（Ⅱ）若1,()21==-a f x x ，不满足题设条件，若21,,1,()1,1,2(1),1,-++⎧⎪<=-<<⎨⎪-+⎩x a x a a f x a a x x a x ≤≥()f x 的最小值为1-a ；若21,1,1,()1,1,2(1),,-++⎧⎪>=-<<⎨⎪-+⎩x a x a f x a x a x a x a ≤≥ ()f x 的最小值为1-a ， …………………（8分）所以,()2∀∈x f x R ≥的充分条件是12-a ≥，从而a 的取值范围为(,1][3,)-∞-+∞ ． ………………………………………（10分）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（六） 理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 9【解析】1．{|11}=-A x x ≤≤，{|0}=>B y y ，{|0}∴=U B y y ≤ð，故()= U A B ð[1,0]-.2．由题可得i i 1i -=+z ，12i 2ii+∴==-z ，则复数z 的共轭复数是2i +.3．A 、B 、D 选项都是正确的，选项C 的逆命题是“若<a b ，则22<am bm ”，它是错误的，因为当0=m时，22=am bm.4．由题可得点G 是ABC △的重心，设BC 边的中点为D ，则2211()(22)3323==⨯+=+AG AD AB AC AE AF ，23∴==x y ，43∴+=x y .5．只有②③是正确的.6．直线l 的斜率211=-k m ≤，tan 1,∴α≤ ∴ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ α. 7．设正四面体的棱长为a ，则体积311322312=⨯⨯⨯⨯==V a ，2∴=a ，而正四面体的左视图为一个三角形，如图1所示，∴122=⨯⨯=S .8．73ππ()sin πcos πsin cos 4444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x x x x xππππsin coscos sincos cossin sincos )4444=--+=-x x x x x x图1π2sin 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭x ，故最小正周期是2π.令πππ,42-=+x k 则3ππ4=+x k 为函数()=y f x 的对称轴方程. 当1=-k 时，π4=-x .9．由题意得2log <a x x 在10,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦x 上恒成立，故在10,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦x 上2=log =a y x y x的图象在的下方，由图象知0<<1a . 当=log a y x 的图象过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭时，1=16a ，故1,116⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a 时满足题意.10．()||0==f x x，即||=x ，函数()f x没有零点，则=y 的图象与||=y x 的图象没有交点. 如图2，22(0)=+=y x y a y ≥，它表示以(0,0)||=y x的图象是端点为(0,的一条折线，当上半圆与||=y x 相切时，1=a ；当上半圆经过点(0,2=∴=a ；若两图象没有交点，则01>2<<a a 或.11．①由于点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线23+1=0-x y 的两侧，则23+10-<a b ；②0≠a 时，00-=-bb aa 可看作点(,)P ab 与原点的斜率，由图可知无最值；③011-=--bb a a 可看作点(,)P a b 与点(1,0)的斜率，由图可知1-ba ∈12,,+33⎛⎫⎛⎫-∞-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；④可看作点(,)P a b 与原点的距离，而原点到直线的距离为13=，故存在正实数13=MM .12．设00(,)M x y ，则100200(,),(,)=---=--M F c x y M F c x y ，图22222222222222220120000022211.⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+=-+-=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ x b c M F M F x c y x c b x c b x c b a a a0[,]∈- x a a ，∴当0=±x a 时，12⋅M F M F 有最大值2b ，2222,∴c b c ≤≤ 22222222,23,∴-∴c a c c c a c ≤≤≤≤2211,32∴ca ≤≤32∴∈⎣⎦e .第Ⅱ卷（非选择题，共90分）【解析】13．i 从1开始，依次取3，5，7，9．故输出27317=⨯+=S . 14．如图3所示，圆的方程可化为22(2)1,-+=x y抛物线的焦点(2,0)F ，准线 2.=-x由228=-⎧⎨=⎩y x y x ，，得21240-+=x x ，设直线与抛物线交于(,),(,)A A D D A x y D x y ， 则12+=A D x x .()()(1)(1)2+=-+-=-+-=+-AB CD AF BF DF CF AF DF AF DF ，由抛物线的定义得2,2=+=+A D AF x DF x ， 故()2214+=+-=++=A D AB CD AF DF x x .15．,01,()2,12,<⎧==⎨-⎩x x y f x x x ≤≤≤ 22,01,()2,12,⎧<⎪∴==⎨-⎪⎩x x y xf x x x x ≤≤≤图33312122220101d (2)d 133⎛⎫∴=+-=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰xx S x x x x x x .16．1231531311121,(),(),()1213+==∴======++ n n a a f a a f a a f a a a .20102012= a a，20122010201020101,12∴==∴=+a a a a ，2010200820062004220081====1222∴==∴=+ a a a a a a 同理：，12345612132326∴+++++=+++=a a a a a a .[来源:学*科*网]三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）311π3ππ,π41264=-=∴= T T ，2π2∴==Tω.图象过点π,6⎛⎫ ⎪⎝⎭A ，ππππ22π,0,6226∴⨯+=+<<∴= k ϕϕϕ，π()sin 26⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭f x A x .又图象过点(0,1)，πsin1,26∴=∴=A A ，π()2sin 26⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭f x x .……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）πππ()2sin 22sin 2463⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x x x . 由πππ2π22π232--+k x k ≤≤得π5πππ1212-+k x k ≤≤，∴()=y g x 的单调递增区间是π5ππ,π1212⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k . ………………………………（12分）18．（本小题满分12分）如图4，（Ⅰ）证明：取'A B 的中点G ，连接FG ，EG ，F 、G 分别是'A C 、'A B 的中点，12∴FGBC，又12D EBC，∴FG DE，∴四边形DEGF 为平行四边形， ∴//D F E G，又''⊄⊂D F A BE EG A BE 平面，平面，∴DF //'A B E平面. ……………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：取BE 的中点H ，连接,'A H H C ，则'⊥A H BE ，='''⊥∴⊥ A BE BCDE A BE BCDE BE A H BCDE平面平面，平面平面，平面，''∴∠A CH A C BCDE 为与平面所成角，在△BCH中，由余弦定理得22252222222⎛=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭C H，2'=A H 又，tan =5''∴∠=A H A C H C H. ……………………………………………………………（8分）（Ⅲ）解：过点D 作⊥DM BE 于点M ，易证'⊥D M A B E 平面，在R t △DME中，sin 452=⋅︒=D M D EDF //'A B E 平面，∴F 到平面'A BE 的距离即为D 到平面'A BE 的距离，111132212''--∴==⨯⨯⨯⨯=F A BE D A BE V V . ……………………………………（12分）另解：''---=-F A BE A BEC F BEC V V V .（其他解法酌情给分） 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）茎叶图表示为图5.甲地树苗高度平均数=1920212325293233374128(cm )10+++++++++=，乙地树苗高度平均数=1026303034374446464735(cm )10+++++++++=，图4图5甲地树苗高度中位数=252927(cm )2+=，乙地树苗高度中位数=343735.5(cm )2+=， ………………………………………（4分）（Ⅱ） 都来自乙地的概率为：2527C 10C21=，∴至少有一株来自甲地的概率为：11021-=1121. ………………………………………（8分）（Ⅲ）Z 的可能取值为0，5，10，15，20，设Z=5y ，则1~4,2⎛⎫ ⎪⎝⎭Y B ，(0)=P Z =4411C 216⎛⎫= ⎪⎝⎭，(5)=P Z =41411C 24⎛⎫=⎪⎝⎭，(10)=P Z =42413C 28⎛⎫= ⎪⎝⎭，(15)=P Z =43411C 24⎛⎫=⎪⎝⎭，(20)=P Z =44411C 216⎛⎫=⎪⎝⎭，Z∴()E Z =5()E y=10.故该市绿化部门此次采购所需资金总额Z 的数学期望为10万元. …………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）22-=-∴=p p∴抛物线22(0)=>y px p 的焦点为02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 2∴=a ，又双曲线的一条渐近线过点12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1∴=∴=b b a .。