2018高考数学解题技巧-极坐标与参数方程
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2018高考数学解题技巧
解答题模板3:极坐标与参数方程
1、 题型与考点(1){极坐标与普通方程的互相转化
极坐标与直角坐标的互相转化
(2)
{参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3)
{利用参数方程求值域参数方程的几何意义
2、【知识汇编】 参数方程:直线参数方程:00cos ()sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数 00(,)x y 为直线上的定点, t 为直线上任一点(,)x y 到定
点00(,)x y 的数量;
圆锥曲线参数方程:圆的参数方程:cos ()sin x a r y b r θθθ
=+⎧⎨=+⎩为参数(a,b)为圆心,r 为半径; 椭圆22
221x
y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ
=⎧⎨=⎩为参数; 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ
=⎧⎨=⎩为参数; 抛物线22y px =的参数方程是2
2()2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数 极坐标与直角坐标互化公式:
若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,点P 的极坐标为(,)ρθ,直角坐标为(,)x y ,
则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。
解题方法及步骤
(1)、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数t ,先确定一个关系()x f t =(或()y g t =,再代入普通方程(),0F x y =,求得另一关系()y g t =(或()x f t =).一般地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标)
例1、方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=--t t t t y x 2
222(t 为参数)表示的曲线是( ) A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
解析:注意到2t t 与2t
-互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t 的项,4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ,即有422=+y x ,又注意到 02>t ,222222=⋅≥+--t t t t ,即2≥y ,可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ,显然它表示焦点在y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选B.
(2)、极坐标与直角坐标的互化
利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,这二者互化的前提条件是(1)极点与原点重合;(2)极轴与x 轴正方向重合;(3)取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为),(y x ,它的极坐标为),(θρ,则⎩⎨⎧==θ
ρθρsin cos y x 或
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=x y y x θρtan 2
22;若把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.
例2、极坐标方程52
sin 42=⋅θρ表示的曲线是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
分析:这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断. 解析:由21cos 4sin 422cos 522
θ
θρρρρθ-⋅=⋅=-=
,化为直角坐标系方程为25x =,化简得22554
y x =+.显然该方程表示抛物线,故选D. (3)、参数方程与直角坐标方程互化
例3:已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ
θsin 10cos 102y x (θ为参数),曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=. (1)将曲线1C 的参数方程化为普通方程,将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)曲线1C ,2C 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.
解:(1)由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ
θsin 10cos 102y x 得10)2(22=++y x ,
∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x ,
∵θθρsin 6cos 2+=,θρθρρsin 6cos 22+=∴,
∵222y x +=ρ,θρcos =x ,θρsin =y ,
∴y x y x 6222+=+,即10)2(22=++y x ,
∴曲线2C 的直角坐标方程为10)2(2
2=++y x ; (2)∵圆1C 的圆心为)0,2(-,圆2C 的圆心为)3,1(, ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=
C ∴两圆相交,设相交弦长为d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段21C C
∴222)10()223()2(=+d
, ∴22=d ,∴公共弦长为22 (4)利用参数方程求值域
D
A F
E O B C 例题4、在曲线1C :⎩⎨⎧=+=)y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点,使它到直线2C
:12(112
x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.
解:直线2C 化成普通方程是122--+y x ,设所求的点为()θθsin ,cos 1+P , 则C 到直线2C 的距离2|
122sin cos 1|-+++=θθd |2)4sin(|++=π
θ, 当234ππ
θ=+时,即45πθ=时,d 取最小值1 ,此时,点P 的坐标是)2
2,221(--. 5)直线参数方程中的参数的几何意义
例5、已知直线l 经过点)1,1(P ,倾斜角6πα=
,
①写出直线l 的参数方程;
②设l 与圆42
2=+y x 相交与两点,A B ,求点P 到,A B 两点的距离之积. 解 (1)直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
,即1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩. (2
)把直线1112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ,
得2221(1)(1)4,1)202
t t t ++=+-=,122t t =-, 则点P 到,A B 两点的距离之积为2.