2015-2016学年下学期高二二段数学文试卷

2015-2016学年江西省南昌二中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，1，2，4}，B＝{y|y＝log2|x|﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，1}B．{﹣1，1，2}C．{﹣1，1}D．{﹣2，﹣1} 2．（5分）设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cos x＝cos y，则x＝y，则下列判断正确的是（）A．p∧q为真B．p∨q为假C．￢p为真D．￢q为真3．（5分）某空间几何体的正视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．（+）D．（﹣）4．（5分）某中学为研究某位学生物理成绩与数学成绩的相关性，抽取该同学高二的5次月考数学成绩和相应的物理成绩如下表：由这些样本数据算得变量x与y满足线性回归方程＝0.47x+17.36，但由于某种原因该表中一次数学成绩被污损，则根据回归方程和表中数据可得污损的数学成绩为（）A．120B．122.64C．125D．1275．（5分）“a＝dx”是“函数y＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图是某算法的程序框图，若实数x∈（﹣1，4），则输出的数值不小于30的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则（）A．α+β＜90°B．α+β≤90°C．α+β＞90°D．α+β≥90°8．（5分）自圆C：（x﹣3）2+（y+4）2＝4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则|PQ|的最小值为（）A．B．3C．4D．9．（5分）某同学有7本工具书，其中语文2本、英语2本、数学3本，现在他把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书任意两本不相邻，则不同的排法种数为（）A．12B．24C．48D．72010．（5分）一个盒子中放有大小相同的6个小球，其中白球4个，红球2个．任取两次，每次取一个球，每次取后不放回，已知第一次取到的是白球，则第二次也取到的是白球的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，P A⊥底面ABCD，AB＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为同一球面上，则P A＝（）A．3B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）＝e x sin x，其中x∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数，当x∈[0，]时，函数y＝f（x）的图象不在直线y＝kx的下方，则实数k的取值范围（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，e）D．（﹣∞，e]二、填空题13．（5分）（x+﹣2）7的展开式中，不含y的各项系数之和为．14．（5分）已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．15．（5分）已知过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F2的直线交双曲线于A，B两点，连结AF1，BF1，若|AB|＝|BF1|，且∠ABF1＝90°，则双曲线的离心率为．16．（5分）下列关于空间向量的命题中，正确的有．①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；②若非零向量，，满足⊥，⊥则有∥；③若，，是空间的一组基底，且＝++，则A，B，C，D四点共面；④若向量+，+，+，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．三、解答题17．（10分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m＝0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．18．（12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣﹣﹣7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．附表及公式k2＝．19．（12分）如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，且点B在平面ACE上的射影F恰好落在边CE上．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）当二面角B﹣AC﹣E的余弦值为时，求∠BAE的大小．20．（12分）为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如茎叶图所示：根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率，A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．（1）求直线OP的方程；（2）求的值；（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．22．（12分）已知f（x）＝alnx+x+1+（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）已知h（x）＝+a，若x1，x2是f（x）的两个极值点，且∃m∈（0，2]，f（x1）+f（x2）＞h（m），求实数a的取值范围．2015-2016学年江西省南昌二中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，1，2，4}，B＝{y|y＝log2|x|﹣1，x∈A}＝{0，﹣1，1}，则A∩B＝{﹣1，1}，故选：C．2．【解答】解：菱形的四边形的边长相等，但不一定是正方形，故命题p是真命题，当x＝﹣y时，满足cos x＝cos y，但x＝y不成立，即命题q是假命题，故￢q为真，其余都为假命题，故选：D．3．【解答】解：由空间几何体的正视图、俯视图可知：该几何体为正六棱锥，∴该几何体的表面积S＝+6××＝+．故选：C．4．【解答】解：由＝×（60+65+70+75+80）＝70，线性回归方程＝0.47x+17.36，过样本中心点（，），＝＝＝112，＝×（90+100+115+t+130）＝112，解得：t＝125，故选：C．5．【解答】解：利用微积分的几何意义知，a＝dx表示的是单位圆的面积的，因此a＝．函数y＝cos2ax﹣sin2ax＝cos2ax，其周期T＝＝＝4，解得a＝．∴“a＝dx”是“函数y＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为4”的充分非必要条件．故选：A．6．【解答】解：设实数x∈（﹣1，4），经过第一次循环得到x＝2x+2，n＝3，经过第二循环得到x＝2（2x+2）+2，n＝5，经过第三循环得到x＝2[2（2x+2）+2]+2，n＝7，此时输出x，输出的值为8x+14，令8x+14≥30，得x≥2，由几何概型得到输出的x不小于30的概率为P＝＝．故选：B．7．【解答】解：①若此直线与两个平面都相交，则：设线段AB夹在直二面角α﹣l﹣β内，A∈α，B∈β，且设AB与平面α、β所成的角分别为α和β，过A在α内做AC垂直于l于C点，过B在β内做BD垂直于l于D点．在β内做BE平行l，在β内做CE平行BD，交点为E，连接AE，AD，BC则∠DAB＝α，∠ABC＝β，sin∠ABC＝，sin∠ABD＝∵AD＞AC，∴∠ABC＜∠ABD，∵∠ABD+∠DAB＝90°，∴α+β＜90°②当AB与l平行时：α+β＝0°③当AB与l垂直时：α+β＝90°综上所述：0°≤α+β≤90°，故选：B．8．【解答】解：由题意得，圆心C（3，﹣4），半径r＝2，如图：因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2+r2＝|PC|2，所以x2+y2+4＝（x﹣3）2+（y+4）2，即6x+8y﹣21＝0，所以点P在直线6x+8y﹣21＝0上，要使|PQ|最小，只要|PO|最小即可，当直线PO垂直于直线6x+8y﹣21＝0时，|PQ|最小，此时|PQ|最小值是＝，故选：D．9．【解答】解：由题意，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、运用捆绑法，3本数学书任意两本不相邻，运用插空法，可得A22A33A22A22＝48．故选：C．10．【解答】解：设已知第一次取出的是白球为事件A，第二次也取到白球为事件B．则由题意知，P（A）＝＝，P（AB）＝＝，所以已知第一次取出的是白球，则第二次也取到白球的概率为P（B|A）＝＝．故选：A．11．【解答】解：连结AC，BD交于点E，取PC的中点O，连结OE，则OE∥P A，所以OE ⊥底面ABCD，则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O球心，均为，所以由球的体积可得，解得，故选：B．12．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣kx＝e x sin x﹣kx，由于x∈[0，]时，函数y＝f（x）的图象不在直线y＝kx的下方故要使f（x）≥kx总成立，只需x∈[0，]时g（x）min≥0，对g（x）求导，可得g'（x）＝e x（sin x+cos x）﹣k，令h（x）＝e x（sin x+cos x），则h'（x）＝2e x cos x＞0，（x∈[0，]）所以h（x）在[0，]上为增函数，所以h（x）∈[1，]；对k分类讨论：①当k≤1时，g'（x）≥0恒成立，所以g（x）在[0，]上为增函数，所以g（x）min＝g（0）＝0，即g（x）≥0恒成立；②当1＜k＜时，g'（x）＝0在上有实根x0，因为h（x）在[0，]上为增函数，所以当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，所以g（x0）＜g（0）＝0，不符合题意；③当k≥时，g'（x）≤0恒成立，所以g（x）在[0，]上为减函数，则g（x）＜g（0）＝0，不符合题意．综上，可得实数k的取值范围是（﹣∞，1]，故选：B．二、填空题13．【解答】解：在（x+﹣2）7的展开式中，不含y的各项系数之和，即（x﹣2）7的各项系数和，令x＝1，可得（x﹣2）7的各项系数和为（1﹣2）7＝﹣1，故答案为：﹣1．14．【解答】解：由﹣4＜x﹣a＜4得到a﹣4＜x＜a+4，由（x﹣2）（3﹣x）＞0，解得2＜x＜3，即q：2＜x＜3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即，解得﹣1≤a≤6，故答案为：[﹣1，6]．15．【解答】解：设|BF1|＝n，由|AB|＝|BF1|，且∠ABF1＝90°，可得|AB|＝n，|AF1|＝n，由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，即有|BF2|＝n﹣2a，又|AF1|﹣|AF2|＝2a，可得|AF2|＝n﹣2a，由|AB|＝（+1）n﹣4a＝n，解得n＝2a，在△F1F2B中，由|BF1|2+|BF2|2＝|F1F2|2，即为（2a）2+（2﹣2）2a2＝4c2，化为c2＝（5﹣2）a2，可得e＝＝，故答案为：，16．【解答】解：①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，则∥；故①正确；②若非零向量，，满足⊥，⊥，则与不确定；故②错误；③若，，是空间的一组基底，则A，B，C三点不共线，且＝++，由空间向量基本定理得到A，B，C，D四点共面；故③正确；④若向量+，+，+，是空间一组基底，则空间任何一个向量，存在唯一的实数组（x，y，z），＝，则，，也是空间的一组基底；故④正确；故答案为：①③④．三、解答题17．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m＝0可得m＝x2﹣x＝∵﹣1＜x＜1∴M＝{m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N＝{x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N＝{x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a＝2﹣a即a＝1时，N＝φ，此时不满足条件综上可得18．【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值K2＝＝≈5.024，∴根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，则基本事件满足的区域为，（如图所示），设事件A为“乙比甲先做完此道题”，乙比甲先解答完的事件为A，则满足的区域为x＞y，∴由几何概型P（A）＝＝，∴乙比甲先解答完的概率P＝．19．【解答】证明：（1）∵点B在平面ACE上的射影F恰好落在边CE上，∴BF⊥平面ACE ∵AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE，∵平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE．解：（2）以A为原点，垂直于平面ABCD的直线AG为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（0，2，2），设E（a，b，0），则＝（a，b，0），＝（0，2，2），设平面AEC的一个法向量＝（x，y，z），则，取y＝a，得＝（﹣b，a，﹣a），又平面ABC的一个法向量＝（1，0，0），∵二面角B﹣AC﹣E的余弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，解得a2＝b2，①又∵AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，∵AE⊥BE，∴＝a2+b（b﹣2）＝0，②联立①②，得b＝0，（舍，b＝1，∴a2＝b2＝1，∴AE＝BE＝2，∴．20．【解答】解：（I）由茎叶图可知，抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为，由题意可知，从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为，设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，则P（A）＝1﹣＝，∴至少有1人成绩是“优良”的概率为．（6分）（Ⅱ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝．所以ξ的分布列为：所以ξ的期望E（ξ）＝＝．（12分）21．【解答】解：（1）连结A2P，则A2P⊥A1P，且A2P＝a，又A1A2＝2a，所以∠A1A2P＝60°．又A2P＝A2O，所以△OP A2为正三角形，所以∠POA2＝60°，所以直线OP的方程为．（2）由（1）知，直线A2P的方程为①，A1P的方程为②，联立①②解得．因为，即，所以，，故椭圆E的方程为．由解得，所以＝＝．（3）不妨设OM的方程为y＝kx（k＞0），联立方程组解得，所以；用代替上面的k，得．同理可得，，．所以．因为，当且仅当k＝1时等号成立，所以S1•S2的最大值为．22．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝，（1分）当a≥﹣1时，﹣（a+1）≤0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；当﹣2＜a＜﹣1时，0＜﹣（a+1）＜1，当0＜x＜﹣（a+1）或x＞1时，f'（x）＞0，当﹣（a+1）＜x＜1时，f'（x）＜0，∴f（x）的增区间为（0，﹣（a+1）），（1，+∞），减区间为（﹣（a+1），1）；当a＝﹣2时，f'（x）≥0，则f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＜﹣2时，﹣（a+1）＞1，当1＜x＜﹣（a+1）时，f'（x）＜0，当0＜x＜1或x＞﹣（x+1）时，h'（x）＞0，∴f（x）的减区间为（1，﹣（a+1）），增区间为（0，1），（﹣（a+1），+∞）．（5分）综上所述，当a＜﹣2时，f（x）的减区间为（1，﹣（a+1）），增区间为（0，1），（﹣（a+1），+∞）；当a＝﹣2时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当﹣2＜a＜﹣1时，f（x）的增区间为（0，﹣（a+1）），（1，+∞），减区间为（﹣（a+1），1）；当a≥﹣1时，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（6分）（Ⅱ）由题知，，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当1＜x＜2时，h'（x）＞0，故h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，故h（x）min＝h（1）＝a+2，由题知f（x1）+f（x2）＞a+2，（8分）由（Ⅰ）知，要使f（x）有两个极值点，即f'（x）＝0在（0，+∞）上有两解，则a＜﹣1且a≠﹣2；当a＜﹣2时，f（x）的减区间为（1，﹣（a+1）），增区间为（0，1），（﹣（a+1），+∞），故f（x）在x＝1处取极大值f（1）＝a+3，在x＝﹣（a+1）处取极小值f[﹣（a+1）]＝aln[﹣（a+1）]﹣a﹣1；当﹣2＜a＜﹣1时，f（x）的增区间为（0，﹣（a+1）），（1，+∞），减区间为（﹣（a+1），1），故f（x）在x＝1处取极小值f（1）＝a+3，在x＝﹣（a+1）取极大值f[﹣（a+1）]＝aln[﹣（a+1）]﹣a﹣1．由题知，f（1）+f[（﹣（a+1）]＝a+3+aln[﹣（a+1）]﹣a﹣1＞a+2，（11分）∴aln[﹣（a+1）]﹣a＞0，即ln[﹣（a+1）]＜1＝lne，∴0＜﹣（a+1）＜e，解得﹣1﹣e＜a＜﹣1且a≠﹣2，综上所述，实数a的取值范围为（﹣1﹣e，﹣2）∪（﹣2，﹣1）．（12分）。

10． （5 分）四名高二学生报名参加数学、物理、化学三门学科竞赛，要求每名学生都参加 且只参加 1 门学科竞赛，则 3 门学科都有学生参赛的种数有 11． （文科学生做）设函数 f（x）＝mx +xsinx（m≠0） ，若 f（ ＝ ．
2 4 2 3
种． ）＝﹣ ，则 f（﹣ ）
12． （5 分） （理科学生做）在（x ﹣3x+2） 的展开式中，x 项的系数为 答） 13． （文科学生做）将函数 f（x）＝2sin（2x﹣ 得图象关于直线 x＝
值；若不是．请说明理由．
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25． （16 分）设函数 f（x）＝mlnx（m∈R） ，g（x）＝ （1）当 m＝1 时，求 y＝f（x）在 x＝1 处的切线方程；
．
（2）设 F（x）＝f（x）﹣2g（x） ，若函数 F（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣1，求实数 m 的值； （3）当 m＝ 时，若不等式 f（x）+t≤kx+b≤g（x）对∀x∈[2，4]恒成立，试给出实数 t
2
）与 0 的大小关系；
（2）猜想 f（x）的正负，并证明． 23． （16 分）如图，已知四边形 ABCD 是一块边长为 2 千米的正方形地皮，其中曲边三角形 ADE 是一个小池塘，点 E 在边 CD 上且 DE＝1 千米．假设曲边 AE 可用以 A 为顶点，AD 为对称轴的抛物线拟合，现绿化部门拟过曲边 AE 上一点 P 作切线交边 AB 于点 M，交 CD 于点 N，在四边形 MBCN 内栽种花草． （1）建立适当的坐标系，用点 P 的横坐标 t 表示花草的面积 S（t） ，并写出定义域； （2）求 S（t）的最大值．
（用数字作
）的图象向右平移 m（m＞0）个单位，所 ．

2015-2016学年四川省成都七中高二（下）入学数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β2．（5分）若直线l1：ax+2y+a+3＝0与l2：：x+（a+1）y+4＝0平行，则实数a的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣1或23．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，则下列结论中不正确的是（）A．BD⊥A1C1B．AC1∥平面BDEC．平面BDE∥平面AB1D1D．平面A1BD⊥平面BDE4．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．6．（5分）如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1＝0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝1B．（x﹣2）2+（y+2）2＝1C．（x+2）2+（y+2）2＝1D．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18．（5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．9．（5分）如图，矩形ABCD中AB＝2，BC＝，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角A﹣MN﹣B的大小为，则折起后cos ∠DOB为（）A．B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D 为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个12．（5分）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积是（）A．B．1C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校．14．（5分）若x，y满足约束条件则z＝3x﹣y的最小值为．15．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2；则此棱锥的体积为．16．（5分）已知点A、B、C在单位圆x2+y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，要求过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．（1）证明BC1∥平面A1CD（2）设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三菱锥C﹣A1DE的体积．18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19．（12分）学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），所得数据整理后，列出了如下频率分布表．（Ⅰ）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C的值；（Ⅱ）补全频率分布直方图，并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数；（Ⅲ）现从分数在[80，90），[90，100]的9名同学中随机抽取两名同学，求被抽取的两名学生分数均不低于90分的概率．20．（12分）已知直线l：3x+4y﹣12＝0与x轴、y轴分别相交于A、B．（1）求过点P（1，2）且在x轴、y轴上截距均相等的直线的方程；（2）求与直线l、x轴、y轴都相切的圆的方程．21．（12分）如图，AB是圆的直径，P A垂直圆所在的平面，C是圆上异于A、B的点．P A＝AB，∠BAC＝60°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面P AC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PBC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．22．（12分）长为2线段EF的两上端点E、F分别在坐标轴x轴、y轴上滑动，设线段中点为M，线段EF在滑动过程中，点M形成轨迹为C．（1）求C的方程；（2）过点P（0，1）直线l与轨迹C交于A、B两点．①写出的取值范围，可简要说明理由；②坐标平面内是否存在异于点P的定点Q，当l转动时，总有恒成立？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省成都七中高二（下）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β＝A，所以D不正确；故选：C．2．【解答】解：∵直线l1：ax+2y+a+3＝0，l2：x+（a+1）y+4＝0，l1∥l2，∴＝≠，解得a＝1或a＝﹣2．∵当a＝1时，两直线重合，∴a≠1．∴a＝﹣2．故选：B．3．【解答】解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，知：在A中：∵BD⊥AC，AC∥A1C1，∴BD⊥A1C1，故A正确；在B中：连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵E为CC1中点，∴OE∥AC1，∵AC1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AC1∥平面BDE，故B正确；在C中：∵AB1∥BC1，BC1∩BE＝B，AD1∥DC1，DC1∩DE＝D，AB1、AD1⊂平面AB1D1，BC1、DC1⊂平面BDE，∴平面BDE与平面AB1D1相交，故C错误；在D中：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，连结A 1D、A1B、A1O、A1E，则，OA1＝＝，＝，OE＝＝，A1E＝＝3，∴∠A1OE是二面角A1﹣BD﹣E的平面角，∵＝6+3＝9＝，∴∠A1OE＝90°，∴平面A1BD⊥平面BDE，故D正确．故选：C．4．【解答】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°∴扇形ADE的面积为S1＝×π×12＝同理可得，扇形CBF的在，面积S2＝又∵长方形ABCD的面积S＝2×1＝2∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P＝＝＝1﹣故选：A．5．【解答】解：设直线方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选：C．6．【解答】解：经过第一次循环得到S＝，满足进入循环的条件，k＝2，经过第二次循环得到S＝+＝，满足进入循环的条件，k＝3，经过第三次循环得到S＝+＝，满足进入循环的条件，k＝4，经过第四次循环得到S＝+＝，满足进入循环的条件，k＝5，经过第五次循环得到S＝+＝，不满足进入循环的条件，执行输出，故输出结果为：，故选：D．7．【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标（﹣1，1），关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆心坐标为（2，﹣2）所求的圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2＝1故选：B．8．【解答】解：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有C62＝15种不同的取法，6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3＝6种；则两球颜色为一白一黑的概率P＝＝；故选：B．9．【解答】解∵矩形ABCD中AB＝2，BC＝，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN 交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角A﹣MN﹣B的大小为，∴BO＝DO＝＝，如图，以N为原点，NM为x轴，NC为y轴，过N垂直于平面NMBC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（，1，0），D（0，），|BD|＝＝，∴cos∠DOB＝＝＝，∴折起后cos∠DOB＝．故选：C．10．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|＝，|A1D|＝，|A1B|＝，由余弦定理，得cosθ＝＝．故选：D．11．【解答】解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D﹣ABC，①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：D．12．【解答】解：∵a≥0，b≥0t＝ax+by最大值在区域的右上取得，即一定在点（0，1）或（1，0）取得，故有by≤1恒成立或ax≤1恒成立，∴0≤b≤1或0≤a≤1，∴以a，b为坐标点P（a，b）所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：某城地区有学校150+75+25＝250所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，每个个体被抽到的概率是＝，∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所．∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×150＝18所，选取中学×75＝9所．故答案为：18，9．14．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z＝3x﹣y可得y＝3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z＝0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z＝3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z＝﹣1故答案为：﹣115．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵，∴＝，∴高SD＝2OO1＝，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴，∴V三棱锥S﹣ABC＝＝．故答案为．16．【解答】解：由题意，AC为直径，所＝|2|．当P，B，O共线时，其中B为（﹣1，0）时，|2|≤7．当B（1，0）时，＝|2|≥5．所以|的取值范围为[5，7]三、解答题：本大题共6小题，共70分，要求过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF．因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1．由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A 1E＝3，故A1D2+DE2＝A1E2，即DE⊥A1D．所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：＝＝1．18．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x ﹣2y﹣5＝0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC＝＝∴直线BC的方程为y﹣3＝（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9＝0．19．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）（Ⅱ）众数为最高的小矩形区间中点65，中位数为；（Ⅲ）设Ω＝{从分数在[80，100]的10名同学中随机抽取两名同学}，．A＝{两名学生分数均不低于9（0分）}，n（A）＝1，根据古典概型计算公式，．20．【解答】解：（1）设直线在x轴为a，y轴截距为b．①当a＝b＝0时，直线过点（1，2）和（0，0），其方程为＝2，即3x﹣2y＝0．②当a＝b≠0时，直线方程为+＝1，把点（1，2）代入，得+＝1，解得a＝3，则该直线方程为x+y＝3．（2）解：由题意A（4，0），B（0，3），设圆的半径为r，则由等面积可得×（3+4+5）r＝×3×4，∴r＝1，∴圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．21．【解答】证明：（1）∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC．解：（2）过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面P AC，BC⊂面PBC，∴面PBC⊥面P AC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ADH为AD与面PBC所成角，依题意，设P A＝AB＝2，则AD＝PB＝，AC＝1，在Rt△P AC中，P A＝2，AC＝1，则AH＝＝，在Rt△AHD中，AD＝，AH＝，∴sin＝，∴AD与平面PBC所成的角的正弦值为．（3）∵DE∥BC，又由（1）知BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC，又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角，∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∩P AC＝90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，此时∠AEP＝90°，∴存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．22．【解答】解：（1）长为2线段EF的两上端点E、F分别在坐标轴x轴、y轴上滑动，设线段中点为M（x，y），可得|OM|＝．线段EF在滑动过程中，点M形成轨迹为C：x2+y2＝2；（2）①设直线l与轨迹C交于A、B两点，当直线的斜率不存在时，|AP|的最小值为：1，最大值为：，|PB|的最小值为：1，最大值为：，可知∈[，]，即：∈[3﹣2，3+2]．②当直线的斜率存在时设为k，过点P（0，1）直线l：y＝kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），由消去y并整理得：（1+k2）x2+2kx﹣1＝0，∵△＝（4k）2+4（1+2k2）＞0，∴x1+x2＝，x1x2＝，由|QA|•|PB|＝|QB|•|P A|可得，知QP为∠AQP的角平分线，由对称性易知，点Q必在y轴上，设Q（0，m），于是有K QA+K QB＝0，∴+＝0，即（y1﹣m）x2+（y2﹣m）x1＝0，且y1＝kx1+1，y2＝kx2+1，∴（kx1+1﹣m）x2+（kx2+1﹣m）x1＝0，∴2kx1x2+（1﹣m）（x1+x2）＝0，∴2k•+（1﹣m）＝0，∴[﹣1﹣（1﹣m）]＝0，对任意k∈R恒成立，则﹣1﹣（1﹣m）＝0，解得m＝2，特别的，当直线l的斜率不存在时，此时A（0，），B（0，﹣），Q（0.2），P（0，1）＝＝，＝，综上，平面上存在定点Q（0，2）时，当l转动时，总有恒成立。

2015-2016学年某某省枣庄八中南校区高二（下）2月质检数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，50分）1．若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0 C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x∈R，2x2﹣1＞0 2．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4）D．（0，2）3．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．74．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．5．为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是（）A．10 m B．10 m C．10 m D．10 m6．公差不为0的等差数列{a n}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于（）A．2 B．3 C．D．7．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（）A．a＞b⇒am2＞bm2B．C．D．8．若双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．9．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b二、填空题（本大题共5小题，25分）11．已知双曲线（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b=．12．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为．13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．14．数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣3（n∈N*），则a5=．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．三、解答题（本大题共6小题，75分）16．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P ∨Q为真命题，P∧Q为假命题，某某数a的取值X围．17．△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．18．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？19．已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2S n=3a n ﹣3．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的通项公式是b n=，前n项和为T n，求证：对于任意的n∈N*总有T n＜1．20．设函数f（x）=x2﹣lnx，其中a为大于0的常数（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值X围．21．已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求λ1+λ2的值．2015-2016学年某某省枣庄八中南校区高二（下）2月质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，50分）1．若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0 C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x∈R，2x2﹣1＞0 【考点】命题的否定．【分析】根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定；【解答】解：命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则其否命题为：∃x∈R，2x2﹣1≤0，故选C；2．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4）D．（0，2）【考点】抛物线的简单性质．【分析】把抛物线的方程化为标准形式，即可得出结论．【解答】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．3．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．7【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+y，则y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，2），此时z=2×2+2=6，故选：C．4．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：B．5．为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是（）A．10 m B．10 m C．10 m D．10 m【考点】解三角形的实际应用．【分析】现在△BCD中使用正弦定理解出BC，再利用锐角三角函数定义解出AB．【解答】解：由题意可得∠BCD=90°+15°=105°，CD=10，∠BDC=45°，∴∠CBD=30°．在△BCD中，由正弦定理得，即，解得BC=10．∵∠ACB=60°，AB⊥BC，∴AB=BCtan∠ACB==10．故选：D．6．公差不为0的等差数列{a n}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于（）A．2 B．3 C．D．【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），可得，故，进而可得a2，a3，代入可得比值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题意可得，解得，故a2=a1+d=，a3=a1+2d=，故公比等于==3，故选B7．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（）A．a＞b⇒am2＞bm2B．C．D．【考点】不等关系与不等式．【分析】根据不等式两边同乘以0、负数判断出A、B不对，再由不等式两边同乘以正数不等号方向不变判断C对、D不对．【解答】解：A、当m=0时，有am2=bm2，故A不对；B、当c＜0时，有a＜b，故B不对；C、∵a3＞b3，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）3的倒数，得到，故C正确；D、∵a2＞b2，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）2的倒数，得到，故D不对．故选C．8．若双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设知，因此，所以，由此可求出其渐近线方程．【解答】解：对于双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b，而，因此，∴，因此其渐近线方程为．故选C．9．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：A．10．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，25分）11．已知双曲线（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b= 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程是解决本题的关键，根据已知给出的一条渐近线方程对比求出b的值．【解答】解：该双曲线的渐近线方程为，即y=±bx，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，又b＞0，可以得出b=2．故答案为：2．12．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（﹣4，11）．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得，f′（1）=0，f（1）=10．，解之即可求出a和b的值．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴f′（1）=3﹣2a﹣b=0，f（1）=1﹣a﹣b+a2=10，解得，a=﹣4，b=11，或a=3，b=﹣3，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故答案为：（﹣4，11）13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16 ．【考点】基本不等式．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．14．数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣3（n∈N*），则a5= 48 ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】把a n=s n﹣s n﹣1代入s n=2a n﹣3化简整理得2（s n﹣1+3）=s n+3进而可知数列{s n+3}是等比数列，求得s1+3，根据等比数列的通项公式求得数列{s n+3}的通项公式，进而根据a5=求得答案．【解答】解：∵a n=s n﹣s n﹣1，∴s n=2a n﹣3=2（s n﹣s n﹣1）﹣3整理得2（s n﹣1+3）=s n+3∵s1=2s1﹣3，∴s1=3∴数列{s n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列∴s n+3=6•2n﹣1，∴s n=6•2n﹣1﹣3，∴s5=6•24﹣3∴a5==48故答案为4815．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，75分）16．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P ∨Q为真命题，P∧Q为假命题，某某数a的取值X围．【考点】复合命题的真假．【分析】由ax2+ax+1＞0恒成立可得，可求P的X围；由a2+8a﹣20＜0解不等式可求Q的X围，然后由P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，可知P，Q为一真一假，可求【解答】（本小题满分12分）解：命题P：ax2+ax+1＞0恒成立当a=0时，不等式恒成立，满足题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a≠0时，，解得0＜a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴0≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣命题Q：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵P∨Q为真命题，P∧Q为假命题∴P，Q有且只有一个为真，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图可得﹣10＜a＜0或2≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．【考点】正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，提取sinA，可得sinA与1+2sinB至少有一个为0，又A为三角形的内角，故sinA 不可能为0，进而求出sinB的值，由B的X围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由第一问求出的B的度数求出sinB和cosB的值，再由a的值及S的值，代入三角形的面积公式求出c的值，然后再由cosB的值，以及a与c的值，利用余弦定理即可求出b 的值．【解答】解：（1）由正弦定理得： ===2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：，化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，又A为三角形的内角，得出sinA≠0，∴2cosB+1=0，即cosB=﹣，∵B为三角形的内角，∴；（2）∵a=4，sinB=，S=5，∴S=acsinB=×4c×=5，解得c=5，又cosB=﹣，a=4，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16+25+20=61，解得b=．18．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．（Ⅱ）此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有（平方米），可知，池底长方形宽为米，则（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当，即x=40时取等号，所以x=40时，总造价最低为297600元．答：x=40时，总造价最低为297600元．19．已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2S n=3a n ﹣3．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的通项公式是b n=，前n项和为T n，求证：对于任意的n∈N*总有T n＜1．【考点】数列的应用；数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由已知得，故2（S n﹣S n﹣1）=2a n=3a n﹣3a n﹣1．由此可求出a n=3n（n∈N*）．（Ⅱ），所以T n=b1+b2+…+b n=1﹣．【解答】解：（I）由已知得故2（S n﹣S n﹣1）=2a n=3a n﹣3a n﹣1即a n=3a n﹣1，n≥2故数列a n为等比数列，且q=3又当n=1时，2a1=3a1﹣3，∴a1=3，∴a n=3n，n≥2．而a1=3亦适合上式∴a n=3n（n∈N*）．（Ⅱ）所以T n=b1+b2+…+b n==1﹣．20．设函数f（x）=x2﹣lnx，其中a为大于0的常数（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值X围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）将a=1代入函数f（x）的解析式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，问题转化为求函数f（x）在[1，2]上的最小值f（x）min＞2，通过讨论a的X围，得到函数的单调区间，得到关于函数最小值的解析式，求出a的值即可．【解答】解：（1）当a=1时，，即∵x＞0，令f'（x）=0，得x=1．当x变化时，f'（x），f（x）变化状态如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗故f（x）的单增区间为（1，+∞），单减区间为（0，1），f（x）的极小值为，无极大值；（2）由不等式f（x）＞2恒成立得，即f（x）min＞2易知，∵a＞0，x＞0，∴令f'（x）＞0得；∴令f'（x）＜0得；故f（x）的单减区间为，单增区间为又x∈[1，2]，①当，即a≥4时，x∈[1，2]单减，即舍②当，即1＜a＜4时单减，单增，即lna＜﹣3，∵lna＞0，故舍去．③当，即0＜a≤1时，x∈[1，2]单增，即，适合综上：．21．已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求λ1+λ2的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据抛物线的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点，可得b2=3，又F（1，0），可得c=1，从而可得a2=b2+c2=4，故可求椭圆C的方程；（2）l与y轴交于，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，故△=144（m2+1）＞0，利用韦达定理可得，根据，可得，同理，从而可求λ1+λ2的值．【解答】解：（1）抛物线的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点∴，∴b2=3，又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4．∴椭圆C的方程为．（2）l与y轴交于，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，故△=144（m2+1）＞0．∴，∴．又由，得．∴．同理．∴．。