最新教材人教A版高中数学必修第一册课后习题答案(1)

1.2 空间向量基本定理课后训练巩固提升1.已知a,b,c 是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是( )A.3a,a-b,a+2bB.2b,b-2a,b+2aC.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c解析:对于A,由于3a=2(a-b)+a+2b,故向量3a,a-b,a+2b 共面,不能作为基底,故A 不符;同理可判断B,D 不符;对于C,因为不存在实数m,n,使得a=m·2b+n·(b -c),所以三个向量不共面.故选C. 答案:C2.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,D 是四边形OABC 的对角线的交点,则( ) A.O 'D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+b+cB.O 'D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b-12a-12cC.O 'D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a-b-12cD.O 'D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a-b+12c解析:O 'D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =O 'O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC⃗⃗⃗⃗⃗ =12a-b+12c.答案:D3.已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中,O 1,O 2,O 3分别是AC,AB',AD'的中点,以{AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 1,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 3}为基底,AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 1+y AO 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 3,则x,y,z 的值是( ) A.x=y=z=1 B.x=y=z=12C.x=y=z=√22D.x=y=z=2解析:AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,由空间向量基本定理,得x=y=z=1. 答案:A4.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长都为2,E,F 分别是AB,A 1C 1的中点,则EF 的长是( ) A.2B.√3C.√5D.√7解析:∵EF ⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,<EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°,∴EF ⃗⃗⃗⃗ 2=|EF ⃗⃗⃗⃗ |2=(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1+4+1-1=5.因此|EF ⃗⃗⃗⃗ |=√5,即EF 的长为√5. 答案:C5.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a 与b 的位置关系是 . 解析:∵a·b=-6i 2+8j 2-2k 2=-6+8-2=0.∴a ⊥b. 答案:a ⊥b6.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E,F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心,若EF ⃗⃗⃗⃗ +λA 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(λ∈R),则λ= .解析:如图,连接A 1D,A 1C 1,C 1D,则E 在A 1C 1上,F 在C 1D 上,易知EF12A 1D.所以EF ⃗⃗⃗⃗ =12A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即EF ⃗⃗⃗⃗ −12A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以λ=-12.答案:-127.如图,已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各条棱长度相等,M 是侧棱CC 1的中点,则异面直线AB 1和BM 所成角的大小是 .解析:设棱长为2.∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0-2+2-0=0.∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB 1⊥BM. 答案:90°8.如图,设四面体OABC 的三条棱OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,G 为△ABC 的重心,以{a,b,c}为空间的一个基底表示向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OG⃗⃗⃗⃗⃗ .解:由G 为△ABC 的重心,易知E 为AC 的中点, 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12[(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ )]=12[(a-b)+(c-b)]=12(a+c-2b), OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+23BE⃗⃗⃗⃗⃗ =b+13(a+c-2b)=13(a+b+c).9.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E 分别为AB,BB'的中点.(1)求证:CE ⊥A'D;(2)求CE 与AC'所成角的余弦值.答案：(1)证明:设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则{a,b,c}构成空间的一个基底. 根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.∵CE ⃗⃗⃗⃗ =b+12c,A 'D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-c+12b-12a, ∴CE ⃗⃗⃗⃗ ·A 'D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12c 2+12b 2=0, ∴CE ⃗⃗⃗⃗ ⊥A 'D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴CE ⊥A'D. (2)解:∵AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+c,CE ⃗⃗⃗⃗ =b+12c,∴|AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|a|,|CE ⃗⃗⃗⃗ |=√52|a|,又AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗ =(-a+c)·(b +12c)=12c 2=12|a|2,∴cos<AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗ >=12|a |2√2×√52|a |2=√1010. 故E 与AC'所成角的余弦值为√1010.。

习题课 充分条件与必要条件的综合应用A 级 必备知识基础练1.[探究点一]下列四个条件中,使a>b 成立的充分不必要条件是( )A.a>b-1B.a>b+1C.a 2>b 2D.a>2b 2.[探究点一]已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2,或x≥4},则A∩B=⌀的充要条件是( )A.0≤a≤2B.-2<a<2C.0<a≤2D.0<a<23.[探究点二]已知p:x-a>0,q:x>1,若p 是q 的充分条件,则实数a 的取值范围为( )A.{a|a<1}B.{a|a≤1}C.{a|a>1}D.{a|a≥1}4.[探究点二·山东潍坊高一期中]若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“13<的取值范围是( ) A.{m |-43≤m ≤12}B.{m |-12≤m ≤43}C.{m |m <-12}D.{m |m ≥43}5.[探究点二](多选题)若“-1<x<2”是“-2<x<a”的充分不必要条件,则实数a的值可以是( )A.1B.2C.3D.46.[探究点二]已知“x≥2a-1”是“x≥3”的充分条件,则实数a的取值范围是.7.[探究点一]已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a的取值范围是.8.[探究点二]已知不等式3x+a≥0成立的充要条件为x≥2,求a的值.B级关键能力提升练9.一次函数y=-mn x+1n(n≠0)的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A.m>1,且n<1B.mn<0C.m>0,且n<0D.m<0,且n<010.[青海西宁高一期末]一元二次方程x2+ax+1=0有两个不相等的正实根的充要条件是( )A.a≤-2B.a<-2C.a>2D.a<-2或a>211.[四川眉山高一期中]已知集合A={x|0≤x≤4},B={x|1-a≤x≤1+a},是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的?(1)当横线部分内容为“充要条件”时,若问题中的a存在,求出a的取值范围;若问题中的a不存在,请说明理由.(2)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,这两个条件中任选一个补充在上面问题中的横线部分.若问题中的a存在,求出a的取值范围;若问题中的a不存在,请说明理由.C级学科素养创新练12.(多选题)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则符合p是q的充要条件的电路图是( )答案：1.B 因为a>b+1⇒a-b>1⇒a-b>0⇒a>b,所以a>b+1是a>b 的充分条件.又因为a>b ⇒a-b>0a>b+1,所以a>b+1不是a>b 的必要条件,故a>b+1是a>b 成立的充分不必要条件.2.A 由A∩B=⌀,得{a -2≥-2,a +2≤4,故0≤a≤2. 3.D 已知p:x-a>0,x>a,q:x>1,若p 是q 的充分条件,则{x|x>a}⊆{x|+1, 由题意得“13<<1”成立的充分不必要条件,所以{x |13<x <12}⫋{+1},所以{m -1≤13,m +1≥12,且两个不等式不能同时取等号,解得-12≤m≤43.故选B. 5.BCD 由题意可知“-1<x<2”是“-2<x<a”的充分不必要条件,则{x|-1<x<2}⫋{x|-2<x<a},故a≥2,结合选项,a 的值可取2,3,4.故选BCD.6.{a|a≥2} 由题意得x≥2a -1⇒x≥3,故2a-1≥3,解得a≥2, 故实数a 的取值范围是{a|a≥2}.7.{a|-1≤a≤5} 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q ⊆P.所以{a -4≤1,a +4≥3,解得-1≤a≤5, 即实数a 的取值范围是{a|-1≤a≤5}.8.解3x+a≥0化为x≥-a 3.由题意{x |x ≥-a 3}={x|x≥2},所以-a 3=2,a=-6. 9.B 因为y=-m n x+1n 的图象经过第一、三、四象限,故-m n >0,1n <0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此,观察各选项知其必要不充分条件为mn<0,故选B.10.B ∵一元二次方程x2+ax+1=0有两个不相等的正实根,设两根分别为x1,x2,故{Δ=a2-4>0,x1+x2=-a>0,x1x2=1>0,解得a<-2,故一元二次方程x2+ax+1=0有两个不相等的正实根的充要条件是a<-2.故选B.11.解(1)当横线部分内容为“充要条件”时,则A=B,则1-a=0且1+a=4,方程组无解.∴不存在满足条件的实数a.(2)若选①,则A是B的真子集,则1-a≤0且1+a≥4(两等号不同时取),且1-a<1+a,解得a≥3,∴问题中的a存在,且a的取值集合M={a|a≥3}.若选②,则B是A的真子集,当B=⌀时,1-a>1+a,即a<0,满足B是A的真子集;当B≠⌀时,1-a≤1+a,即a≥0,由B是A的真子集,得1-a≥0且1+a≤4(两等号不同时取),解得0≤a≤1.综上,a≤1.所以问题中的a存在,且a的取值集合M={a|a≤1}.12.BD A中电路图,开关S闭合则灯泡L亮,而灯泡L亮时开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件;B中电路图,开关S闭合则灯泡L 亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故B中p是q的充要条件;C中电路图,开关S闭合时灯泡L不一定亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故C中p是q 的必要不充分条件;D中电路图,开关S闭合则灯泡L亮,灯泡L亮则开关S 一定闭合,故D中p是q的充要条件,故选BD.。

第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算课后训练巩固提升A 组1.在四面体ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a+b-c B.-a-b+c C.-a+b+cD.-a+b-c解析:CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a+c.故选C. 答案:C2.若a 与b 不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( ) A.m,n,p 共线 B.m 与p 共线 C.n 与p 共线 D.m,n,p 共面解析:因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,所以p=12m+12n.又m 与n 不共线,所以m,n,p 共面. 答案:D3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F,G,H,P,Q 分别是A 1A,AB,BC,CC 1,C 1D 1,D 1A 1的中点,则( )A.EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.EF ⃗⃗⃗⃗ −GH ⃗⃗⃗⃗⃗ −PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C.EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ −PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.EF ⃗⃗⃗⃗ −GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 解析:由题图观察,EF ⃗⃗⃗⃗ ,GH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 平移后可以首尾相接,故有EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 答案:A4.(多选题)若向量MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线,O 为空间任意一点,则下列四个式子能得出M,A,B,C 四点共面的是( )A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ B.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:对于A,C 选项,由结论OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (,A,B,C 四点共面知,A 符合,C 不符合;对于B,D 选项,易知MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,又有公共点M,所以M,A,B,C 四点共面,所以B,D 符合.答案:ABD5.已知点A,B,C 不共线,对空间任意一点O,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P,A,B,C 四点 .解析:∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x+y+z=1)⇔P,A,B,C 四点共面, 又34+18+18=1,∴P,A,B,C 四点共面.答案:共面6.已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则实数x= ,y= .解析:因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以x=1,y=14.答案:1 147.已知A,B,P 三点共线,O 为空间任意一点,且与A,B,P 三点不共线,OP⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数β= . 解析:∵A,B,P 三点共线,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{1-λ=13,λ=β,解得β=23.答案:238.已知A,B,C,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,O 是空间任意一点,且点O 不在平面ABCD 内,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2x+3y+4z= . 解析:∵A,B,C,D 四点共面, ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +p OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且m+n+p=1. 由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(-3y)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(-4z)OD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1. ∴2x+3y+4z=-1. 答案:-19.已知四边形ABCD 为正方形,P 是四边形ABCD 所在平面外一点,点P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O,Q 是CD 的中点.求下列各式中x,y 的值.(1)OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PC ⃗⃗⃗⃗ +y PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:根据题意,画出大致图形,如图所示.(1)∵OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −12PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12PC ⃗⃗⃗⃗ ,∴x=y=-12.(2)∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗ . 又PC ⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PC ⃗⃗⃗⃗ =2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ -(2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ -2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴x=2,y=-2.10.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为BB 1和A 1D 1的中点,证明:向量A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗ 是共面向量.证明:EF ⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 假设存在实数x,y,使得EF ⃗⃗⃗⃗ =x A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即-12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(-B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+y(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-x B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y)B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共面, ∴{-x =1,x +y =-12,y =12,解得{x =-1,y =12.∴EF ⃗⃗⃗⃗ =-A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由向量共面的充要条件知,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗ 是共面向量.B 组1.若P,A,B,C 为空间四点(点P,A,B,C 不共线),且有PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =αPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βPC ⃗⃗⃗⃗ ,则α+β=1是A,B,C 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若α+β=1,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =β(PC ⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =βBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,显然A,B,C 三点共线;若A,B,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(PC ⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),整理得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+λ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λPC ⃗⃗⃗⃗ ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1. 故选C. 答案:C2.如图所示,已知在三棱锥O-ABC 中,M,N 分别是OA,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且MG=2GN,则OG⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:因为点N 为BC 的中点, 所以ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:D3.已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 必( ) A.在平面BAD 1内B.在平面BA 1D 内C.在平面BA 1D 1内D.在平面AB 1C 1内解析:因为PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且11-6-4=1, 所以M,A 1,B,D 1四点共面,故选C.答案:CA.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C,D 四点共线B.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C 三点共线 C.若e 1,e 2为不共线的非零向量,a=4e 1-25e 2,b=-e 1+110e 2,则a ∥bD.若向量e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,且满足等式k 1e 1+k 2e 2+k 3e 3=0,则k 1=k 2=k 3=0 答案:A5.如图,在三棱锥O-ABC 中,点M,N 分别为AB,OC 的中点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c,用向量a,b,c 表示MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 .解析:由题意知MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC⃗⃗⃗⃗⃗ −12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c, 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a-b+c). 答案:12(-a-b+c)6.设e 1,e 2是两个不共线的空间向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+ke 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,且A,B,D 三点共线,则k= .解析:BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-e 1-3e 2)+(2e 1-e 2)=e 1-4e 2. ∵A,B,D 三点共线,∴存在实数λ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴2e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2).∴{2=λ,k =-4λ,解得k=-8.答案:-87.如图,M,N 分别是四面体ABCD 的AB,CD 的中点.请判断向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共面.解:由题图可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,① MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,② 因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CN ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以①+②得2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 即MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.。

第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算课后训练巩固提升A 组1.在四面体ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a+b-c B.-a-b+c C.-a+b+cD.-a+b-c解析:CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a+c.故选C. 答案:C2.若a 与b 不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( ) A.m,n,p 共线 B.m 与p 共线 C.n 与p 共线 D.m,n,p 共面解析:因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,所以p=12m+12n.又m 与n 不共线,所以m,n,p 共面. 答案:D3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F,G,H,P,Q 分别是A 1A,AB,BC,CC 1,C 1D 1,D 1A 1的中点,则( )A.EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.EF ⃗⃗⃗⃗ −GH ⃗⃗⃗⃗⃗ −PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C.EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ −PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.EF ⃗⃗⃗⃗ −GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 解析:由题图观察,EF ⃗⃗⃗⃗ ,GH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 平移后可以首尾相接,故有EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 答案:A4.(多选题)若向量MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线,O 为空间任意一点,则下列四个式子能得出M,A,B,C 四点共面的是( )A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ B.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:对于A,C 选项,由结论OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (,A,B,C 四点共面知,A 符合,C 不符合;对于B,D 选项,易知MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,又有公共点M,所以M,A,B,C 四点共面,所以B,D 符合.答案:ABD5.已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则实数x= ,y= .解析:因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以x=1,y=14.答案:1 146.已知A,B,P 三点共线,O 为空间任意一点,且与A,B,P 三点不共线,OP⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数β= . 解析:∵A,B,P 三点共线,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{1-λ=13,λ=β,解得β=23. 答案:237.已知A,B,C,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,O 是空间任意一点,且点O 不在平面ABCD 内,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2x+3y+4z= . 解析:∵A,B,C,D 四点共面,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +p OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且m+n+p=1. 由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(-3y)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(-4z)OD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1. ∴2x+3y+4z=-1. 答案:-18.已知四边形ABCD 为正方形,P 是四边形ABCD 所在平面外一点,点P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O,Q 是CD 的中点.求下列各式中x,y 的值.(1)OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PC ⃗⃗⃗⃗ +y PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:根据题意,画出大致图形,如图所示.(1)∵OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −12PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12PC ⃗⃗⃗⃗ ,∴x=y=-12.(2)∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗ . 又PC ⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PC ⃗⃗⃗⃗ =2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ -(2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ -2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴x=2,y=-2.9.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为BB 1和A 1D 1的中点,证明:向量A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗ 是共面向量.证明:EF ⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 假设存在实数x,y,使得EF ⃗⃗⃗⃗ =x A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即-12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(-B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+y(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-x B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y)B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共面, ∴{-x =1,x +y =-12,y =12,解得{x =-1,y =12. ∴EF ⃗⃗⃗⃗ =-A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由向量共面的充要条件知,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗ 是共面向量.B 组1.若P,A,B,C 为空间四点(点P,A,B,C 不共线),且有PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =αPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βPC ⃗⃗⃗⃗ ,则α+β=1是A,B,C 三点共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若α+β=1,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =β(PC ⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =βBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,显然A,B,C 三点共线;若A,B,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(PC ⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),整理得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+λ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λPC ⃗⃗⃗⃗ ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1. 故选C. 答案:C2.如图所示,已知在三棱锥O-ABC 中,M,N 分别是OA,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且MG=2GN,则OG⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:因为点N 为BC 的中点,所以ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12OA⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13OA⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:D3.已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 必( ) A.在平面BAD 1内B.在平面BA 1D 内C.在平面BA 1D 1内D.在平面AB 1C 1内解析:因为PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且11-6-4=1, 所以M,A 1,B,D 1四点共面,故选C. 答案:CA.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C,D 四点共线B.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C 三点共线 C.若e 1,e 2为不共线的非零向量,a=4e 1-25e 2,b=-e 1+110e 2,则a ∥bD.若向量e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,且满足等式k 1e 1+k 2e 2+k 3e 3=0,则k 1=k 2=k 3=0 答案:A5.如图,在三棱锥O-ABC 中,点M,N 分别为AB,OC 的中点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c,用向量a,b,c 表示MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 .解析:由题意知MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC⃗⃗⃗⃗⃗ −12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c, 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a-b+c). 答案:12(-a-b+c)6.设e 1,e 2是两个不共线的空间向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+ke 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,且A,B,D 三点共线,则k= .解析:BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-e 1-3e 2)+(2e 1-e 2)=e 1-4e 2. ∵A,B,D 三点共线,∴存在实数λ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴2e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2).∴{2=λ,k =-4λ,解得k=-8.答案:-87.如图,M,N 分别是四面体ABCD 的AB,CD 的中点.请判断向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共面.解:由题图可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,① MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,② 因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CN ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以①+②得2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 即MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.。