下学期第27章《相似》单元检测及解析

九年级（下）第二学期第27章相似单元测试卷一、选择题1．若2312x yx y-=+，则(yx=)A．73B．37C．57D．752．若ABC∆与△111A B C相似且对应中线之比为2:5，则周长之比和面积比分别是()A．2:5，4:5B．2:5，4:25C．4:25，4:25D．4:25，2:5 3．如图，下列条件中不能判定ACD ABC∆∆∽的是()A．ADC ACB∠=∠B．AB ACBC CD=C．ACD B∠=∠D．2AC AD AB=g 4．如图，四边形ABCD和四边形A B C D''''是以点O为位似中心的位似图形，若:3:5OA OA'=，则四边形ABCD和四边形A B C D''''的面积比为()A．3:5B．3:8C．9:25D．3:55．如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，CD AB⊥，垂足为点D，如果32ADCCDBCC∆∆=，9AD=，那么BC的长是()A．4B．6C．213D．3106．如图，已知直线////a b c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F ，若8AC =，12CE =，6BD =，则BF 的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．177．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，则:(BEF ADF S S ∆∆= )A ．1:2B ．2:3C ．1:3D ．1:48．如图，在ABC ∆中，E ，G 分别是AB ，AC 上的点，AEG C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交EG 于点F ，若32AF DF =，则( )A ．35AE BE = B ．23EF FG = C ．35EF CD = D ．23EG BC = 9．如图，在ABC ∆中，////DE FG BC ，且::1:2:4AD AF AB =，则::ADE DFGE FBCG S S S ∆四边形四边形等于( )A ．1:2:4B ．1:4:16C ．1:3:12D ．1:3:710．如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线一点，连接AE 交CD 于F ，作AEG AEB∠=∠，EG交CD的延长线于G，连接AG，当2CE BC==时，作FH AG⊥于H，连接DH，则DH的长为()A．22-B．21-C．22D．23二．填空题（共11小题）11．已知a，b，c，d是成比例线段，3a cm=，2b cm=，6d cm=，则线段c的长为cm．12．如果在比例尺1:100000的滨海区地图上，招宝山风景区与郑氏十七房的距离约是19cm，则它们之间的实际距离约为千米．13．若点P是线段AB的黄金分割点，10AB cm=，则较长线段AP的长是cm．14．如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若AEM∆与ECM∆相似，则AB和BC的数量关系为．15．如图，//AB CD，AD、BC相交于点E，过E作//EF CD交BD于点F，如果:2:3AB CD=，6EF=，那么CD的长等于．16．在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，D 是边AB 上的一点，1AD =，E 是边AC 上的一点(E 与端点不重合），如果以A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，那么AE 的长是 ．17．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在ABC ∆的两边AB 、AC 上，且//DE BC ，如果5AE =，3EC =，4DE =，那么线段BC 的长是 ．18．有一块直角边3AB cm =，4BC cm =的Rt ABC ∆的铁片，现要将它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为 ．19．如图．等边ABC ∆的边长为5，点D 、E 、F 分别在三边AC 、AB 、BC 上，且2AE =，DF DE ⊥，60DEF ∠=︒，则DF 的长为 ．20．如图，四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，5AB cm =，3AD cm =，2BC cm =，P 是AB 上一点，若以P 、A 、D 为顶点的三角形与PBC ∆相似，则PA = cm ．21．如图，1ABB ∆，△112A B B ，△223A B B 是全等的等边三角形，点B ，1B ，2B ，3B 在同一条直线上，连接2A B 交1AB 于点P ，交11A B 于点Q ，则11:PB QB 的值为 ．三．解答题（共7小题）22．如图，边长为6的正方形ABCD 中，2AD AE =，3AB AF =，连接EF 和AC 交于点G ，求FG 的长．23．如图，在ABC ∆中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，且EB BHBG FH=，//DG AB ，求证：DF BG =．24．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为边BC 上的中线，DE AC ⊥于点E ． （1）请你写出图中所有与CDE ∆相似的三角形； （2）若10AB =，12BC =，求EC 的长．25．如图所示：在ABC ∆中，5AB AC ==，8BC =，D ，E 分别为BC ．AB 边上一点，ADE C ∠=∠，（1）求证：2AD AE AB =g ；（2）ADC ∠与BED ∠是否相等？请说明理由；（3）若2CD =，求AD 的长．26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，3BC =．点D 为AC 的中点，联结BD ，过点C 作CG BD ⊥，交AC 的垂线AG 于点G ，GC 分别交BA 、BD 于点F 、E ． （1）求GA 的长； （2）求AFC ∆的面积．27．在Rt ABC ∆中，8AB =，6BC =，点P 从点A 出发，速度为4个单位每秒，同时点Q 从点C 出发，以v 个单位每秒的速度向B 运动．当有一个点到达点B 时，点P ，Q 同时停止运动．设运动时间为t ．（1）若2v =，1t =，求PQB ∆的面积．（2）若在运动过程中，PQ 始终平行于AC ，求v 的值．28．如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)A ，点(0,3)B ．点(,0)M m 在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当BOP PBQ∠=∠时，求PQ的长度；（3）当PBQ∆为等腰三角形时，求m的值．参考答案一．选择题（共10小题） 1．若2312x y x y -=+，则(yx= ) A ．73B ．37C ．57D ．75解：Q 2312x y x y -=+，2(23)x y x y ∴+=-， 37x y ∴=， ∴37y x =， 故选：B ．2．若ABC ∆与△111A B C 相似且对应中线之比为2:5，则周长之比和面积比分别是( ) A ．2:5，4:5B ．2:5，4:25C ．4:25，4:25D ．4:25，2:5解：ABC ∆Q 与△111A B C 相似，且对应中线之比为2:5， ∴其相似比为2:5，ABC ∴∆与△111A B C 周长之比为2:5， ABC ∆与△111A B C 面积比为4:25，故选：B ．3．如图，下列条件中不能判定ACD ABC ∆∆∽的是( )A ．ADC ACB ∠=∠ B ．AB ACBC CD=C ．ACD B ∠=∠ D ．2AC AD AB =g解：A 、由ADC ACB ∠=∠，A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意； B 、由AB ACBC CD=不能判定ACD ABC ∆∆∽，此选项符合题意；C 、由ACD B ∠=∠，A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意；D 、由2AC AD AB =g ，即AC ABAD AC=，且A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意； 故选：B ．4．如图，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''是以点O 为位似中心的位似图形，若:3:5OA OA '=，则四边形ABCD 和四边形A B C D ''''的面积比为( )A ．3:5B ．3:8C ．9:25D ．3:5解：Q 四边形ABCD 和A B C D ''''是以点O 为位似中心的位似图形，:3:5OA OA '=， ::3:5DA D A OA OA ∴''='=，∴四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为：9:25．故选：C ．5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，如果32ADC CDB C C ∆∆=，9AD =，那么BC 的长是( )A ．4B ．6C ．213D ．310解：90ACB ∠=︒Q ， 90ACD BCD ∴∠+∠=︒， CD AB ⊥Q ， 90A ACD ∴∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠，又ADC CDB ∠=∠， ADC CDB ∴∆∆∽， ∴AD CD CD BD =，ADC CDB C AD C CD∆∆=，∴32AD CD =，即932CD =， 解得，6CD =， ∴966BD=， 解得，4BD =，222264213BC CD BD ∴=+=+=，故选：C ．6．如图，已知直线////a b c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若8AC =，12CE =，6BD =，则BF 的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17解：////a b c Q ，8AC =，12CE =，6BD =， ∴AC BDAE BF =， 即8620BF=， 解得15BF =． 故选：B ．7．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，则:(BEF ADF S S ∆∆= )A ．1:2B ．2:3C ．1:3D ．1:4解：Q 点E 是边BC 的中点， 12BE BC ∴=， Q 四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，//AD BC ， 12BE AD ∴=，BEF DAF ∆∆∽， 211:()1:424BEF ADF S S ∆∆∴===； 故选：D ．8．如图，在ABC ∆中，E ，G 分别是AB ，AC 上的点，AEG C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交EG 于点F ，若32AF DF =，则( )A ．35AE BE = B ．23EF FG = C ．35EF CD = D ．23EG BC = 解：Q32AF DF =， ∴35AF AD =， AEG C ∠=∠Q ，EAF DAC ∠=∠，AEF ACD ∴∆∆∽，∴35EF AF CD AD ==． 故选：C ．9．如图，在ABC ∆中，////DE FG BC ，且::1:2:4AD AF AB =，则::ADE DFGE FBCG S S S ∆四边形四边形等于( )A ．1:2:4B ．1:4:16C ．1:3:12D ．1:3:7 解：////DE FG BC Q ，ADE AFG ABC ∴∆∆∆∽∽，::1:2:4AD AF AB =Q ，::1:4:16ADE AFG ABC S S S ∆∆∆∴=，设ADE ∆的面积是a ，则AFG ∆和ABC ∆的面积分别是4a ，16a ，则DFGE S 四边形和FBCG S 四边形分别是3a ，12a ，::1:3:12ADE DFGE FBCG S S S ∆∴=四边形四边形．故选：C ．10．如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线一点，连接AE 交CD 于F ，作AEG AEB ∠=∠，EG 交CD 的延长线于G ，连接AG ，当2CE BC ==时，作FH AG ⊥于H ，连接DH ，则DH 的长为( )A ．22B 21-C 2D ．23 解：过点A 作AJ EG ⊥于点J ，如图所示：Q 四边形ABCD 是正方形，AD AB ∴=，AEG AEB ∠=∠Q ，AJ AB ∴=，AJ AD ∴=，在Rt AGJ ∆与Rt AGD ∆中，AJ AD AG AG =⎧⎨=⎩， Rt AGJ Rt AGD(HL)∴∆≅∆，JG GD ∴=，在Rt ABE ∆与Rt AJE ∆中，AJ AB AE AE =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt AJE(HL)∴∆≅∆，EJ BE ∴=，即GE GD BE +=，延长AD 交EG 于点M ，作HQ AD ⊥，HP CD ⊥，AGJ AGD ∆≅∆Q ，//AD BC ，2AMG CEF ∴∠=∠，2JAM GAM ∠=∠，∴在AJM ∆中，2()90CEF GAM ∠+∠=︒，45CEF GAM ∴∠+∠=︒．//AD BC Q ，CEF DAF ∴∠=∠，45CEF GAM DAF GAM HAF ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，AH HF ∴=．Q 在AHI ∆与DIF ∆中，DFI HAI ∠=∠Q ，FHG ADG ∴∆∆∽， ∴HG FG DG AG=， AGD AGD ∠=∠Q ，GHD GFA ∴∆∆∽，45HDG FAG ∴∠=∠=︒．在等腰直角HDP ∆与等腰直角HQD ∆中，PD HQ QD ===Q ，PF DF PD DF ∴=+=+， 在Rt AHQ ∆和Rt FHP ∆中，AH FH HQ HP =⎧⎨=⎩， Rt AHQ ∴∆≅△Rt FHP(HL)∆，AQ DF ∴=+，AD AQ DQ DF DF ∴=+=+=+，Q 四边形ABCD 是正方形，2CE BC ==，CF ∴为ABE ∆的中位线， 112CF AB ∴==， 1DF CF ∴==，2AD AB BC ===，212HD ∴=+，22DH ∴=， 故选：C ．二．填空题（共11小题）11．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，3a cm =，2b cm =，6d cm =，则线段c 的长为 9 cm ．解：已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad bc =，代入3a =，2b =，6d =，362c ⨯=解得：9c =，故答案为：9．12．如果在比例尺1:100000的滨海区地图上，招宝山风景区与郑氏十七房的距离约是19cm ，则它们之间的实际距离约为 19 千米．解：设它们之间的实际距离为xcm ，1:10000019:x =，解得1900000x =．190000019cm =千米．所以它们之间的实际距离为19千米．故答案为19．13．若点P 是线段AB 的黄金分割点，10AB cm =，则较长线段AP 的长是 555- cm ． 解：P Q 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，512AP AB -∴=， 而10AB cm =，51105552AP -∴=⨯=-； 故答案为：555-．14．如图，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，若AEM ∆与ECM ∆相似，则AB 和BC 的数量关系为 32BC AB = ．解：Q 矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，90MEC D ∴∠=∠=︒，DMC EMC ∠=∠，ME MD =， A MEC ∴∠=∠，当AEM EMC ∠=∠时，AEM ∆与ECM ∆相似，则//AE MC ，不合题意舍去； 当AEM MCE ∠=∠时，AEM ∆与ECM∆相似，AME EMC ∠=∠，此时60DMC EMC AME ∠=∠=∠=︒， 在Rt CDM ∆中，3MD =， 3EM ∴=， 在Rt AEM ∆中，132AM EM ==， 333AD AM DM ∴=+==， Q 四边形ABCD 为矩形，AB CD ∴=，BC AD =，32BC AB ∴=． 故答案为32BC AB =． 15．如图，//AB CD ，AD 、BC 相交于点E ，过E 作//EF CD 交BD 于点F ，如果:2:3AB CD =，6EF =，那么CD 的长等于 15 ．解：//AB CD Q ，ABE DCE ∴∆∆∽，∴23BE AB EC CD ==， ∴25BE BC =， //EF CD Q ，BEF BCD ∴∆∆∽，∴25EF BE CD BC ==， 6EF =Q ，15CD ∴=， 故答案为15．16．在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，D 是边AB 上的一点，1AD =，E 是边AC 上的一点(E 与端点不重合），如果以A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，那么AE 的长是 5或4． 解：90C ∠=︒Q ，4AC =，3BC =，22435AB ∴=+=，A Q ，D ，E 三点组成的三角形与ABC ∆相似，ABC ADE ∴∆∆∽或ABC AED ∆∆∽，∴AB AC AD AE =，或AB AC AE AD =， ∴541AE =或541AE =， 解得：45AE =，或54AE =， 故答案为：45或54．17．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在ABC ∆的两边AB 、AC 上，且//DE BC ，如果5AE =，3EC =，4DE =，那么线段BC 的长是 325．解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴DE AE BC AC =， ∴458BC =， 325BC ∴=， 故答案为325． 18．有一块直角边3AB cm =，4BC cm =的Rt ABC ∆的铁片，现要将它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为 6037．解：如图，过点B 作BP AC ⊥，垂足为P ，BP 交DE 于Q ．1122ABC S AB BC AC BP ∆==Q g g ， 341255AB BC BP AC ⨯∴===g ． //DE AC Q ，BDE A ∴∠=∠，BED C ∠=∠，BDE BAC ∴∆∆∽，∴DE BQ AC BP=． 设DE x =，则有：1251255x x -=， 解得6037x =， 故答案为：6037． 19．如图．等边ABC ∆的边长为5，点D 、E 、F 分别在三边AC 、AB 、BC 上，且2AE =，DF DE ⊥，60DEF ∠=︒，则DF 的长为 392．解：ABC ∆Q 是等边三角形，60A B ∴∠=∠=︒，60DEF ∠=︒Q ，18060ADE AED ∴∠=︒-︒-∠，18060BEF AED ∠=︒-∠-︒，ADE BEF ∴∠=∠，ADE BEF ∴∆∆∽，∴BF EF AE DE =， DF DE ⊥Q ，60DEF ∠=︒，∴2EF DE=， 24BF AE ∴==，过E 作EG BF ⊥于G ，60B ∠=︒Q ，523BE =-=，1.5BG ∴=，332EG =， 4 1.5 2.5FG BF BG ∴=-=-=，222233() 2.5132EF EG FG ∴=+=+=， Rt DEF ∆中，30DFE ∠=︒11322ED EF ∴== 3932DF ED ∴==， 故答案为：392． 20．如图，四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，5AB cm =，3AD cm =，2BC cm =，P 是AB 上一点，若以P 、A 、D 为顶点的三角形与PBC ∆相似，则PA = 2或3 cm ．解：设AP xcm =．则(5)BP AB AP x cm =-=-以A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似， ①当::AD PB PA BC =时，352x x =-， 解得2x =或3．②当::AD BC PA PB =时，325x x=-，解得3x =， ∴当A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，AP 的值为2或3．故答案为2或3．21．如图，1ABB ∆，△112A B B ，△223A B B 是全等的等边三角形，点B ，1B ，2B ，3B 在同一条直线上，连接2A B 交1AB 于点P ，交11A B 于点Q ，则11:PB QB 的值为 2:3 ．解：1ABB ∆Q ，△112A B B ，△223A B B 是全等的等边三角形，1232AB B A B B ∴∠=∠，112223A B B A B B ∠=∠123//AB A B ∴，1122//A B A B ，1PBB ∴∆∽△23A BB ，∴1123313PB BB A B BB ==， 12313PB A B ∴=， 同理：1122212QB BB A B BB ==， 12212QB A B ∴=， 2223A B A B =Q ，11:2:3PB QB ∴=，故答案为：2:3．三．解答题（共7小题）22．如图，边长为6的正方形ABCD 中，2AD AE =，3AB AF =，连接EF 和AC 交于点G ，求FG 的长．解：Q边长为6的正方形ABCD中，2AD AE=，3AB AF=，3AE∴=，2AF=，2213EF AE AF∴=+=，作//EH CD，交AC于H，AEH ADC∴∆∆∽，∴12 EH AECD AD==，6CD=Q，3EH∴=，//EH AFQ，AFG HEG ∴∆∆∽，∴FG AFEG EH=，即2313FGFG=-，2135FG∴=．23．如图，在ABC∆中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且EB BHBG FH=，//DG AB，求证：DF BG=．【解答】证明：//DG AB Q ， ∴EB EH BG DH =， Q EB BH BG FH=， ∴EH BH DH FH =， EHB DHF ∠=∠Q ，DFH EBH ∴∆∆∽，E FDH ∴∠=∠，DF BC ∴‖，∴四边形BGDF 平行四边形，DF BG ∴=．24．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为边BC 上的中线，DE AC ⊥于点E ．（1）请你写出图中所有与CDE ∆相似的三角形；（2）若10AB =，12BC =，求EC 的长．【解答】（1）解：AB AC =Q ，AD 为BC 边上的中线，BAD CAD ∴∠=∠，AD BC ⊥，AD BC ⊥Q ，DE AC ⊥，90AED ADC ∴∠=∠=︒，BAD DAC EDC ∴∠=∠=∠，AED ADC ∴∆∆∽，DEC ADC ∆∆∽，DEC AED ∴∆∆∽，DEC ADB ∆∆∽，即图中所有与CDE ∆相似的三角形有ADB ∆，ADC ∆，AED ∆；（2）解：10AB AC ==Q ，由（1）得DCE ACD ∆∆∽， ∴DC AC EC DC =， ∴6106EC =， ∴185EC =． 25．如图所示：在ABC ∆中，5AB AC ==，8BC =，D ，E 分别为BC ．AB 边上一点，ADE C ∠=∠，（1）求证：2AD AE AB =g ；（2）ADC ∠与BED ∠是否相等？请说明理由；（3）若2CD =，求AD 的长．【解答】（1）证明：ADE C ∠=∠Q ，DAE BAD ∠=∠，DAE BAD ∴∆∆∽，∴DA AE AB AD=，即2AD AE AB =g ； （2）ADC DAE B ∠=∠+∠，BED DAE ADE ∠=∠+∠，AB AC =Q ，B C ∴∠=∠，ADC BED ∴∠=∠；（3）ADC BED ∠=∠Q ，B C ∠=∠，ADC DEB ∴∆∆∽，∴CD AC BE BD =，即256BE =， 解得， 2.4BE =，由（1）得，213AD AE AB ==g ，则13AD =26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，3BC =．点D 为AC 的中点，联结BD ，过点C作CG BD⊥，交AC的垂线AG于点G，GC分别交BA、BD于点F、E．（1）求GA的长；（2）求AFC∆的面积．解：（1）90ACB∠=︒Q，90BCE GCA∴∠+∠=︒，CG BD⊥Q，90CEB∴∠=︒，90CBE BCE∴∠+∠=︒，CBE GCA∴∠=∠，又90DCB GAC∠=∠=︒Q，BCD CAG∴∆∆∽，∴CD BC AG CA=，∴132 AG=，∴23 AG=．（2）180GAC BCA∠+∠=︒Q，//GA BC∴，∴GA AF BC BF=，∴29 AFBF=．∴211 AFAB=，∴211AFCABCSS∆∆=，又Q12332ABCS∆=⨯⨯=，611AFC S ∆∴=． 27．在Rt ABC ∆中，8AB =，6BC =，点P 从点A 出发，速度为4个单位每秒，同时点Q 从点C 出发，以v 个单位每秒的速度向B 运动．当有一个点到达点B 时，点P ，Q 同时停止运动．设运动时间为t ．（1）若2v =，1t =，求PQB ∆的面积．（2）若在运动过程中，PQ 始终平行于AC ，求v 的值．解：（1）8AB =Q ，6BC =，点P 从点A 出发，速度为4个单位每秒，2v =，1t = 414AP ∴=⨯=，212CQ =⨯=844PB ∴=-=，624BQ =-=PQB ∴∆的面积为：24428PB BQ ⨯÷=⨯÷=．答：PQB ∆的面积为8．（2）PQ Q 始终平行于ACBPQ BAC ∴∆∆∽∴BP BQ BA BC= PQ Q 始终平行于AC∴不妨取1t =∴84686v --= 解得：3v =答：v 的值为3．28．如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)A ，点(0,3)B ．点(,0)M m 在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当BOP PBQ ∠=∠时，求PQ 的长度；（3）当PBQ ∆为等腰三角形时，求m 的值．解：（1）将(3,0)A ，(0,3)B 分别代入抛物线解析式，得 9303b c c -++=⎧⎨=⎩． 解得23b c =⎧⎨=⎩． 故该抛物线解析式是：223y x x =-++；（2）设直线AB 的解析式是：(0)y kx t k =+≠， 把(3,0)A ，(0,3)B 分别代入，得 303k t t +=⎧⎨=⎩． 解得1k =-，3t =．则该直线方程为：3y x =-+． 故设(,3)P m m -+，2(,23)Q m m m -++． 则2BP m =，23PQ m m =-+． 3OB OA ==Q ，45BAO ∴∠=︒．QM OA ⊥Q ，90PMA ∴∠=︒．45AMP ∴∠=︒．45BPQ AMP BAO ∴∠=∠=∠=︒． 又BOP QBP ∠=∠Q ，POB QBP ∴∆∆∽． 于是BP OB BQ BP =，即22332m m m m=-+． 解得195m =，20m =（舍去）． 254325PQ m m ∴=-+=； （3）由两点间的距离公式知，222BP m =，222(3)PQ m m =-+，2222(2)BQ m m m =+-+． ①若BP BQ =，22222(2)m m m m =+-+， 解得11m =，23m =（舍去）．即1m =符合题意．②若BP PQ =，2222(3)m m m =-+， 解得132m =-，233m =+（舍去）．即32m =-符合题意．③若PQ BQ =，22222(3)(2)m m m m m -+=+-+， 解得2m =．综上所述，m 的值为1或32-或2．。

人教新版九年级数学下学期,第27章,相似,单元练习试题,（含解析）第27章相似一．选择题（共15小题） 1．已知＝，则的值为（） A． B． C． D． 2．若ac＝bd（ac≠0），则下列各式一定成立的是（） A． B． C． D． 3．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（） A． B． C． D． 4．下列四组图形中，一定相似的是（） A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 5．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（） A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：6．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（） A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5 7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（） A．4 B．5 C．6 D．8 8．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（） A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：1 9．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（）A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 10．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，则EF 的长为（） A．5 B．2 C．2 D．4 12．如图，在▱ABCD中，E 为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF ＝4：25，则DE：EC＝（） A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2 13．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（） A．6米 B．8米 C．18米 D．24米 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（） A． B． C． D．3 15．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（） A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）二．填空题（共1小题） 16．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为米．三．解答题（共5小题） 17．如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形． 18．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个相似图形，所画图形与△OAB的相似比为2：1．（温馨提示：画图用直尺、铅笔） 19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值． 20．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长． 21．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）求证：AC•CD＝CP•BP；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题） 1．已知＝，则的值为（）A． B． C． D．【分析】直接利用已知表示出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴设a＝3x，b＝2x，故＝＝．故选：C． 2．若ac＝bd（ac≠0），则下列各式一定成立的是（） A． B． C． D．【分析】根据比例的性质，两內项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求．【解答】解：A、由＝得ad＝bc，故本选项错误；B、由＝得c＝b，故本选项错误；C、由＝得ac＝bd，故本选项正确；D、由＝得a2c＝bd2，故本选项错误．故选：C． 3．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB 的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（） A． B． C． D．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝×2＝﹣1，∴BC ＝AB﹣AC＝3﹣；故选：B． 4．下列四组图形中，一定相似的是（） A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．【解答】解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．故选：D． 5．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（） A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，∴它们的相似比为1：．故选：D． 6．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（） A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5【分析】先由AD：DB＝3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC＝BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB＝CE：AC，则可求得答案．【解答】解：∵AD：DB＝3：5，∴BD：AB＝5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC＝BD：AB＝5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB＝CE：AC＝5：8．故选：A． 7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（） A．4 B．5 C．6 D．8【分析】由AD∥BE∥CF可得＝，代入可求得EF．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝1，BC＝3，DE＝2，∴＝，解得EF＝6，故选：C． 8．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（） A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：1【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴（1：2）2＝1：4．故选B． 9．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE ∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．【解答】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是x秒，①若△ADE∽△ABC，则，∴，解得：x＝3；②若△ADE∽△ACB，则，∴，解得：x＝4.8．∴当以点A、D、E 为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．故选：A． 10．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．【解答】解：有三个．①∠B＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C． 11．如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，则EF的长为（） A．5 B．2 C．2 D．4【分析】利用相似三角形的性质求出BP，PC，再利用勾股定理求出PE，PF即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠EPF ＝90°，∴∠EPB+∠CPF＝90°，∠CPF+∠CFP＝90°，∴∠EPB＝∠CFP，∴△EPB∽△PFC，∴＝，∵PB＝CP，BE＝2，CF＝3，∴BP＝PC＝，∴PE＝＝＝，PF＝＝＝，∴EF＝＝＝5，故选：A． 12．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（） A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF＝4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB的值，由AB＝CD即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB ＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF＝4：25，∴DE：AB＝2：5，∵AB＝CD，∴DE：EC＝2：3．故选：B． 13．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是（） A．6米 B．8米 C．18米 D．24米【分析】由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB＝∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴，∴CD＝＝8（米）．故选：B． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（）A． B． C． D．3【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，又∵AC＝3，AB＝6，∴32＝6AD，则AD＝．故选：A． 15．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（） A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴＝，又OB＝6，AB＝3，∴OD＝2，CD＝1，∴点C的坐标为：（2，1），故选：A．二．填空题（共1小题） 16．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为13.5 米．【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴，即，∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.5 三．解答题（共5小题） 17．如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是等腰直角三角形．【分析】（1）延长AB到B′，使AB′＝2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2＝42+82＝80，AD′2＝62+22＝40，C′D′2＝62+22＝40，那么AD′＝C′D′，AD′2+C′D′2＝AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2＝42+82＝16+64＝80，AD′2＝62+22＝36+4＝40，C′D′2＝62+22＝36+4＝40，∴AD′＝C′D′，AD′2+C′D′2＝AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角． 18．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个相似图形，所画图形与△OAB 的相似比为2：1．（温馨提示：画图用直尺、铅笔）【分析】延长AO、AB到2AO、2AB长度找到各点的对应点，顺次连接即可．【解答】解：延长AO、AB到2AO、2AB长度找到各点的对应点，顺次连接． 19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB ＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2＝AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE＝AB＝AE，继而可证得∠DAC＝∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC ＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝AB，∴CE＝×6＝3，∵AD＝4，∴，∴． 20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE＝＝＝12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D 分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）求证：AC•CD＝CP•BP；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．【分析】（1）易证∠APD＝∠B＝∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到＝，即AB•CD＝CP•BP，由AB＝AC即可得到AC•CD＝CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD＝∠BAP，即可得到∠BAP＝∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠APD＝∠B，∴∠APD ＝∠B＝∠C．∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，∴∠BAP ＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴AB•CD＝CP•BP．∵AB＝AC，∴AC•CD＝CP•BP；（2）如图，∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP．∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C．∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝．∵AB＝10，BC ＝12，∴＝，∴BP＝．。

人教版数学九年级下学期第27章《相似》单元测试卷（满分120分，限时120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知2x=5y （y ≠0），则下列比例式成立的是（ ）A ．x y 25=B ．x y52= C ．x 2y 5= D ．x 52y =2.若a b c 234==，则a 2b 3ca++等于（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．113.下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ．∠A=∠E 且∠D=∠F B ．∠A=∠B 且∠D=∠F C ．∠A=∠E 且AB EF AC ED = D ．∠A=∠E 且AB DFBC ED=4.如图，正方形ABCD 的边长为2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端点在CD 、AD 上滑动，当DM 为（ ）时，△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似． NMED CBAABCD5.如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是（ ）FEDCB AA ．AD DE DB BC = B ．BF EFBC AD =CAE BFEC FC=． D ．EF DEAB BC=6.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD 1DB 2=，DE=4，则BC 的长是（ ） EDCB AA ．8B ．10C ．11D ．127.如图，四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，AB=12，CD=15，A 1B 1=9，则边C 1D 1的长是（ ）D 1C 1B 1A 1DCBAA ．10B ．12C ．454 D.3658.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′且AB 1A B 2=''，则S △ABC ：S △A'B'C ′为（ ） A ．1：2 B ．2：1 C ．1：4 D ．4：1 9.如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ．当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（ ）0.5m16m?A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC=3，AB=6，那么AD 的值为（ ）D CBAA ．32 B ．92CD ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，BD=4，CD=9，则AD= ．12.如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC=13AC ，DE=4，那么EF 的值是 ．FEDCB A13.已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为．14.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为．OD C15.如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是米（平面镜的厚度忽略不计）．C16.如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=．CBA三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求DEBC的值．ECBA18.（本题8分）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．DCB19.（本题8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 为角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形； （2）选择（1）中一对加以证明．EDCB A20.（本题8分）如图，已知A （﹣4，2），B （﹣2，6），C （0，4）是直角坐标系平面上三点． （1）把△ABC 向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A 1B 1C 1．画出平移后的图形，并写出点A 的对应点A 1的坐标；（2）以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半，得到△A 2B 2C 2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．BC 上一点，连接AD ，点E 在BD 上，且DE=CD ，过点E 作AB 的平行线交AD 于F ，且EF=AC ．如图，求证：∠BAD=∠CAD ；CBAFED22.（本题10分）如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC 上任取一点E ，连接DE ，作EF ⊥DE ，交直线AB 于点F ． （1）若点F 与B 重合，求CE 的长；（2）若点F 在线段AB 上，且AF=CE ，求CE 的长．CBA F ED23.（本题10分）如图，已知△ABC ∽△ADE ，AB=30cm ，AD=18cm ，BC=20cm ，∠BAC=75°，∠ABC=40°．（1）求∠ADE 和∠AED 的度数； （2）求DE 的长．D EBCA24.（本题12分）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=20cm ，BC=15cm ，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/秒，点Q 的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P ，Q 两点之间的距离是多少？ （2）若△CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？BCA第27章《相似》单元测试卷解析一、选择题1. 【答案】∵2x=5y ，∴x y52=．故选B ． 2.【答案】设a b c234===k ， 则a=2k ，b=3k ，c=4k ，即a 2b 3c a ++=2k 23k 34k2k+⨯+⨯=10， 故选C ．3. 【答案】A 、∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；B 、∠A=∠B ，∠D=∠F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；C 、由A B E FA C E D=可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC 与△DEF 相似，故此选项正确； D 、∠A=∠E 且AB DFBC ED=不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；故选：C ．FEDC B A4. 【答案】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ， ∵BE=CE ，∴AB=2BE ，又∵△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似，∴①DM 与AB 是对应边时，DM=2DN ∴DM 2+DN 2=MN 2=1∴DM 2+14DM 2=1，解得；②DM 与BE 是对应边时，DM=12DN ，∴DM 2+DN 2=MN 2=1，即DM 2+4DM 2=1，解得DM时，△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似．故选C ．5. 【答案】∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE=BF ，BD=EF ； ∵DE ∥BC ，∴AD AE BF AB AC BC ==，EF CE BCAB AC DE ==， ∵EF ∥AB ，∴AE BFEC FC=故选C ． 6.【答案】∵AD 1DB 2=，∴AD 1AB 3=，∵在△ABC 中，DE ∥BC ，∴DE AD 1BC AB 3==， ∵DE=4，∴BC=3DE=12．故选D ． 7. 【答案】∵四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，∴1111AB CDA B C D =， ∵AB=12，CD=15，A 1B 1=9，∴C 1D 1=454． 故选C ．8.【答案】∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB 1A B 2=''，∴S △ABC ：S △A'B'C ′==（AB A B''）2=14，故选C ． 9.【答案】设长臂端点升高x 米，则0.5：x=1:16，∴解得：x=8．故选；C ．10. 【答案】∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∴AC 2=AD •AB ，又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD ，则AD=32．故选：A ． 二、填空题11.【答案】∵△ABC 是直角三角形，AD 是斜边BC 上的高，∴AD 2=BD •CD （射影定理）， ∵BD=4，CD=9，∴AD=6． DCBA12.【答案】∵BC=13AC ，∴AB 2BC 1=，∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB DEBC EF =，∵DE=4，∴EF=2．故答案为：2．13.【答案】因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方， 因为S △ABC ：S △DEF =2：9=（2：3）2， 所以△ABC 与△DEF 的相似比为2：3， 故答案为：2：3．14.【答案】∵以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF ，AD=OA ， ∴AB ：DE=OA ：OD=1：2，∴△ABC 与△DEF 的面积之比为：1：4． 故答案为：1：4．15.【答案】由题意知：光线AP 与光线PC ，∠APB=∠CPD ，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴AB:BP=CD:PD,，∴CD=1.2×12÷1.8=8（米）． 故答案为：8．16.【答案】如图1，当MN ∥BC 时，则△AMN ∽△ABC ，故AM:AB=AN:AC=MN:BC ， 则3：9=MN:12，解得：MN=4， 如图2所示：当∠ANM=∠B 时，又∵∠A=∠A ，∴△ANM ∽△ABC ，∴AM:AC=MN:BC ，即3：6=MN:12， 解得：MN=6， 故答案为：4或6．图2图1ABCCBA三、解答题17.【解答】∵DE ∥BC ，∴AD:AB=DE:BC ，∵AD=3，AB=5，∴DE BC =35． 18.【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ， ∴GF:CF=DF:BF ，CF:EF=DF:BF ，∴GF:CF=CF:EF ，即CF 2=GF •EF ． 19.【解答】（1）△ADE ≌△BDE ，△ABC ∽△BCD ； （2）证明：∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 为角平分线，∴∠ABD=12∠ABC=36°=∠A ， 在△ADE 和△BDE 中, ∠A=∠DBA,∠AED=∠BED,ED=ED ， ∴△ADE ≌△BDE （AAS ）；∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 为角平分线，∴∠DBC=12∠ABC=36°=∠A ， ∵∠C=∠C ，∴△ABC ∽△BCD ． 20.【解答】（1）△A 1B 1C 1如图所示，其中A 1的坐标为：（0，1）； （2）符合条件△A 2B 2C 2有两个，如图所示．A 1B 1C 1各点的坐标，继而画出图形； （2）利用位似的性质，可求得△A 2B 2C 2各点的坐标，继而画出图形． 21.【解答】延长FD 到点G ，过C 作CG ∥AB 交FD 的延长线于点M ， 则EF ∥MC ，∴∠BAD=∠EFD=∠M ，在△EDF 和△CMD 中，∠EFD=∠M ，∠EDF=∠MDC ，ED=DC ， ∴△EDF ≌△CMD （AAS ），∴MC=EF=AC ，∴∠M=∠CAD ，∴∠BAD=∠CAD ；BAM22.【解答】（1）当F和B重合时，∵EF⊥DE，∵DE⊥BC，∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=EF=9，∴CE=BC﹣EF=12﹣9=3；（2）过D作DM⊥BC于M，∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DM∥AB，∵AD∥BC，∴四边形ABMD是矩形，∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，设AF=CE=a，则BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∴∠BFE=∠DEM，∵∠B=∠DME，∴△FBE∽△EMD，∴BF:EM=BE:DM，∴(7-a)：（a-3）=（12-a）：7，a=5，a=17，∵点F在线段AB上，AB=7，∴AF=CE=17（舍去），即CE=5．EDF（F）D23.【解答】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=40°，∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣75°﹣40°=65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴AB:AD=BC:DE，即30：18=20：DE，解得DE=12cm．24.【解答】由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，由勾股定理得PQ=10cm；（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S=12×（20-4t）×2t=（20t-4t2）cm2；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CP:CA=CQ:CB，即(20-4t)：20=2t：15，解得t=3秒；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CP:CB=CQ:CA，即(20-4t)：15=2t：20，解得t=4011秒．因此t=3秒或t=4011秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。

解：由题意 ， ，
，
，
当 时， ，
，
解得 ．
当 时， ，
，
解得 ，
故答案为3或 ．
三．解答题（共8小题）
21．已知： ， ，求： （化成最简整数比）
解： ， ，
．
22．如图，在 中， ， ，
（1）求 的长；
（2）若点 在 的直角边上，点 在斜边 上，当 时，求 的长．
解：（1）在 中， ，
，
设 ， ，则 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
是 的中点，
， ，
， ，
，
与 等高，
，
设 ， ，则
是 中点，
故选： ．
6．如图，直线 ，直线 、 、 分别和直线 交于点 、 、 ，和直线 交于点 、 、 ，若 ， ， ，则线段 的长为
A．2B．3C．4D．6
解： ，
，
即 ，
，
．
故选： ．
7．如图，已知 ，任取一点 ，连 ， ， ，并取它们的中点 ， ， ，得 ，则下列说法正确的个数是
A．1B．1.2C．2D．2.5
解： ，
，即 ①，
，
，即 ②，
① ②，得 ，
解得 ．
故选： ．
9．如图，正方形 边长为6， 是 的中点，连接 ，以 为边在正方形内部作 ，边 交 于 ，连接 ．则下列说法正确的有
① ② ③ ④
A．①②③B．②④C．①④D．②③④
【解答】证明：延长 到 ，使 ，连接 ．如图所示：
① 与 是位似图形；
② 与 是相似图形；
③ 与 的周长比为 ；
④ 与 的面积比为 ．
A．1B．2C．3D．4
解：根据位似性质得出① 与 是位似图形，