「精品」高考数学一轮复习课时规范练34数学归纳法理新人教B版

教学资料范本2020高考数学一轮复习课时规范练45点与直线两条直线的位置关系理新人教B版-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习课时规范练45点与直线两条直线的位置关系理新人教B版基础巩固组1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=02.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(20xx广东揭阳一模)若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为( )A.7B.0或7C.0D.44.(20xx浙江温州模拟)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=( )A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或35.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D 在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为( )A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.(20xx广西南宁模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A.3B.2C.3D.48.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是( )A.2B.6C.3D.2 〚导学号21500568〛9.经过两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点,且与直线x-3y-1=0平行的直线的一般式方程为.10.(20xx宁夏银川模拟)点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是.11.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是.12.(20xx江西八校联考)已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.综合提升组13.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点( )A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)14.(20xx河北武邑中学一模)若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.-或-B.-或-C.-或-D.-或- 〚导学号21500569〛16.(20xx江苏淮安调研)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.创新应用组17.(20xx浙江杭州月考)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是( )A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k、P1、P2,使之有无穷多解〚导学号21500570〛18.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为( )A.4B.2C.2D.2参考答案课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系1.A 设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.2.C 直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直⇔1+1×(-a)=0,故选C.3.B ∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.4.C 若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.5.A 设AC的中点为O,则O.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则因为点D在直线3x-y+1=0上,所以3x0-y0+1=0,得点B的轨迹方程为3x-y-20=0.6.D 设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.7.A 依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为=3.8.A 易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为D(4,2),点P关于y轴对称的点为C(-2,0),则光线所经过的路程即D,C两点间的距离.于是|DC|==2.9.x-3y=0 两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点为(-3,-1),所以所求直线为y+1=(x+3),即x-3y=0.10.2 直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|==2,所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.11. 由题意得线段AB的中点在直线y=kx+b上,故解得所以直线方程为y=-x+.令y=0,即-x+=0,解得x=,故直线y=kx+b在x轴上的截距为.12.4 由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4.13.A 因为向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则k+2=-b,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).14.A 由log6m=-1得m=,若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则直线斜率相等或斜率不存在,解得m=0或m=,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的充分不必要条件.15.D 如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.所以圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-.16.6x-y-6=0 设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以解得又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为,即6x-y-6=0.17.B 由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,则不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组一定有唯一解.18.B 设点A关于直线y=x的对称点为B(x1,y1),依题意可得解得即B(1,3),同样可得点A关于y=0的对称点C(3,-1),如图所示,则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,当且仅当B,M,N,C共线时,△AMN的周长最短,即|BC|==2.故选B.。

课时规范练34《素养分级练》P369基础巩固组1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是( )答案:A解析:此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成,是由A 中的平面图形旋转形成的.故选A .2.(2022·广东潮州二模)已知一个圆柱的轴截面为正方形,且它的侧面积为36π,则该圆柱的体积为( ) A.16π B.27πC.36πD.54π答案:D解析:设圆柱底面半径为R ,高为h ,则{ℎ=2R ,2πRℎ=36π,解得{R =3,ℎ=6,∴圆柱的体积V=πR 2h=54π.3.(2022·广东深圳二模)已知一个球的表面积在数值上是它的体积的√3倍,则这个球的半径是( ) A.2 B.√2C.3D.√3答案:D解析:设球的半径为R ,则根据球的表面积公式和体积公式,可得4πR 2=43πR 3×√3,化简得R=√3. 4.(2023·福建福州格致中学模拟)已知一个直三棱柱的高为2,其底面ABC 水平放置的直观图为A'B'C',如图所示,其中O'A'=O'B'=O'C'=1,则此三棱柱的表面积为( )A.4+4√2B.8+4√2C.8+4√5D.8+8√5答案:C解析:由斜二测画法可得底面的平面图如图所示,其中OA=2OB=2OC=2,所以AB=AC=√5,所以此三棱柱的表面积S=2×12×2×2+(2+2√5)×2=8+4√5.5.(2022·山东菏泽一模)如图1,在高为h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水,水深为2,然后固定容器底面的一边AB于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面恰好为A1B1C(如图2),则容器的高h为()图1图2A.3B.4C.4√2D.6答案:A解析:在图1中V水=12×2×2×2=4,在图2中,V水=V ABC-A1B1C1−V C-A1B1C1=12×2×2×h-1 3×12×2×2×h=43h,∴43h=4,∴h=3.6. (2022·广东佛山二模)如图,某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成,且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球的球面上,若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为()A.2√6πB.4√6πC.16πD.16π3答案:B解析:依题意,作球的剖面图,其中,O 是球心,E 是圆锥的顶点,EC 是圆锥的母线.设球的半径为R ,则43πR 3=36π,R=3.∵圆柱的高为2,∴OD=1,DE=3-1=2,DC=√32-12=2√2,母线EC=√22+8=2√3.∴圆锥的侧面积S=12·EC ·2π·DC=12×2√3×2π×2√2=4√6π.故选B .7.(2022·全国甲,理9)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙.若S 甲S 乙=2,则V 甲V 乙=( )A.√5B.2√2C.√10D.5√104答案:C如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r 1,r 2,高分别为h 1,h 2,则2πr 1=4π,2πr 2=2π,则r 1=2,r 2=1,由勾股定理得,h 1=√5,h 2=2√2,所以V 甲V 乙=13πr 12ℎ113πr 22ℎ2=2√512×2√2=√10.故选C .8.(多选)(2023·广东广州高三检测)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台O 1O 2,在轴截面ABCD 中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB ,则( )A.该圆台的高为1 cmB.该圆台轴截面面积为3√3 cm 2C.该圆台的体积为7√3π3cm 3 D.一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点,所经过的最短路程为5 cm 答案:BCD解析:如图,作BE⊥CD交CD于点E,易得CE=CD-AB2=1,则BE=√22-12=√3,则圆台的高为√3 cm,故A错误;圆台的轴截面面积为12×(2+4)×√3=3√3(cm2),故B正确;圆台的体积为13×√3×(π+4π+√π·4π)=7√3π3(cm3),故C正确;由圆台补成圆锥,可得大圆锥的母线长为4 cm,底面半径为2 cm,侧面展开图的圆心角θ=2π·24=π,设P为AD的中点,连接CP,可得∠COD=π2,OC=4,OP=3,则CP=√42+32=5,从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路程为5 cm,故D正确.故选BCD.9. (2023·湖南长沙一中高三检测)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AB,BC,CD,DA的中点,将该正方体挖去两个四分之一圆锥,得到如图所示的几何体,则该几何体的体积为.答案:8-π3解析:∵该几何体为正方体挖去两个四分之一圆锥,圆锥底面圆半径R=1,高h=2,∴该几何体的体积V=23-12×13×π×12×2=8-π3.10.(2022·福建漳州一模)某中学开展劳动实习,学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬纸片加工制作成轴截面的顶角为60°,高为6的圆锥形包装盒,若在该包装盒中放入一个球形冰淇淋(内切),则该球形冰淇淋的表面积为.答案:16π解析:如图,由题意知,∠BAC=60°,AO1=6,故在Rt△AO1C中,AC=4√3,O1C=2√3.设内切球球心为O,半径为R,则OD=OO1=R.在Rt△ADO中,∠OAD=30°,所以2R=6-R,解得R=2.所以该球形冰淇淋的表面积S=4πR2=16π.综合提升组11. (2022·山东青岛二模)《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体.如图,羡除ABCDEF 中,底面ABCD 是正方形,EF ∥平面ABCD ,EF=2,其余棱长都为1,则这个几何体的外接球的体积为( )A.√2π3B.4π3C.8√2π3D.4π答案:B解析:连接AC ,BD 交于点M ,取EF 的中点O ,连接OM ,则OM ⊥平面ABCD ,取BC 的中点G ,连接FG ,作GH ⊥EF ,垂足为H ,如图所示.由题意可知,HF=12,FG=√32,所以HG=√FG 2-HF 2=√22,所以OM=HG=√22.又AM=√22,所以OA=√OM 2+AM 2=1.又OE=1,所以OA=OB=OC=OD=OE=OF=1,即这个几何体的外接球的球心为O ,半径为1,所以这个几何体的外接球的体积为V=43×π×13=43π.12. (2022·山东泰安三模)如图,已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形,AA 1⊥底面ABC ,AC=BC=2,AA 1=4,点D 在上底面A 1B 1C 1(包括边界)上运动,则三棱锥D-ABC 的外接球表面积的最大值为( )A.81π4B.24πC.243π16D.8√6π答案:B解析:因为△ABC 为等腰直角三角形,AC=BC=2,所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1,且AO 1=√2.连接O 1与A 1B 1的中点E ,则O 1E ∥AA 1,所以O 1E ⊥平面ABC.设球的球心为O ,由球的截面性质可得O 在O 1E 上,设OO 1=x ,DE=t (0≤t ≤√2),球的半径为R.因为OA=OD=R ,所以√2+x 2=√(4-x)2+t2,所以t2=8x-14.又0≤t≤√2,所以74≤x≤2.因为R2=2+x2,所以8116≤R2≤6,所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为24π.13.(多选)(2022·山东滨州二模)在边长为4的正方形ABCD中,如图1所示,E,F,M分别为BC,CD,BE的中点,分别沿AE,AF及EF所在直线把△AEB,△AFD和△EFC折起,使B,C,D三点重合于点P,得到三棱锥P-AEF,如图2所示,则下列结论正确的是()图1图2A.PA⊥EFB.三棱锥M-AEF的体积为4C.三棱锥P-AEF外接球的表面积为24πD.过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π]答案:ACD解析:由题意,将三棱锥补形为长方体,其中PA=4,PE=2,PF=2,如图所示.对于A,因为AP⊥PE,AP ⊥PF,PE∩PF=P,PE,PF⊂平面PEF,所以AP⊥平面PEF,又EF⊂平面PEF,所以PA⊥EF,故A正确;对于B,因为M为PE的中点,所以V M-AEF=12V P-AEF=12V A-PEF=12×13×12×2×2×4=43,故B错误;对于C,三棱锥P-AEF的外接球即为补形后长方体的外接球,所以外接球的直径2R=√22+22+42=2√6,所以三棱锥P-AEF外接球的表面积为S=4πR2=24π,故C正确;对于D,过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆,其中最大截面为过球心O的大圆,此时截面圆的面积为πR2=π(√6)2=6π,最小截面为过点M且垂直于球心O与M连线的圆,此时截面圆半径r=√R 2-OM 2=√6-5=1,截面圆的面积为πr 2=π,所以过点M 的平面截三棱锥P-AEF 的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π],故D 正确.故选ACD .14.十字贯穿体(如图1)是美术素描学习中一种常见的教具.如图2,该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成,且两个四棱柱的侧棱互相垂直,若底面正方形边长为2,则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为 .图1图2答案:4π3解析:该几何体的直观图如图所示,这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体为两个全等的四棱锥S-ABCD 和P-ABCD.设内切球的半径为R ,AC 的中点为H ,由题意,H 为内切球的球心,连接BH ,SH ,可知SH 即为四棱锥S-ABCD 的高,在Rt △ABH 中,BH=√AB 2-AH 2=√6-2=2.又AC=SB=2√2,∴S 四边形ABCD =12×2√2×2×2=4√2.又BH=SH ,∴V S-ABCD =13SH ·S 四边形ABCD =13×2×4√2=8√23.由八个侧面的面积均为2√2,∴13R ×2√2×8=2×8√23,得R=1.故几何体的内切球的体积为4π3.创新应用组15.如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为120°,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为( )A.23B.24C.26D.27答案:D解析:该几何体由直三棱柱AFD-BHC 及直三棱柱DGC-AEB 组成,作HM ⊥CB 于M ,如图.因为CH=BH=3,∠CHB=120°,所以CM=BM=3√32,HM=32.因为重叠后的底面为正方形,所以AB=BC=3√3.在直棱柱AFD-BHC 中,AB ⊥平面BHC ,则AB ⊥HM.由AB ∩BC=B ,可得HM ⊥平面ADCB.设重叠后的EG 与FH 的交点为I,则V I -BCDA =13×3√3×3√3×32=272,V AFD-BHC =12×3√3×32×3√3=814,则该几何体的体积V=2V AFD-BHC -V I -BCDA =2×814−272=27.。

课时规范练34 归纳与类比基础巩固组1.(2019河北衡水枣强中学期中,7)下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y=cos x(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cos x(x∈R)是周期函数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①2.(2018安徽合肥一中冲刺,7)观察下图:123 43456745678910……则第()行的各数之和等于2 0172.A.2 010B.2 018C.1 005D.1 0093.(2018河北辛集中学月考,10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数,由以上规律,则这些三角形数从小到大形成一个数列{a n},那么a10的值为()A.45B.55C.65D.664.(2018吉林梅河口五中期中,9)在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就座,且相邻座位(如1与2,2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在1号位置上,则4号位置上坐的是()A.小方B.小张C.小周D.小马5.(2018黑龙江哈尔滨二模,9)对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n=()A.10B.11C.12D.136.(2018河南信阳一中模拟,9)若“*”表示一种运算,满足如下关系:(1)1*1=1;(2)(n+1)*1=3(n*1)(n∈N+),则n*1=()A.3n-2B.3n+1C.3nD.3n-17.(2018河北衡水中学五模,8)下面推理过程中使用了类比推理方法,其中推理正确的个数是()①“数轴上两点间距离公式为|AB|=,平面上两点间距离公式为|AB|=”,类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB|=”;②“代数运算中的完全平方公式(a+b)2=a2+2a·b+b2”类比推出“向量中的运算(a+b)2=a2+2a·b+b2仍成立”;③“平面内两条不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两条不重合的直线不平行就相交”也成立;④“圆x2+y2=1上点P(x0,y0)处的切线方程为x0x+y0y=1”,类比推出“椭圆=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为=1”.A.1B.2C.3D.48.(2018福建三明一中期末,11)观察图形:…则第30个图形比第27个图形中的“☆”多()A.59颗B.60颗C.87颗D.89颗9.(2018河北衡水一模,14)已知自主招生考试中,甲、乙、丙三人都恰好报考了清华大学、北京大学中的某一所大学,三人分别给出了以下说法:甲说:“我报考了清华大学,乙也报考了清华大学,丙报考了北京大学.”乙说:“我报考了清华大学,甲说得不完全对.”丙说:“我报考了北京大学,乙说得对.”已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对,则报考了北京大学的是.10.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知,四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,四面体ABCD的体积为V,内切球半径为R,则R=.11.(2018中山模拟,14)在△ABC中,不等式成立;在凸四边形ABCD中,不等式成立;在凸五边形ABCDE 中,不等式成立…依此类推,在凸n边形A1A2…A n中,不等式+…+≥成立.12.(2018河北保定模拟,17)数列{a n}的前n项和记为S n,已知a1=1,a n+1=S n(n∈N+).证明:(1)数列是等比数列;(2)S n+1=4a n.综合提升组13.(2018河南中原名校五联,10)老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌,分别是红桃A,梅花A,方片A以及黑桃A,让小明、小红、小张、小李四个人进行猜测:小明说:第1个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里面放的是方片A;小红说:第2个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里放的是黑桃A;小张说:第4个盒子里面放的是黑桃A,第2个盒子里面放的是方片A;小李说:第4个盒子里面放的是红桃A,第3个盒子里面放的是方片A;老师说:“小明、小红、小张、小李,你们都只说对了一半.”则可以推测,第4个盒子里装的是() A.红桃A或黑桃A B.红桃A或梅花AC.黑桃A或方片AD.黑桃A或梅花A14.(2018湖南岳阳一模,9)将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放,从上往下依次为第1层,第2层,第3层,…,则第2 018层正方体的个数共有()A.2 018B.4 028C.2 037 171D.2 009 01015.如图,我们知道,圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×.所以,圆环的面积等于以线段AB=R-r为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是.创新应用组16.(2018河北衡水模拟,14)将给定的一个数列{a n}:a1,a2,a3,…按照一定的规则依顺序用括号将它分组,则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中,我们将a1作为第一组,将a2,a3作为第二组,将a4,a5,a6作为第三组,…,依次类推,第n组有n个元素(n∈N+),即可得到以组为单位的序列:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),…,我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群,第2个括号称为第2群,第3个数列称为第3群,…,第n个括号称为第n群,从而数列{a n}称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m个群中,且从第m个括号的左端起是第k个,则称这个元素为第m群中的第k个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,…,将数列分群,其中,第1群为(1),第2群为(1,3),第3群为(1,3,32),…,以此类推.设该数列前n项和N=a1+a2+…+a n,若使得N>14 900成立的最小a n位于第m群,则m=()A.11B.10C.9D.817. (2018黑龙江仿真模拟四,14)已知命题:在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0),△ABC的顶点B在椭圆上,顶点A,C分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e,则,现将该命题类比到双曲线中,△ABC的顶点B在双曲线上,顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),双曲线的离心率为e,则有.参考答案课时规范练34 归纳与类比1.B根据“三段论”:“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知:①y=cos x(x∈R)是三角函数是“小前提”;②三角函数是周期函数是“大前提”;③y=cos x(x∈R)是周期函数是“结论”.故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.2.D由图形知,第一行各数和为1;第二行各数和为9=32;第三行各数和为25=52;第四行各数和为49=72,…,∴第n行个数之和为(2n-1)2,令(2n-1)2=2 0172⇒2n-1=2 017,解得n=1 009,故选D.3.B a1=1,a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+3+4,故a10=1+2+3+4+…+10=55,故选B.4.A依据题意可得从1~6号依次为小林、小马、小李、小方、小周、小张,则4号位置上坐的是小方,故选A.5.B∵m2=1+3+5+…+11=×6=36,∴m=6,∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29,∵n3的分解中最小的数是21,∴n3=53,n=5.∴m+n=6+5=11,故选B.6.D由题设:①1*1=1,②(n+1)*1=3(n*1),则n*1=3((n-1)*1)=3×3((n-2)*1)=…=3n-1(1*1)=3n-1.故选D.7.C对于①,根据空间内两点间距离公式可知,类比正确;对于②,(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a2+a·b+b·a+b2=a2+2a·b+b2,类比正确;对于③,在空间内不平行的两条直线,有相交和异面两种情况,类比错误;对于④,椭圆+=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为+=1,为真命题,综合上述,可知正确个数为3个,故选C.8.C设第n个图形“☆”的个数为a n,则a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,a n=1+2+…+n=,∴第30个图形比第27个图形中的“☆”多的个数为:-=87.故选C.9.甲、丙若甲说得不对,则乙、丙说得对,即乙一定报考了清华大学,丙一定报考了北京大学,甲只可能报考了北京大学.若乙、丙说得不对,则得出与“甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对”矛盾,所以报考了北京大学的是甲、丙.所以填甲、丙.10. 三角形的面积类比四面体的体积,三角形的边长类比四面体四个面的面积,内切圆半径类比内切球的半径,二维图形中的“2”类比三维图形中的“3”,得R=.11.(n∈N+,n≥3)∵++≥=,+++≥=,++++≥=,…,∴++…+≥(n∈N+,n≥3).12.证明 (1)∵a n+1=S n+1-S n,a n+1=S n,∴(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n.∴=2·,又=1≠0,(小前提)故是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)(2)由(1)可知=4·(n≥2),∴S n+1=4(n+1)·=4··S n-1=4a n(n≥2),(小前提)又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)∴对于任意正整数n,都有S n+1=4a n.(结论)13.A因为四个人都只猜对了一半,故有以下两种可能:(1)当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时,第3个盒子里面放的不是方片A,则小李猜对第4个盒子里面放的是红桃A,小张猜对第2个盒子里面放的是方片A,小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A;(2)若小明猜对的是第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A,小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A,小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子只能是红桃A,故选A.14.C设第n层正方体的个数为a n,则a1=1,a n-a n-1=n,所以a n-a1=2+3+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,n≥2,故a2 018=1 009×2 019=2 037 171,故选C.15.2π2r2d 平面区域M的面积为πr2,由类比知识可知:平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎,旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底,以O为圆心、d为半径、圆的周长2πd 为高的圆柱的体积,所以旋转体的体积V=πr2×2πd=2π2r2d.16.B由题意得到该数列的前r组共有1+2+3+4…+r=个元素,其和为S=1+(1+3)+(1+3+32)+…+(1+3+32+…+3r-1)=,则r=9时,S(45)==14 757,r=10,S(55)=44 281>14 900,故使得N>14 900成立的最小值a位于第10群.故答案为B.点睛这个题目考查的是新定义题型,属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目,可以先找一些特殊情况,总结一下规律,再进行推广,得到递推关系,或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.17.= 将该命题类比到双曲线中,因为△ABC的顶点B在双曲线-=1(a>0,b>0)上,顶点A、C分别是双曲线的左、右焦点,所以有|BA|-|BC|=2a,所以==,由正弦定理可得==,所以=,故答案为=.。

§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。