高中数学竞赛辅导讲义第七讲 解三角形【讲义】

第七章 解三角形

一、基础知识

在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2

c

b a p ++=

为半周长。 1．正弦定理：

C

c

B b A a sin sin sin ===2R （R 为△AB

C 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2

1sin 2

1sin 2

1B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a.

推论3：在△ABC 中，A+B=q ，解a 满足

)

sin(sin a b

a a -=q ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C a

b sin 2

1；再证推论2，因为B+C=p -A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理

B b A a sin sin =，所以)

sin()

sin(sin sin A a A a --=q q ，即sinasin(q -A)=sin(q -a)sinA ，等价于2

1

-[cos(q -A+a)-cos(q -A-a)]= 2

1

-

[cos(q -a+A)-cos(q -a-A)]，等价于cos(q -A+a)=cos(q -a+A)，因为0

2．余弦定理：a 2

=b 2

+c 2

-2bccosA bc

a c

b A 2cos 2

22-+=

Û，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，

DC=q ，则AD 2

=.22pq q

p q c p b -++ （1）

【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB Ð， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB Ð ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC Ð， ② 因为ÐADB+ÐADC=p ， 所以cos ÐADB+cos ÐADC=0， 所以q ×①+p ×②得

qc 2

+pb 2

=(p+q)AD 2

+pq(p+q)，即AD 2

=.22pq q

p q

c p b -++

注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2

222

22a c b AD -+=

（2）海伦公式：因为41

2

=D &

ABC

S b 2c 2sin 2A=4

1b 2c 2 (1-cos 2A)= 4

1b 2c 2 16

14)(12

22222=úûùêëé-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).

这里.2

c

b a p ++=

所以S △ABC =).)()((c p b p a p p --- 二、方法与例题

1．面积法。

例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O 点发出的三条射线满足b a =Ð=ÐQOR POQ ,，另外OP ，OQ ，OR 的长分别为u, w, v ，这里α，β，α+β∈(0, p )，则P ，Q ，R 的共线的充要条件是

.)

sin(sin sin w

v u b a a b +=+ 【证明】P ，Q ，R 共线ORQ OPQ OPR ΔPQR S S S S D D D +=Û=Û0

sin 21uv Û

(α+β)=21uwsin α+21

vwsin β v

u w a

b b a sin sin )sin(+=+Û

，得证。 2．正弦定理的应用。 例

2 如图所示，△ABC

内有一点

P ，使得

ÐBPC-ÐBAC=ÐCPA-ÐCBA=ÐAPB-ÐACB 。

求证：AP ·BC=BP ·CA=CP ·AB 。

【证明】 过点P 作PD ^BC ，PE ^AC ，PF ^AB ，垂足分别为

D ，

E ，

F ，则P ，D ，C ，E ；P ，E ，A ，F ；P ，D ，B ，F 三组四点共圆，所以ÐEDF=ÐPDE+ÐPDF=ÐPCA+ÐPBA=ÐBPC-ÐBAC 。由题设及ÐBPC+ÐCPA+ÐAPB=3600可得ÐBAC+ÐCBA+ÐACB=1800。

所以ÐBPC-ÐBAC=ÐCPA-ÐCBA=ÐAPB-ÐACB=600。 所以ÐEDF=600，同理ÐDEF=600，所以△DEF 是正三角形。 所

以

DE=EF=DF

，

由

正

弦

定

理

，

CDsin ÐACB=APsin ÐBAC=BPsin ÐABC ，两边同时乘以△ABC 的外接圆直径2R ，得CP ·BA=AP ·BC=BP ·AC ，得证：

例3 如图所示，△ABC 的各边分别与两圆⊙O 1，⊙O 2相切，直线GF 与DE 交于P ，求证：PA ^BC 。

【证明】 延长PA 交GD 于M ，

因为O 1G ^BC ，O 2D ^BC ，所以只需证

.21AE

AF

AO A O MD GM == 由正弦定理

b

p a p sin )2sin(,sin )1sin(AE

PA AF AP =Ð-=Ð-，

所以

.sin sin 2sin 1sin a

b

×ÐÐ=AF AE 另一方面，

2

sin sin ,1sin sin Ð=Ð=PM

MD PM GM b a ，