高中数学竞赛讲义(十八)组合

高中数学竞赛校本教材目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。

看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。

例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。

从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。

高中数学组合获奖优秀教案
教案名称：解决问题的数学组合方法
教学目标：
1. 熟练掌握数学组合的基本概念和方法；
2. 能够运用数学组合的方法解决实际问题；
3. 培养学生的逻辑思维和创新能力。

教学内容：
1. 数学组合的定义和性质；
2. 数学组合的常见问题解法；
3. 实际问题的数学组合解决方法。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师出示一个问题：“班里有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个团队，问有多少种可能的组合方式？”引导学生思考，引出数学组合的概念。

二、讲解（15分钟）
1. 教师讲解数学组合的定义和性质；
2. 介绍数学组合的基本计算方法；
3. 演示数学组合在解决实际问题中的应用。

三、练习（20分钟）
1. 学生进行小组讨论，解决一些简单的数学组合问题；
2. 学生个人练习，完成几个实际问题的解答。

四、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调数学组合在解决问题中的重要性，并鼓励学生勤加练习。

五、作业布置（5分钟）
布置课后作业：解决一些更复杂的数学组合问题，加深对数学组合的理解。

教学评价：
通过这节课的教学，学生能够熟练掌握数学组合的基本概念和方法，能够灵活运用数学组合解决实际问题，培养了学生的逻辑思维和创新能力。

希望学生在实践中不断提高自己的解决问题能力，取得更好的成绩。

（教案结束）。

高中数学排列组合解题技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和考点。

它涉及到对一组对象进行有序或无序地选择和排列的问题，常常出现在数学竞赛和高考中。

掌握排列组合的解题技巧对于提高数学成绩至关重要。

本文将介绍一些常见的排列组合题型，并提供解题技巧和例题分析，帮助高中学生和家长更好地掌握这一知识点。

一、排列问题排列问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分或全部对象的问题。

常见的排列问题有全排列、循环排列和有条件的排列等。

1. 全排列全排列是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素进行排列的问题。

全排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

例题1：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种排列方式？解析：根据全排列的计算公式，P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 4 × 3 × 2 = 24。

因此，共有24种排列方式。

2. 循环排列循环排列是指将n个不同的元素排成一个环状，不计顺序的排列问题。

循环排列的计算公式为C(n) = (n-1)!，其中n!表示n的阶乘。

例题2：将1、2、3、4排成一个环状，共有多少种循环排列方式？解析：根据循环排列的计算公式，C(4) = (4-1)! = 3! = 3 × 2 = 6。

因此，共有6种循环排列方式。

二、组合问题组合问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分对象的问题。

与排列不同的是，组合不考虑对象的顺序，只关注对象的选择。

常见的组合问题有选择问题和有条件的组合等。

1. 选择问题选择问题是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素的问题。

选择问题的计算公式为C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)。

例题3：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种选择方式？解析：根据选择问题的计算公式，C(4, 3) = 4! / (3! × (4-3)!) = 4! / (3! × 1!) = 4。

数学竞赛中的排列组合问题江苏省梁丰高级中学 (215600) 张伟新排列组合问题主要依据分类计数原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不多，但 由于题目灵活多样，在各级各类考试中经常出现，在数学竞赛活动中尤其突出。

其解题方法 也多种多样，归纳起来，我们一般可用下面的方法来解决。

一、列举法：例1、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的 偶数，不同的取法有 。

（1998年全国高中数学联赛） 解：从10个数中取出3个数，使其和为偶数，则这三个数都为偶数或一个偶数二个 奇数。

当三个数都为偶数时，有35C 种取法；当有一个偶数二个奇数时，有15C 25C 种取法。

题意要使其和为不小于10。

我们把和为小于10的偶数列举出来，有如下9种不同取法： （0，1，3），（0，1，5），（0，1，7），（0，3，5），（0，2，4），（0，2，6），（1，2，3）， （1，2，5），（1，3，4）。

因此，符合题设要求的取法有35C +15C 25C －9=51种。

例2、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一。

若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也 停止跳动。

那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种。

（1997年全国高中数学联赛）解：如图：青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D 点。

故青蛙的跳法只有下列两种：（1）青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED 两种跳法。

（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，AFAF ，ABAF ，ABCB ，ABAB ，AFAB 这6种跳法。

随后的两次跳法各有四种，比如由F出发的有：FEF ，FED ，FAF ，FAB 共4种。

因此这5次跳法共有 6⨯4=24种不同跳法。

∴一共有2+24=26种不同跳法。

排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

【最新整理，下载后即可编辑】高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

高中数学中的排列组合问题解析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和工具，用于解决各种实际问题和数学题目。

排列组合问题涉及到对一组元素进行选择、排列或组合的方式和方法。

在本文中，我们将对排列组合问题进行详细解析，包括排列、组合、二项式定理等内容。

一、排列排列是指从一组元素中选取一部分元素按照一定的顺序进行排列的方式。

排列问题可以分为有放回排列和无放回排列两种情况。

有放回排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，选取的元素在排列过程中可以重复使用。

例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行排列，可以得到以下六种排列：12、21、13、31、23、32。

无放回排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，选取的元素在排列过程中不可重复使用。

例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行排列，可以得到以下两种排列：12、21。

二、组合组合是指从一组元素中选取一部分元素按照任意的顺序进行组合的方式。

组合问题也可以分为有放回组合和无放回组合两种情况。

有放回组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合，选取的元素在组合过程中可以重复使用。

例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行组合，可以得到以下三种组合：11、12、22。

无放回组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合，选取的元素在组合过程中不可重复使用。

例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行组合，可以得到以下三种组合：12、13、23。

三、二项式定理二项式定理是排列组合问题中的一个重要定理，它描述了两个数的幂次展开的规律。

二项式定理可以用于计算排列组合问题中的各种情况。

二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1) + C(n, n)b^n其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素进行组合的方式数，也称为组合数。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学竞赛讲义（十八）──组合一、方法与例题1．抽屉原理。

例1 设整数n≥4,a1,a2,…,an是区间(0,2n)内n个不同的整数，证明：存在集合{a1,a2,…,an}的一个子集，它的所有元素之和能被2n整除。

[证明] （1）若n{a1,a2,…,an},则n个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。

由抽屉原理知其中必存在两个数ai ,aj(i≠j)属于同一集合，从而ai +aj=2n被2n整除；（2）若n∈{a1,a2,…,an}，不妨设a n=n，从a1,a2,…,a n-1(n-1≥3)中任意取3个数a i, a j, a k(a i,<a j< a k)，则a j-a i与a k-a i中至少有一个不被n整除，否则a k-a i=(a k-a j)+(a j-a i)≥2n，这与a k∈(0,2n)矛盾，故a1,a2,…,a n-1中必有两个数之差不被n整除；不妨设a1与a2之差(a2-a1>0)不被n整除，考虑n个数a 1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+an-1。

ⅰ）若这n个数中有一个被n整除，设此数等于kn，若k为偶数，则结论成立；若k为奇数，则加上an=n知结论成立。

ⅱ）若这n个数中没有一个被n整除，则它们除以n的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n的余数相同，它们之差被n整除，而a2-a1不被n整除，故这个差必为a i, a j, a k-1中若干个数之和，同ⅰ）可知结论成立。

2．极端原理。

例2 在n×n的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n。

证明：表中所有数之和不小于。

[证明] 计算各行的和、各列的和，这2n个和中必有最小的，不妨设第m行的和最小，记和为k，则该行中至少有n-k个0，这n-k个0所在的各列的和都不小于n-k，从而这n-k列的数的总和不小于(n-k)2，其余各列的数的总和不小于k2，从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k2≥3.不变量原理。

高中数学竞赛同步讲义——组合数学基础一、基础知识梳理1、集合覆盖、分类、拆分2、分类原理3、容斥原理4、加法原理5、极端原理6、抽屉原理7、平均量重叠原则8、面积的重叠原理一、基础题型例析1、抽屉原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：（1）13个人中至少有两个人出生在相同月份；（2）某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日；（3）2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11；（4）把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数. 这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。

在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。

这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也称“鸽巢原理”（一）抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。

例1．（1978年广东省数学竞赛题）已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。

证明：至少有两个点之间的距离不大于1/2.例2 （第14届1M0试题）一个集合含有10个互不相同的两位数，试证明：这两个集合必有两个无公共元素的子集合，此两子集的各元素之和相等.例3．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。

例4．从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。

例4说明：（2）如果我们按照（1）中的递推方法依次造“抽屉”，则第7个抽屉为{26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39}；第8个抽屉为：{40，41，42，…，60}；第9个抽屉为：{61，62，63，…，90，91}；……那么我们可以将例3改造为如下一系列题目：（1）从前16个自然数中任取6个自然数；……（2）从前39个自然数中任取8个自然数；……（3）从前60个自然数中任取9个自然数；……（4）从前91个自然数中任取10个自然数；……上述第（4）个命题，就是前苏联基辅第49届数学竞赛试题。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

第十八章 组合1．抽屉原理。

例1 设整数n ≥4,a 1,a 2,…,a n 是区间(0,2n)内n 个不同的整数，证明：存在集合{a 1,a 2,…,a n }的一个子集，它的所有元素之和能被2n 整除。

[证明] （1）若n ∉{a 1,a 2,…,a n },则n 个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。

由抽屉原理知其中必存在两个数a i ,a j (i ≠j)属于同一集合，从而a i +a j =2n 被2n 整除；（2）若n ∈{a 1,a 2,…,a n }，不妨设a n =n ，从a 1,a 2,…,a n -1(n-1≥3)中任意取3个数a i , a j , a k (a i ,<a j < a k )，则a j -a i 与a k -a i 中至少有一个不被n 整除，否则a k -a i =(a k -a j )+(a j -a i )≥2n ，这与a k ∈(0,2n)矛盾，故a 1,a 2,…,a n-1中必有两个数之差不被n 整除；不妨设a 1与a 2之差(a 2-a 1>0)不被n 整除，考虑n 个数a 1,a 2,a 1+a 2,a 1+a 2+a 3,…,a 1+a 2+…+a n-1。

ⅰ）若这n 个数中有一个被n 整除，设此数等于k n ，若k 为偶数，则结论成立；若k 为奇数，则加上a n =n 知结论成立。

ⅱ）若这n 个数中没有一个被n 整除，则它们除以n 的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n 的余数相同，它们之差被n 整除，而a 2-a 1不被n 整除，故这个差必为a i , a j , a k-1中若干个数之和，同ⅰ）可知结论成立。

2．极端原理。

例2 在n ×n 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n 。

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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试)与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1。

平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点,欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题.几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴.面积方法,复数方法，向量方法,解析几何方法。

2。

代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式,切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等，整系数多项式的有理根＊，多项式的插值公式＊。

n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程＊3。

初等数论同余，欧几里得除法,裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数［x］，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理＊.4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

高中数学排列组合解题技巧在高中数学的学习中，排列组合是一种基础的数学概念，其应用范围广泛，尤其在数学竞赛中经常会涉及到。

对于初学者来说，掌握排列组合解题技巧是十分重要的，以下是我总结的一些技巧，希望能够帮助到大家。

一、排列组合的基本概念排列组合是指从若干元素中选择若干元素形成集合的方法。

其中，排列与组合的区别主要在于是否考虑元素的先后次序。

排列：从n个不同元素中取出m个元素按照一定的顺序排列，称为n 个不同元素中取m个元素的排列，通常表示为A（n，m）。

组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序的组合方式称为n个不同元素中取m个元素的组合，通常表示为C（n，m）。

二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法对于一个排列问题，我们可以采用以下的公式进行计算：A（n，m）= n! / (n - m)!这个公式的意思是，在n个元素中选择m个元素，有n!种不同的排列方式，但是对于每m个元素组成的排列，其内部元素顺序有m!种不同的排列方式，因此最终的排列结果就是n! / (n - m)!。

2. 组合的计算方法对于一个组合问题，我们可以采用以下的公式进行计算：C（n，m）= A（n，m）/ m! = n! / (m! * (n - m)!)这个公式的意思是，在n个元素中选择m个元素，有A（n，m）种不同的排列方式，但是由于我们不考虑元素的顺序，因此我们需要将这些排列方式除以m!（即m个元素内部可以互相交换的排列方式）。

最终的组合结果就是A（n，m）/ m! = n! / (m! * (n - m)!).三、排列组合问题的应用在解决排列组合的问题时，需要灵活掌握一些技巧，以下是一些常见的应用技巧。

1. 交换变量的位置对于一个排列问题，如果要求的是任意两个元素的不同排列方式数量，我们可以将两个元素的位置互换，得到不同的排列方式，因此需要将所有的不同排列数量乘以2。

2. 选择子集对于一个组合问题，如果需要求出n个元素中取m个元素的所有组合方式，我们可以先选择第一个元素，再从剩下的n-1个元素中选择m-1个元素，从而得到选择第一个元素的组合方式。

§16排列，组合1．排列组合题的求解策略（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略．（2）分类与分步有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为311C ，这也就是方程12=+++d c b a 的正整数解的个数．2．圆排列（1）由},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中，每次取出r 个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．（2）圆排列有三个特点：（i ）无头无尾；（ii ）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii ）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．（3）定理：在},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中，每次取出r 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为rP r n ． 3．可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．在m 个不同的元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第n 位是的选取元素的方法都是m 种，所以从m 个不同的元素中，每次取出n 个元素的可重复的排列数为n m ．4．不尽相异元素的全排列如果n 个元素中，有1p 个元素相同，又有2p 个元素相同，…，又有s p 个元素相同（n p p p s ≤+++ 21），这n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的n 个元素的全排列，它的排列数是!!!!21s p p p n ⋅⋅⋅ 5．可重组合（1）从n 个元素，每次取出p 个元素，允许所取的元素重复出现p ,,2,1 次的组合叫从n 个元素取出p 个有重复的组合．（2）定理：从n 个元素每次取出p 个元素有重复的组合数为：r p n p n C H )1(-+=．例题讲解1．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？2．有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？3．有n 2个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？4．将1+n 个不同的小球放入n 个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法？5．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少个？6．用8个数字1,1，7,7，8,8，9,9可以组成不同的四位数有多少个？7．用E D C B A ,,,,五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方式？8．某种产品有4只次品和6只正品（每只产品可区分），每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？9．在平面上给出5个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？10．位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有多少种？11．某城市有6条南北走向的街道，5条东西走向的街道．如果有人从城南北角（图A 点）走到东南角中B 点最短的走法有多少种？12．用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位的奖号，共有多少种可能的号码？13．将r 个相同的小球，放入n 个不同的盒子（n r ）．（1）有多少种不同的放法？（2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？14．8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩．（只要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的）课后练习1．8次射击，命中3次，其中愉有2次连续命中的情形共有（ ）种（A ）15 （B ）30 （C ）48 （D ）602．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

组合优化与组合构造讲义林常§1.概述一.组合数学题型1.计数2.存在性3.构造4.最值二.主要方法1.递推与归纳.(1).I型归纳法.定跨度:起点个数等于跨度.不定跨度:起点个数等于1.递推关系的阶数与初始条件.(2).II型归纳法(最小数原理).设P(n)是关于正整数的命题.若由P(n)不成立可推出存在正整数n′<n使得P(n′)不成立.则P(n)对一切正整数成立.(3).倒推归纳法.设A是N*的无穷子集.若P(n)在A上成立,且由P(n)成立及n>1可推出P(n－1)成立.则P(n)对一切正整数成立.(4).乘积归纳法.若P(n)对全体素数成立,且由P(m)及P(n)成立可推出P(mn)成立.则P(n)对一切大于1的正整数成立.若P(n)对全体素数幂成立,且由P(m),P(n)成立及(m,n)=1可推出P(mn)成立.则P(n)对一切大于1的正整数成立.2.调整法(向较优目标逼近).设φ: S→R有最大(小)值(例如,当φ(S)为有限集或φ在紧集S上连续时).若S 的子集A满足:对任一x∈S\A,都有x′∈S使得φ(x′)>(<) φ(x).则φ的最大(小)值点在A中.3.化归(类比,对应)常用的化归模型:赋值(代数化),填表(二元关系),画图(几何,图论),剩余类(整除关系),不定方程解数.棋盘路线.Veen图.数量关系:设φ : A→B, A,B为有限集.则当φ为单射,满射,双射时分别有|A|≤|B|, |A|≥|B|, |A|=|B|.4.算两次(Fubini原理)从不同角度计算(估计)特征量的和数或特征形的个数.累次求和式的换序.由求和区域的边界定上下限.§2.组合优化(最值)一.优化方法(无表达式函数的最值)1.界的估计(对适当的特征量作合理的放缩)与实现(构造),或根据美学观点猜测最优对象再证明相应的不等式.2.调整法.在定义集内(保持约束条件)向较优方向(平均,极端,排序)逼近.离散最值(函数型,排序型)的基本手段.3.递推法二.例题选讲1.设a 1, a 2, ... , a 10是10个两两不同的正整数,它们的和为1995， 试求a 1a 2+a 2a 3+...+a 9a 10+a 10a 1的最小值。

高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的组合与排列问题高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与概率一、排列与组合基础知识在学习排列组合与概率之前，我们首先需要了解一些基础的排列与组合知识。

1. 排列排列是从一组元素中选取出若干元素按照一定的顺序排列的方式。

这些元素可以是数字、字母、物品等。

如果从 n 个元素中选取 m 个进行排列，则表示为 P(n, m) 或 nPm，排列的公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!2. 组合组合是从一组元素中选取出若干元素而不考虑顺序的方式。

与排列不同，组合只关心元素的选择而不涉及元素的顺序。

如果从 n 个元素中选取 m 个进行组合，则表示为 C(n, m) 或 nCm，组合的公式为：C(n, m) = n! / [m! * (n - m)!]二、排列组合的应用排列组合的应用广泛，不仅限于数学领域，在实际生活中也能见到许多与排列组合相关的问题。

下面列举几个常见的应用场景：1. 抽奖问题在抽奖活动中，我们常会遇到从一堆奖品中抽取若干个奖品的问题，这就涉及到组合的应用。

2. 选课问题学校的选课系统通常会要求学生从众多课程中选择若干门进行学习，这就是一个排列问题。

3. 组队问题在进行体育竞赛或其他集体活动时，我们需要将一群人分成几个小组，这就是一个组合问题。

三、排列组合的公式总结在实际应用中，我们常常需要用到排列组合的公式来解决问题。

下面是一些常见的排列组合公式：1. 排列公式：- 样本不放回排列：P(n, m) = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - m + 1)- 样本放回排列：P(n, m) = n^m2. 组合公式：- C(n, m) = C(n, n - m)- C(n, m) = P(n, m) / m!- C(n, m) * C(m, k) = C(n, k) * C(n - k, m - k)四、概率与排列组合的关系排列组合与概率有着密切的关系，概率问题常常需要借助排列组合的概念来求解。