2018年高考数学二轮复习(江苏版)14个填空题专项强化练(六)三角恒等变换与解三角形 Word版 含答案

第六讲 三角恒等变换与解三角形1.(2018某某某某模拟)已知tanα=34,α∈(0,π),则cos (α+π6)的值为( ) A.4√3-310B.4√3+310C.4-3√310D.3√3-4102.(2018某某某某模拟)√3cos15°-4sin 215°cos15°=( ) A.12 B.√22C.1D.√23.(2018课标全国Ⅲ(理),9,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为α2+α2-α24,则C=( ) A.π2B.π3C.π4D.π64.(2018某某六校联考)在△ABC 中,cos 2α2=α+α2α(a,b,c 分别为角A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形5.(2018某某某某第一次统考)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若a,b,c 成等比数列,且a 2=c 2+ac-bc,则ααsin α=( )A.2√33B.√32 C.12 D.√36.(2018某某某某调研)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,且2bcosC=2a+c,则B=( ) A.π6B.π4C.π3D.2π37.(2018某某某某监测)在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若12bcosA=sinB,且a=2√3,b+c=6,则△ABC 的面积为.8.(2018某某某某调研)在钝角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=4,b=3,则c 的取值X 围是.9.(2018某某某某模拟)如图,在直角梯形ABDE 中,已知∠ABD=∠EDB=90°,C 是BD 上一点,AB=3-√3,∠ACB=15°,∠ECD=60°,∠EAC=45°,则线段DE 的长度为.10.(2018某某某某模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,btanB+btanA=2ctanB,且a=5,△ABC 的面积为2√3,则b+c的值为.11.(2018某某某某模拟)在△ABC中,D是BC边的中点,AB=3,AC=√13,AD=√7.(1)求BC边的长;(2)求△ABC的面积.). 12.(2018某某,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(α-π6(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.13.(2018某某黄冈模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若23cos 2A+cos2A=0,且△ABC 为锐角三角形,a=7,c=6,求b 的值; (2)若a=√3,A=π3,求b+c 的取值X 围.14.(2018某某湘东五校联考)已知函数f(x)=√32sin2x-cos 2x-12.(1)求f(x)的最小值,并写出取得最小值时的自变量x 的集合;(2)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且c=√3,f(C)=0,若sinB=2sinA,求a,b 的值.答案精解精析1.A 因为tanα=34,α∈(0,π),所以sinα=35,cosα=45,故cos (α+π6)=cosαcos π6-sinαsin π6=45×√32-35×12=4√3-310,故选A.2.D 解法一:√3cos15°-4sin 215°cos15°=√3cos15°-2sin15°·2sin15°cos15°=√3cos15°-2sin15°·sin 30°=√3cos15°-sin15°=2cos(15°+30°)=2cos45°=√2.故选D. 解法二:因为cos15°=√6+√24,sin15°=√6-√24,所以√3cos15°-4sin215°·cos15°=√3×√6+√24-4×(√6-√24)2×√6+√24=√6+√24×(√3-8-4√34)=√2.故选D.3.C 根据余弦定理得a 2+b 2-c 2=2abcosC,因为S △ABC =α2+α2-α24,所以S △ABC =2ααcos α4,又S △ABC =12absinC,所以tanC=1,因为C∈(0,π),所以C=π4.故选C.4.A 已知等式变形得cosB+1=αα+1,即cosB=αα①.由余弦定理得cosB=α2+α2-α22αα,代入①得α2+α2-α22αα=αα,整理得b 2+a 2=c 2,即C 为直角,则△ABC 为直角三角形.5.A ∵a,b,c 成等比数列,∴b 2=ac,∴sin 2B=sinA×sinC,又a 2=c 2+ac-bc=c 2+b2-bc,∴cosA=α2+α2-α22αα=αα2αα=12,∴sinA=√32,∴ααsin α=sin αsin 2B =1sin α=√3=2√33,故选A.6.D 因为2bcosC=2a+c,所以由正弦定理可得2sinBcosC=2sinA+sinC=2sin(B+C)+sinC=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC,即2cosBsinC=-sinC,又sinC≠0,所以cosB=-12,又0<B<π,所以B=2π3,故选D.7.答案 2√3 解析 由题意可知cos α2=sin αα=sin αα,又a=2√3,所以tanA=√3,所以A=π3,由余弦定理得12=b 2+c 2-bc,又b+c=6,所以bc=8,从而△ABC 的面积为12bcsinA=12×8×sin π3=2√3. 8.答案 (1,√7)∪(5,7)解析 三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,据此可得1<c<7,① 若∠C 为钝角,则cosC=α2+α2-α22αα=25-α224<0,解得c>5,②若∠A 为钝角,则cosA=α2+α2-α22αα=α2-76α<0,解得0<c<√7,③结合①②③可得c 的取值X 围是(1,√7)∪(5,7). 9.答案 6解析 在Rt△ABC 中,因为AB=AC·sin∠ACB,所以3-√3=AC·sin15°, 又sin15°=√6-√24,所以可得AC=2√6.又易知∠AEC=30°,所以在△ACE 中,由ααsin45°=2√6sin30°,得EC=4√3.于是在Rt△CDE 中,由∠ECD=60°,可得DE=EC·sin60°=4√3×√32=6.10.答案 7解析 在△ABC 中,由btanB+btanA=2ctanB 及正弦定理,得sin 2B cos α+sin αsin αcos α=2sin αsin αcos α,由于sinB≠0,故sin αcos α=2sin α-sin αcos α,即sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA,整理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA,由两角和的正弦公式及诱导公式,得sin(A+B)=sinC=2sinCcosA,由于sinC≠0,故等式两端同除以sinC 可得cosA=12,所以sinA=√32,因为S △ABC =12bcsinA=√34bc=2√3,所以bc=8,由cosA=α2+α2-α22αα=(α+α)2-2bc -α22αα=12,a=5,可得b+c=7.11.解析 (1)设BD=x,则BC=2x, 在△ABD 中,有cos∠ABD=αα2+B α2-A α22αα·αα=9+α2-72×3α,在△ABC 中,有cos∠ABC=αα2+B α2-A α22αα·αα=9+4α2-132×3×2α, 且∠ABD=∠ABC,即9+α2-72×3α=9+4α2-132×3×2α,得x=2,∴BC=4.(2)由(1)可知,cosB=12,又由B∈(0,π),得sinB=√32, ∴S △ABC =12·AB·BC·sinB=12×3×4×√32=3√3.12.解析 (1)在△ABC 中,由αsin α=αsin α可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos (α-π6),得asinB=acos (α-π6),即sinB=cos (α-π6),可得tanB=√3.又因为B∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2accosB=7,故b=√7. 由bsinA=acos (α-π6),可得sinA=√3√7.因为a<c,故cosA=√7.因此sin2A=2sinAcosA=4√37,cos2A=2cos 2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=4√37×12-17×√32=3√314.13.解析 (1)∵23cos 2A+cos2A=23cos 2A+2cos 2A-1=0, ∴cos 2A=125,又A 为锐角,∴cosA=15,由a 2=b 2+c 2-2bccosA,代入已知数据得b 2-125b-13=0, 解得b=5(负值舍去),∴b=5. (2)解法一:由正弦定理可得 b+c=2(sinB+sinC) =2[sin α+sin (2π3-B )]=2√3sin (α+π6),∵0<B<2π3,∴π6<B+π6<5π6,∴12<sin (α+π6)≤1, ∴b+c∈(√3,2√3].解法二:由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA 可得b 2+c 2-3=bc, 即(b+c)2-3=3bc≤34(b+c)2,当且仅当b=c 时取等号,∴b+c≤2√3,又由两边之和大于第三边可得b+c>√3, ∴b+c∈(√3,2√3]. 14.解析 (1)f(x)=√32sin2x-1+cos2α2-12=√32sin2x-cos2α2-1 =sin (2α-π6)-1.当2x-π6=2kπ-π2(k∈Z),即x=kπ-π6(k∈Z)时,f(x)取最小值-2, 此时自变量x 的集合为 {α|x =kπ-α6,k∈Z }.(也可写成{α|x =kπ+5α6,k∈Z }).(2)因为f(C)=0,所以sin (2α-π6)-1=0,又0<C<π, 所以2C-π6=π2,即C=π3.在△ABC 中,sinB=2sinA,由正弦定理知b=2a,又c=√3,所以由余弦定理知(√3)2=a 2+b 2-2abcos π3,即a 2+b 2-ab=3,联立,得{α2+α2-ab =3,α=2α,所以{α=1,α=2.。

专项限时集训(六) 数列中的证明、探索性和存在性、不定方程的解等综合问题(对应学生用书第123页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 3＝4，{a n }的前3项和为7.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －3)2n＋3，设数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－1n.[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，由已知得q >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1＋a 1q ＋4＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.4分(2)证明：当n ＝1时，a 1b 1＝1，且a 1＝1，解得b 1＝1. 6分当n ≥2时，a n b n ＝(2n －3)2n＋3－(2n －2－3)2n －1－3＝(2n －1)·2n －1.∵a n ＝2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝2n －1.8分∵b 1＝1＝2×1－1满足b n ＝2n －1， ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)． ∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴S n ＝n 2.10分∴当n ＝1时，1S 1＝1＝2－11.当n ≥2时，1S n ＝1n 2<1nn －＝1n －1－1n. ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－11＋11－12＋…＋1n －1－1n ＝2－1n.14分2．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如果无穷数列{a n }满足下列条件：①a n ＋a n ＋22≤a n ＋1；②存在实数M ，使a n ≤M .其中n ∈N *，那么我们称数列{a n }为Ω数列．(1)设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n，且是Ω数列，求M 的取值范围；(2)设{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74，证明：数列{S n }是Ω数列；(3)设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n ≤d n ＋1.【导学号：56394106】[解] (1)∵b n ＋1－b n ＝5－2n，∴当n ≥3，b n ＋1－b n ＜0，故数列{b n }单调递减； 当n ＝1,2时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3， 则数列{b n }中的最大项是b 3＝7，所以M ≥7.2分(2)证明：∵{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74，设其公比为q ＞0，∴c 3q 2＋c 3q ＋c 3＝74.整理，得6q 2－q －1＝0，解得q ＝12，q ＝－13(舍去)．∴c 1＝1，c n ＝12n －1，S n ＝2－12n －1＝S n ＋2，S ＜2.对任意的n ∈N *，有S n ＋S n ＋22＝2－12n －12n ＋2＜2－12n ＋1＝S n ＋1，且S n ＜2，故{S n }是Ω数列.8分(3)证明：假设存在正整数k 使得d k ＞d k ＋1成立，由数列{d n }的各项均为正整数，可得d k ≥d k＋1＋1，即d k ＋1≤d k －1.因为d k ＋d k ＋22≤d k ＋1，所以d k ＋2≤2d k ＋1－d k ≤2(d k －1)－d k ＝d k －2.由d k ＋2≤2d k ＋1－d k 及d k ＞d k ＋1得d k ＋2＜2d k ＋1－d k ＋1＝d k ＋1，故d k ＋2≤d k ＋1－1.因为d k ＋1＋d k ＋32≤d k ＋2，所以d k ＋3≤2d k ＋2－d k ＋1≤2(d k ＋1－1)－d k ＋1＝d k ＋1－2≤d k －3，由此类推，可得d k ＋m ≤d k －m (m ∈N *)．又存在M ，使d k ≤M ，∴m ＞M ，使d k ＋m ＜0，这与数列{d n }的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意n ∈N *，都有d n ≤d n ＋1成立.14分3．(本小题满分14分)设数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N *.[证明] (1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，得|a n |－12|a n ＋1|≤1， 故|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n －1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1<1，因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2). 4分(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m >n ，|a n |2n －|a m |2m＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m－1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1<12n －1，故|a n |<⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＋|a m |2m·2n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1＋12m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ·2n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n.10分从而对于任意m >n ，均有|a n |<2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n.①由m 的任意性得|a n |≤2. 否则，存在n 0∈N *，有|an 0|>2， 取正整数m 0>log 34|an 0|－22n 0且m 0>n 0，则2n 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34m 0<2n 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 34|an 0|－22n 0＝|an 0|－2，与①式矛盾．综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.14分4．(本小题满分16分)(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知n 为正整数，数列{a n }满足a n ＞0,4(n ＋1)a 2n －na 2n ＋1＝0，设数列{b n }满足b n ＝a 2ntn .(1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 为等比数列； (2)若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值；(3)若数列{b n }是等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 21S n －a 41n 2＝16b m 成立，求满足条件的所有整数a 1的值．[解] (1)证明：数列{a n }满足a n ＞0,4(n ＋1)a 2n －na 2n ＋1＝0，∴2n ＋1a n ＝na n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝2·a nn， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是以a 1为首项，以2为公比的等比数列.4分 (2)由(1)可得：a n n＝a 1×2n －1，∴a 2n ＝na 21·4n －1. ∵b n ＝a 2n t n ，∴b 1＝a 21t ，b 2＝a 22t 2，b 3＝a 23t 3，∵数列{b n }是等差数列，∴2×a 22t 2＝a 21t ＋a 23t3，∴2×2a 21×4t ＝a 21＋3a 21×42t2， 化为：16t ＝t 2＋48，解得t ＝12或4.8分(3)数列{b n }是等差数列，由(2)可得：t ＝12或4.①t ＝12时，b n ＝na 21·4n －112n＝na 214×3n ，S n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2112＋na 214×3n 2，∵对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 21S n －a 41n 2＝16b m 成立，∴8a 21×n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2112＋na 214×3n 2－a 41n 2＝16×ma 214×3m ，∴a 21⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋n23n －n 2＝4m 3m ，n ＝1时，化为：－13a 21＝4m 3m ＞0，无解，舍去．②t ＝4时，b n ＝na 21·4n －14n＝na 214，S n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 214＋na 2142，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 21S n －a 41n 2＝16b m 成立，∴8a 21×n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 214＋na 2142－a 41n 2＝16×ma 214，∴na 21＝4m ，∴a 1＝2mn .∵a 1为正整数，∴m n ＝12k ，k ∈N *. ∴满足条件的所有整数a 1的值为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 1⎪⎪⎪⎭⎪⎫a 1＝2m n，n ∈N *，m ∈N *，且m n ＝12k ，k ∈N *. 16分5．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足：a 1＝14，a 2＝34，2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足：b 1<0,3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n . (1)求证：数列{b n －a n }为等比数列；(2)求证：数列{b n }为递增数列；(3)若当且仅当n ＝3时，S n 取得最小值，求b 1的取值范围.【导学号：56394107】[解] (1)证明：∵2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．∴{a n }是等差数列． 又∵a 1＝14，a 2＝34，∴a n ＝14＋(n －1)·12＝2n －14，∵b n ＝13b n －1＋n 3(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＋1－a n ＋1＝13b n ＋n ＋13－2n ＋14＝13b n －2n －112＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －2n －14＝13(b n －a n )． 又∵b 1－a 1＝b 1－14≠0，∴{b n －a n }是以b 1－14为首项，以13为公比的等比数列.(2)证明：∵b n －a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，a n ＝2n －14.∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋2n －14.当n ≥2时，b n －b n －1＝12－23⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2.又b 1<0，∴b n －b n －1>0. ∴{b n }是单调递增数列.10分(3)∵当且仅当n ＝3时，S n 取最小值．∴⎩⎪⎨⎪⎧b 3<0，b 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧54＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫132<0，74＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫133>0，∴b 1∈(－47，－11). 16分。

专题四立体几何(时间∶120分钟满分∶160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(2018·湖南)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.2.已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；④若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，其中所有真命题的序号是________．3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．4．有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．5.如图所示，用平行于AD且过BC的平面BCFE截长方体，得到几何体ABCD－A1EFD1，设AB＝BC＝5，B1E＝4，其主视图的面积为6，则其左视图的面积为________．6．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写你认为正确的一个命题______________．7．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________．8．已知几何体的三视图(如图)，则该几何体的体积为______________．9．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________．10.如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BD⊥EF.现有：①AC⊥β；②AC与α，β的夹角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是________(填上你认为正确的所有答案序号)．11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1=2，∠ABC=90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点最短路径的长度是 .12.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为____________．13．已知直线a，b和平面α，β，试利用上述元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断α∥β的真命题：______________________________________________________.14.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为____________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(14分)(2018·安徽)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB．16.(14分)如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)求三棱锥E－PAD的体积；(2)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(3)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.17.(14分)如图：四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD＝90°，面PAD⊥面ABCD，AB＝1，AD＝2，E、F分别为PC和BD的中点．(1)证明：EF∥面PAD；(2)证明：面PDC⊥面PAD；(3)求四棱锥P－ABCD的体积．18.(16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；(2)点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定实数t 的值，使得PA ∥平面MQB .19．(16分)四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB＝2，M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定点N 的位置；若不 存在，请说明理由．20．(16分)(2018·北京)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE .答案1.42.②④3.73πa 2 4.2πa 2 5.10 6．可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个7. 5 8.423 9. 16π 10.①③12.8 3 13. a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β14．8 315．(1)证明 如图(1)，设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连接EG ，GH .又H 为BC 的中点，∴GH 綊12AB .又EF 綊12AB ，∴EF 綊GH .∴四边形EFHG 为平行四边形．∴EG ∥FH .而EG ⊂平面EDB ，∴FH ∥平面EDB .(2)证明 由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC . 图（1）又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABCD .∴FH ⊥AC .又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB .16．(1)解 三棱锥E －PAD 的体积V ＝13PA ·S △ADE ＝13PA ·(12·AD ·AB )＝36. (2)解 当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行.∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC ，又EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴EF ∥平面PAC .(3)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥PA ，又BE ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ，AB ，PA ⊂平面PAB ，∴BE ⊥平面PAB .又AF ⊂平面PAB ，∴AF ⊥BE .又PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点，∴PB ⊥AF ，又∵PB ∩BE ＝B ，PB ，BE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥平面PBE .∵PE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥PE .17．(1)证明 如图，连接AC ，∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点，∴AC 必经过F ，又E 是PC 的中点，所以EF ∥AP ，∵EF 在面PAD 外，AP 在面PAD 内，∴EF ∥面PAD .(2)证明 ∵面PAD ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，面PAD ∩面ABCD ＝AD ，∴CD ⊥面PAD ，∴CD ⊥AP .∵AP ⊥PD ，PD 和CD 是相交直线，∴AP ⊥面PCD ，又AP 在面PAD 内，所以面PDC ⊥面PAD .(3)解 作PH ⊥AD 于H ，∵△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，AD ＝2，∴PH ＝12AD ＝1. 又面PAD ⊥面ABCD ，∴PH ⊥面ABCD ，即PH 为棱锥P －ABCD 的高．S ABCD ＝2×1＝2.∴V P －ABCD ＝13×2×1＝23. 18．(1)证明 底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，所以AD ⊥QB ，又PA ＝PD ，则PQ ⊥AD ，所以AD ⊥平面PQB ，而AD ⊂面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD .(2)解 连接AC ，交QB 于O 点，连接OM ，BM ，QM ，若使得PA ∥平面MQB ，则PA ∥OM ，∵PM ＝tPC ，∴AO ＝tAC ，在底面菱形ABCD 中，可得t ＝13.19.(1)证明 取PD 中点E ，连接EM 、AE ，∴EM 綊12CD ，而AB 綊12CD ，∴EM 綊AB .∴四边形ABME 是平行四边形．∴BM ∥AE .∵AE ⊂平面APD ，BM ⊄平面APD ，∴BM ∥平面PAD .(2)解析 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB .而AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥PD .∵PA ＝AD ，E 是PD 的中点，∴PD ⊥AE .∴PD ⊥平面ABME .作MN ⊥BE ，交AE 于点N .∴MN ⊥平面PBD .易知△BME ∽△MEN .而BM ＝AE ＝2，EM ＝12CD ＝1，由EN EM ＝EM BM ，得EN ＝EM 2BM ＝12＝22，∴AN ＝22.即点N 为AE 的中点．20.证明 (1)如图，设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE . (2)连接FG .因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF. 所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.。

专题14 三角恒等变换与解三角形【高考导航】1．利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点．2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.【真题解析】1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725[解析] 解法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， ∴sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫352－1＝－725.故选D. 解法二：∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35，∴cos α＋sin α＝325，∴1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.[答案] D2．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A[解析] 解法一：因为sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ，即cos C (2sin B －sin A )＝0，所以cos C ＝0或2sin B ＝sin A ，即C ＝90°或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以0°<C <90°，故2b ＝a .故选A.解法二：由正弦定理和余弦定理得b ⎝⎛⎭⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝2a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ， 所以2b 2⎝⎛⎭⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝a 2＋3b 2－c 2， 即2b a(a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2－c 2， 即(a 2＋b 2－c 2)⎝⎛⎭⎫2b a －1＝0，所以a 2＋b 2＝c 2或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2>c 2，故2b ＝a ，故选A.[答案] A3．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.[解析] 由余弦定理得cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14， ∴cos ∠CBD ＝－14，sin ∠CBD ＝154， ∴S △BDC ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152. 又cos ∠ABC ＝cos2∠BDC ＝2cos 2∠BDC －1＝14， 0<∠BDC <π2，∴cos ∠BDC ＝104. [答案]152 104 4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．[解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A. 故sin B sin C ＝23. (2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12. 所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8. 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.【典例解析】考点一 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sin αcos α.(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α. 3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a . 【训练】1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13 D ．－79[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. [答案] D【训练】2．已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin2(α＋γ)＝3sin2β，则m ＝( ) A.12 B.34 C.32D ．2 [解析] 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A ·sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan A tan B＝2，故选D. [答案] D3．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________． [解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴cos2α＝－255，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55× 1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案]7π4(1)三角恒等变换的三原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如1题．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)解决条件求值应关注的三点①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．③求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如3题．考点二 解三角形1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状[解析] ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．[答案] B 角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算[解析] 由b sin B －a sin A ＝12a sin C 及正弦定理得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫342＝74.故选A.[答案] A 角度3：结合正、余弦定理进行面积的计算[思维流程] (1)代换A ＋C 为π－B →化简关系式→求出cos B (2)求sin B →结合面积公式求出ac →借助余弦定理求出b[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．【特别提醒】 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．【训练】1．[角度1]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 的形状一定是( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形[解析]在△ABC中，∵cos2A2＝b＋c2c，∴1＋cos A2＝sin B＋sin C2sin C＝12·sin Bsin C＋12，∴1＋cos A＝sin Bsin C＋1，∴cos A sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，∴sin A cos C＝0，sin A≠0，∴cos C＝0，∴C为直角．故选B.[答案] B【训练】2．[角度2]在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，则B＝()A.π6或5π6 B.π3 C.π6 D.5π6[解析]∵a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，∴由正弦定理可得sin A sin B cos C＋sin C sin B cos A＝12sin B. 又∵sin B≠0，∴sin A cos C＋sin C cos A＝12，解得sin(A＋C)＝sin B＝12.∵0<B<π，∴B＝π6或5π6.故选A.[答案] A【训练】3．[角度3]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．[解析]由正弦定理得，(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c，又a＝2，所以b2＋c2－bc＝4，所以cos A＝b2＋c2－42bc＝bc2bc＝12，故A＝π3.因为b2＋c2≥2bc，所以bc≤4，所以S△ABC＝12bc sin A≤12×4×32＝3，当且仅当b＝c时取等号．[答案] 3考点三 正、余弦定理的实际应用1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【训练】1．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km[解析] 画出示意图如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin30°sin45°＝3 2. [答案] B2．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.[解析] 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin30°＝DB sin15°，即DB ＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin45°＝252(3－1)sin (90°＋θ)，即25sin45°＝252(3－1)cos θ，得到cos θ＝3－1.[答案]3－1解三角形实际问题的4步骤【强化训练】一、选择题1．已知α为锐角，且7sin α＝2cos2α，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝( ) A.1＋358 B.1＋538C.1－358D.1－538[解析] 由7sin α＝2cos2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0， 解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358，故选A. [答案] A2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4[解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×sin π33＝22，所以A ＝π4或3π4.又a <b ，所以A <B ，所以A ＝π4.[答案] B3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－31010[解析] 设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22×102c ×c＝－1010，故选C. [答案] C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若满足c ＝2，a cos C ＝c sin A 的△ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(3，2)D ．(2，2)[解析] 因为a cos C ＝c sin A ，由正弦定理得sin A cos C ＝sin C sin A ，易知sin A ≠0，故tan C ＝1，所以C ＝π4.过点B 作AC 边上的高BD ，垂足为D ，则BD ＝22BC ，要使满足条件的△ABC 有两个，则BC >2>22BC ，解得2<BC <2.故选D.[答案] D5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析] 因为sin C ＝23sin B ，所以由正弦定理得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc ，得a ＝7b ，再由余弦定理可得cos A ＝32，所以A ＝π6.故选A. [答案] A6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积为312c ，则ab 的最小值为( )A.12B.13C.16D ．3 [解析] 由正弦定理及2c cos B ＝2a ＋b ，得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )，则2sin C ·cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，整理可得2sin B ·cos C ＋sin B ＝0，又0<B <π，所以sin B >0，则cos C ＝－12，因为0<C <π，所以C ＝2π3，所以sin C ＝32，则△ABC 的面积为12ab sin C ＝34ab ＝312c ，即c ＝3ab ，结合c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，可得a 2＋b 2＋ab ＝9a 2b 2，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ＋ab ≤9a 2b 2，即ab ≥13，当且仅当a ＝b ＝33时等号成立，故ab 的最小值是13.故选B. [答案] B 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sin B ＋sin C )b ＋(2c ＋b )sin C ，则A ＝________.[解析] 由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，故A ＝120°.[答案] 120°8．计算：4cos50°－tan40°＝________.[解析] 4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin (120°－40°)－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝ 3.[答案]39．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝45°，C 点的仰角∠CAB ＝60°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝45°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.[解析] 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝60°，BC ＝100 m ，所以AC ＝2003m.在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝45°， 从而∠AMC ＝60°，由正弦定理得AC sin60°＝AM sin45°，因此AM ＝20023m.在Rt △MNA 中，AM ＝20023m ，∠MAN ＝45°，得MN ＝2003m.[答案] 2003三、解答题10．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． [解] (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos2A ·sin π4＝7226. 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝⎛⎭⎫54c －a cos B ＝b cos A . (1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S . [解] ∵⎝⎛⎭⎫54c －a cos B ＝b cos A ，∴由正弦定理得⎝⎛⎭⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即有54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，则54sin C ·cos B ＝sin C .∵sin C >0，∴cos B ＝45.(1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝23.又∵a ＋b ＝10，∴a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5，∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0，解得c ＝10或c ＝－2(舍去)，∴S ＝12ac sin B ＝15.12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，且b ≥a ，求2b －c 的取值范围． [解] (1)由已知可得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2C －14sin 2C ， 化简得sin 2A ＝34，∴sin A ＝±32，又0<A <π，∴sin A ＝32，故A ＝π3或2π3. (2)由a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 因为b ≥a ，所以B ≥A ，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3且B ∈⎣⎡⎭⎫π3，2π3， 故2b －c ＝4sin B －2sin C＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6. 因为π3≤B <2π3，所以π6≤B －π6<π2，所以2b －c 的取值范围为[3，23)．。