初中数学苏科版九年级上册《切线长定理》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件

A
N
M
O
B
D
作法： 1、作BC的平分线BM 和CN，交点为O 2、过点O作OD⊥BC。 垂足为D。 3、以O为圆心，OD为 半径作圆O C ⊙O就是所求的圆。
想一想：根据作法和三角形 各边都相切的圆能作出几个？
例题讲解
例1:△ABC中，内切圆I与边BC、CA、AB
求(1)∠ EDF的度数。(2) ∠ BIC的度数
与三角形各边都相切的圆叫做 三角形的内切圆 三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的内心 这个三角形叫做圆的 外切三角形
图 23.2.12
三角形的内心就是三角形三条 内角平分线的交点 ，到三角形 三边距离相等.
解决问题
从一块三角形的材料上截下一块圆 形的用料，怎样才能使圆的面积尽 可能最大呢？
已知：△ABC 求作：和△ABC的各边都相切的圆
归纳： △ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,△ABC的面积为S
A
lr s 2
r
O
r r
B
r
C
2s r l
例题讲解
例4、已知：如图，E是△ABC的内心，∠A的 平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交 于点D （1）求证：DB=DE （2）若AD=8，DF：FA=1:3， 求DE的长.
例题讲解 例5、如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、 BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF=45 度．连接BO并延长交AC于点G，AB=4， AG=2． （1）求∠A的度数； （2）求⊙O的半径．
思考：
直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建 一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相 等，则可供选择的地址有( ) D
A
分别相切于点D、E、F，∠B=600， ∠C=700

S T
A C
.
B O D
D
E
例1 如图过圆外一点P作两条割线,分别交⊙O于A、B和C、D.再作⊙O
切线PE,E为切点,连结CE、DE.已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm . (2) 设CE=a,试用含a的代数式表示DE
解: 由弦切角定理,得∠CEP= ∠D
B
3
A 2 C
x
又∵∠CPE=∠EPD ,∴△CPE∽△EPD P ∴ DE PD
从圆外一点引圆的两条割 线,这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积 相等.
你能想出其它的办法来证 明切割线定理的推论吗?
P P
B
D
B
D
A
C
A
C
1.已知PT与圆O相切于T,过P的割线与圆
P
交 于A、B两点. (1) 若PA=3,PB=1则PT=
3 .
3 .
2 B 4 T 1
1
(2) 若PT=2,PB=1则AB=
（2）PA•PB=PE•PD （ （3） PA•AB=PE•ED （ （4） PT2=PC•PO （
.
B
O D
在上题中，若PO=5，r=2，你能求出
P
PA和PB的积吗？ 分析: 延长PO交⊙O于D PC=PO－CO=5－2=3 PD=PO + OD=5 + 2=7 PA•PB=PC•PD=21
O
A
C
.
B
D
例2 如图，A是圆O上的一点，过点A的切线交直径
CB的延长线于点P，AD⊥BC ，D为垂足。 求证： PB PO PD PC 证明： 连结OA PA切圆O于A OA⊥PA AD⊥PC PA切圆O于A

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二 切线长定理
合作探究
问题 在透明纸上画出以下图，设PA，PB是圆O的两 条切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，你能猜 测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？
猜测 PA=PB，∠APO=∠BPO
A
O
P
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推导与验证
如图，连接OA，OB.
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
CE
B
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
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设AD= x , BE= y ,CE＝ r
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c 2
A
F D O·
CE
B
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知识拓展
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，那么
Rt△ABC的内切圆的a半＋径2b－r＝c (前面课时已证明).
a＋a或bb＋r＝c
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当堂练习
1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO=20 ° ,PB= 4 . A P
O B
第1题
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2.如图，点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,那么∠BOC1=10 ° .
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
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练一练 1. PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3. 〔1〕假设AP=4,那么O5P= ;
〔2〕假设∠BPA=60 °,那么O6P= . A

d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.
∵OA=OB，CA=CB，
O
∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
证明：∵ AT=AB，
B
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠TAB=90°，
O.
∴BA⊥AT，
∴AT是⊙O的切线
T
A
4. 如图， AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切
线，A，B是切点. l1，l2有怎样的位置关系？证明你
的结论.【选自教材P98 练习第2题】
解： l1 ∥ l2.
A l1
证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线，
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.（ × ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （× ） ⑶ 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线. （ × ） ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ √ ） ⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ √ ）
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一 不可: (1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直.
课堂小结
切线的判 定方法
定义法 →1个公共点
证切线常作辅助线：
数量关系 →d=r,相切
有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并 判定定理 →且垂直于这条半径
的直线是圆的切线
切线的性 质定理
→
圆的切线垂直于 经过切点的半径