高考数学_冲刺必考专题解析_数学开放性问题问题

必考问题17 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题1．(2011·新课标全国)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )．A ．18B ．24C ．36D ．48答案： C [不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.]2．(2011·山东)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案：C [∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4＜y 0＋2，∴y 0＞2.]3．(2010·福建)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则O P →·F P →的取值范围为( )．A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 答案：B [如图，由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，O P →·F P →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)．令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )m i n ＝g (3)＝3＋2 3.∴O P →·F P →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]4．(2012·浙江)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.解析 因曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为|0－(－4)|2－ 2＝2 2－2＝2，则曲线C 1与直线l 不能相交，即x 2＋a ＞x ，∴x 2＋a －x ＞0.设C 1：y ＝x 2＋a 上一点为(x 0，y 0)， 则点(x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0|2＝－x 0＋x 20＋a2＝⎝⎛⎭⎫x 0－122＋a －142≥4a －14 2＝2，所以a ＝94.答案 94本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值.必备知识有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2；|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①|OP|∈[b，a]；②|PF1|∈[a－c，a＋c]；③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①|OP|≥a；②|PF1|≥c－a.(3)抛物线中的最值点P为抛物线y2＝2px(p＞0)上的任一点，F为焦点，则有①|PF|≥p 2；②A(m，n)为一定点，则|P A|＋|PF|有最小值．必备方法1．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.圆锥曲线中的定点、定值问题该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．难度较大．【例1】►(2012·湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．[审题视点][听课记录][审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可；(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系，其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证．(1)解法一设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝(x－5)2＋y2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0， 所以(x －5)2＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二 由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)证明 当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线P A ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.②由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1y 2＝20(y 0＋4k 1)k 1.④同理可得y 3y 4＝20(y 0＋4k 2)k 2.⑤于是由②，④，⑤三式得 y 1y 2y 3y 4＝400(y 0＋4k 1)(y 0＋4k 2)k 1k 2＝400[y 20＋4(k 1＋k 2)y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400(y 20－y 20＋16k 1k 2)k 1k 2＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400.解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．【突破训练1】 设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A ，B 两点．(1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵F (1,0)，∴直线L 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·36－4＝8.(2)证明 设直线L 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵O A →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值． 圆锥曲线中的最值、范围问题该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．【例2】► (2012·浙江)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)利用椭圆的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10求解．(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设为y ＝kx ＋m ，结合椭圆方程，线段AB 被直线OP 平分可求k 值．然后以AB 为底，点P 到直线AB 的距离为高表示出S △ABP 的表达式，借助导数求最值．解 (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2. 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，(1) 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 3＋4k 2，3m3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2. 得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程(1)为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则 Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2. 设点P 到直线AB 距离为d ，则 d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－2 3，0)∪(0,2 3)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－2 3，2 3]， u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6) ＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)． 所以当且仅当m ＝1－7，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7，S 取到最大值． 综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋2 7－2＝0.求最值或范围常见的解法：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值；(3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等．【突破训练2】 (2012·陕西五校联考)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )．A ．－2B ．－8116C ．1D ．0答案： A [由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.]圆锥曲线中探索性问题此类问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇．【例3】► (2011·重庆卷改编)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a 2c＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．[审题视点] [听课记录][审题视点] (1)利用e ＝22，a 2c＝22求a ，c .(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由OP →＝OM →＋2ON →可得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2，又点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，可得x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，再结合直线OM 与ON 的斜率之积为－12.可求得点P 满足方程x 2＋2y 2＝20.由椭圆的定义可求解．解 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知 k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20.所以P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论．【突破训练3】 (2012·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知，得直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理，得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 Δ＝8k 2－4×⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－22或k ＞22， 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由方程①，得x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2，②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2 2.③而A (2，0)，B (0,1)，AB →＝(－2，1)， 所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于将②③代入上式，解得k ＝22， 由(1)知k ＜－22或k ＞22，故没有符合题意的常数k .圆锥曲线“最”有应得椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的解题方法较灵活，学生时常感到无从下手．常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等，下面给同学们提供两种解法，只要掌握了它们，就可以“最”有应得．一、几何法求最值【示例1】► 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值．[满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.(2分)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y .(6分)(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝4 55.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10.于是，△ABP 面积的最大值为 12×4 10×4 55＝8 2.(12分) 老师叮咛：当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值问题时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两条平行线间的距离，就是所求的最值，切点就是曲线上取得最值的点，这种求最值的方法称为切线法．切线法的基本思想是数形结合，其中求曲线的切线方程需要利用导数知识，判断切线与曲线的最值需要借助几何图形的直观性，通过图形来确定何时取得最大值，何时取得最小值．二、函数法求最值【示例2】► (2012·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．[满分解答] (1)由e ＝ca＝a 2－b 2a 2＝ 23，得a ＝3b ， 椭圆C ：x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，设P (x ，y )为C 上任意一点，则|PQ |＝ x 2＋(y －2)2＝ －2(y ＋1)2＋3b 2＋6，－b ≤y ≤b .若b ＜1，则－b ＞－1，当y ＝－b 时，|PQ |max ＝ －2(－b ＋1)2＋3b 2＋6＝3，又b ＞0，得b ＝1(舍去)，若b ≥1，则－b ≤－1，当y ＝－1时，|PQ |max ＝ －2(－1＋1)2＋3b 2＋6＝3，得b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(6分)(2)法一 假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤ 3.由题意可得S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时取等号，这时△AOB 为等腰直角三角形， 此时圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离为22， 则1m 2＋n2＝22，得m 2＋n 2＝2，又m 23＋n 2＝1，解得m 2＝32，n 2＝12，即存点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22，⎝⎛⎭⎫－62，－22满足题意，且△AOB 的最大面积为12.(12分)法二 假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤3，又设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝1x 2＋y 2＝1，消去y 得(m 2＋n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0，①把n 2＝1－m 23代入①整理得(3＋2m 2)x 2－6mx ＋m 2＝0，则Δ＝8m 2(3－m 2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6m 3＋2m 2，x 1x 2＝m 23＋2m2，②而S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°，S △AOB 取得最大值12，此时OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝1－mx 1n ·1－mx 2n ＝3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 23－m 2，∴x 1x 2＋3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 23－m2＝0，即3－3m (x 1＋x 2)＋(3＋2m 2)·x 1x 2＝0， 把②代入上式整理得2m 4－9m 2＋9＝0， 解得m 2＝32或m 2＝3(舍去)，∴m ＝±62，n ＝±1－m 23＝±22，∴M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22，⎝⎛⎭⎫－62，－22，使得S △AOB 取得最大值12.(12分)老师叮咛：当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用函数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法．函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注．【试一试】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )． A.43 B.75 C.85D ．3 答案： A [可知过抛物线点的切线与直线4x ＋3y －8＝0平行时，所求的距离最小，y ′＝－2x .令－2x ＝－43，解得x ＝23，从而切点坐标为⎝⎛⎭⎫23，－49，切线方程为y ＋49＝－43⎝⎛⎭⎫x －23，即4x ＋3y －43＝0，由两平行线间距离公式，得点到直线的距离的最小值为d ＝⎪⎪⎪⎪－8－⎝⎛⎭⎫－4342＋324＝3.故选A.]。

福建省2023届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列三三角函数存在问题及应对策略（福建省2023高三复习备考指导组研制，张兵源、洪云执笔整理）三角函数内容是高中数学中的基础内容、也是重要内容之一，历年来在数学科高考中都占有重要地位．三角函数部分的全国卷高考试题呈现以下四个特点：（1）利用数形结合考查，通过图形分析、研究、总结三角函数的性质和图象特点；（2）利用三角公式考查，创设试题情境，灵活运用公式，解决问题；（3）利用真实情境考查，考查解三角形内容，体现三角函数的工具性作用；（4）体现思维深度，考查创新意识．在文理不分科的全国卷的新高考试题中，三角函数部分是六大解答题之一，一般是一大两小，难度控制中等．对三角函数的考查突出基础，体现综合，对恒等变形的要求和过去比有所下降，更多强调对公式的灵活运用，以三角函数作为背景的函数性质应用考查经常出现．随着新课标的实施和高中课程与高考的综合改革，2022年全国新高考Ⅰ卷考查一道单选题和一道解答题，单选题第6题考查sin()y A wx b ϕ=++型函数的图象与性质，解答题第18题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式．在学科思想的层面上，课程的教育功能和试题的考查功能是多元的，在三角函数核心知识的考查中充分展示了化归与转化思想的运用，考查了推理能力与数学运算等数学学科核心素养．表1：2017年--2020年全国Ⅰ卷三角函数考点分布统计表（理科）表2：2021年--2022年全国新高考Ⅰ卷三角函数考点分布统计表2022届高考是继2021年首届文理不分科且使用理科旧教材的第二届新高考，下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．一、存在的问题及归因分析 （一）概念理解不透彻本专题中，概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等．【例1】（2022·新高考Ⅰ）6．记函数()sin()4f x wx b π=++，(0)w >的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则()2f π= A ．1B ．32C ．52D ．3【解析】已知函数()sin()4f x wx b π=++，(0)w >的最小正周期为T ,2T wπ=，23T ππ<<，得223w πππ<<，23w ∴<<，()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，2b ∴=， 且3sin()024w ππ+=，则324w k πππ+=，21()34w k =-，k Z ∈，取4k =，可得52w =， 5()sin()224f x x π∴=++，53()sin()2sin 21212442f ππππ∴=++=+=-+=．故选A ．【评析】本题由已知周期T 的范围求得w 的范围，由对称中心求解w 与b 的值，可得函数()f x 解析式，从而求出()2f π的值．本题考查sin()y A wx b ϕ=++型函数的图象与性质，考查推理能力与数学运算等数学学科核心素养．本题解题关键在于从已知周期T 的范围去求w 的范围，进而求出k 的值，从而确定w 的值，得到函数()f x 的解析式．本题易错的主要原因：其一，对三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等模糊不清，从而无法求出w 的值来解决问题；本题的另一个易错点是学生未能正确求出k 值，导致错误.（二）整体意识较薄弱在三角函数专题中，常常出现三角求值问题．在求值过程中，整体意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：①找不准已知式与待求式之间的差别与联系，无法将角进行合理的拆分；②对角的结构特征分析不透，不能从整体的意识上去分析和思考问题等．【例2】（2022年·新高考Ⅱ）6．若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则A ．tan()1αβ-=B ．tan()1αβ+=C ．tan()1αβ-=-D ．tan()1αβ+=-【解析】解法一：已知sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，))sin 44ππαβαβ++=+，即sin()2cos()sin 44ππαβαβ++=+， sin()cos cos()sin 2cos()sin 444πππαβαβαβ∴+++=+， sin()cos cos()sin 044ππαβαβ∴+-+=， sin()04παβ∴+-=，4k παβπ∴+-=，k Z ∈，4k παβπ∴-=-+，tan()1αβ∴-=-．解法二：已知sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+,可得sin cos cos sin cos cos sin sin 2(cos sin )sin αβαβαβαβααβ++-=-， 即sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=， sin()cos()0αβαβ∴-+-=，tan()1αβ∴-=-．故选C ．【评析】本题解题关键在于利用辅助角公式和两角和差公式运算，方法二将sin()αβ+，cos()αβ+，)sin 4παβ+分别展开后，即可求解．本题考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，“从角的关系出发分析问题”与“从（同角）三角函数值的代数运算关系出发分析问题”，是我们在解决同类问题时最常用的两种途径.本题易错的主要原因：学生不能灵活应用公式，两角和差公式在展开过程中出错，或将已知条件复杂化，从而无法解决问题.（三）恒等变形欠灵活化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想．在三角恒等变形中，学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位，识别、选择、应用三角公式解决问题的能力不强，致使三角恒等变形转化不准确，造成后续求解繁琐或错误．【例3】（2021年·新高考Ⅰ）6．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A ．65-B ．25-C ．25 D ．65【解析】因为222sin (1sin 2)sin (sin 2sin cos cos )sin (sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++===++++ 2222222sin (sin cos )sin sin cos tan tan 2sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθθθ+++====+++．故选C ．【评析】与高中其他内容相比，三角函数知识的最大特点是公式多．通过对公式的应用，重点考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．学生在学习的过程中，要重视对公式的灵活运用，抓住公式之间存在的联系．同时，要特别注意理解公式之间的相互转化和相互推导．例如，诱导公式中角的周期性变化、正负取值，两角和与差公式中角的组合变化等．本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，解题关键从二倍角公式入手，利用22sin cos 1θθ+=化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．本题易错的主要原因：其一，学生对化归意识不强，不能将含有2θ的三角关系式转化为含有θ的三角关系式，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是对三角恒等变形转化不准确，不能快速地识别、选择、应用三角公式22sin cos 1θθ+=齐次化得tan θ，导致错误．三角恒等变形的实质是消除两个式子的差异，认真观察、比较已知条件与待求式子之间的联系，选择适当途径，将已知式与待求式化异为同，从而达到解题的目的．（四）数形结合不灵巧在本专题中，形数结合不灵巧主要表现在：对三角函数的图象与性质（周期性、单调性与对称性）的掌握情况不理想；对三角概念及三角函数三种表征的理解与变换不透彻；对三角函数的数形结合思想的运用以及基于三角函数的逻辑推理能力不强，尤其是识图、用图能力及利用三角公式进行三角恒变形的能力不强．【例4】（2022年·全国甲）11．设函数()sin()3f x wx π=+在区间(0,)π恰有三个极值点、两个零点，则w的取值范围是 A ．513,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】函数()sin()3f x wx π=+在区间(0,)π恰有三个极值点、两个零点，(0,)x π∈，(,)333wx w ππππ∴+∈+ 5323w ππππ∴<+≤ 13863w ∴<≤．故选C ．【评析】本题主要考查正弦三角函数图象与性质的应用问题，考察了数形结合解题思想，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．根据函数图象，可得出零点区间长度．三角函数是一种比较特殊的函数，侧重奇偶性、单调性、最值、含绝对值图象变换等，同时又体现了三角的特殊性，如周期性．三角函数的图象和性质几乎是每年高考必考的内容，此考点多结合三角公式设置综合问题，能够很好地体现数形结合的思想，考查学生的观察、分析和动手能力．此考点题目多为中档难度试题．在这部分内容的学习中要多利用图形解释、理解知识，这样能更好地理解比较抽象的概念，形成直观印象．在教学与学习中，应该视为函数体系中的一部分．因此，在三角函数的教学过程中，教师应该引导学生根据一般的函数研究思路对三角函数进行探究，即给出定义→画出图象→研究性质→进行应用．这样的研究思路可以使学生对三角函数有一个系统的认识，有利于深化学生对三角函数的理解．本题解题关键在于从相邻两零点和三个极值点的最大距离及占区间长度最小值入手，从而求得w 的取值范围．本题易错的主要原因：其一，面对零点与极值点区间长度问题，学生有畏惧心态无从下手,从而无法解决问题；本题的另一个易错点是不能利用函数的性质进行应用，对函数的图象的变换的本质理解不够到位，不会正确作出用函数图象加以分析，导致错误．（五）定理应用欠思考本专题的显著特点就是公式多、定理多．学生对相关的概念、公式理解掌握不到位，导致解决相应的问题时，思维不顺畅，定理应用欠思考，如在应用诱导公式解三角函数问题时，常出现公式记忆不准确，不注意角的范围和象限等；在解决有关()sin()f x A wx b ϕ=++问题时，不能准确应用有关的三角函数性质，不注意所给的角或者参数的范围；在三角恒等变形中，选用公式不合理或转化不准确，造成后续求解繁琐或错误；在解决三角形问题时，忘记或不会应用三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围，不能熟练掌握正、余定理的几种常见变形等，这些都是造成失分的主要原因．【例5】（2022年·全国乙）17．记ABC ∆的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．（1）证明：2222a b c =+； （2）若5a =，25cos 31A =，求ABC ∆的周长．【解析】（1）证明：ABC ∆中，sin sin()sin sin()C A B B C A -=-， sin (sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )C A B A B B C A C A ∴-=-，sin sin cos sin cos sin 2sin sin cos C A B B C A B C A ∴+=， sin (sin cos cos sin )2sin sin cos A B C B C B C A ∴+= sin sin()2sin sin cos A B C B C A ∴+=即22cos a bc A =又2222cos a b c bc A =+-， 得2222a b c =+． （2）若5a =，25cos 31A =时，由（1）知，222250b c a +==， 又由（1）知，22cos a bc A =，22523125cos 31a bc A ∴===，222()2503181b c b c bc ∴+=++=+=，9b c ∴+=，所以ABC ∆的周长为5914a b c ++=+=．【评析】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力． 本题第（1）问解题关键在于利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求证明等式；第（2）问解题关键是利用（1）中结论求出22b c +和2bc 的值，整体思想求出b c +，从而求处ABC ∆的周长．本题易错的主要因：其一，三角恒等变换、边角互化不熟悉，没有转化成边的关系，从而无法解决问题；本题的另一个易错点没有整体思想，分开求解b ，c ，导致计算繁杂．（六）知识交汇不顺畅本专题的知识内容较多，高考对本专题的考查常常将众多知识进行交汇．如在诱导公式和同角三角函数关系的考查中，常与三角函数式求值、化简，和差公式及倍角公式等综合进行，容易产生错误；在研究函数sin()y A x ωϕ=+问题时，不仅关注解析式及其图象，还关注周期性、对称性、单调性及最值等，综合度较大，要求较高，学生常因考虑不周而失分．不仅如此，高考对本专题的考查，还常将三角函数与指数函数、对数函数、幂函数等进行交汇，考查函数的相关问题，综合性强，学生不容易得分． 【例6】（2021年“八省联考”）22．已知函数()()sin cos ,sin cos x x f x e x x g x e x x =--=++. （1）证明：当54x π>-时，()0f x ≥； （2）若()2g x ax ≥+,求a .【解析】证明：（1）()cos sin x f x e x x '=-+,（Ⅰ）当5,42x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，sin cos 0x x --≥，故()0f x ≥；（Ⅱ）当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos sin 1x x -+<-，()0f x '<，()f x 单调递减，而()0=0f ，故()0f x ≥；（Ⅲ）当0x =时，()0f x =；（Ⅳ）当()0,x ∈+∞时，1cos sin x x x +>+.设()1x h x e x =--,则当()0,x ∈+∞，()10x h x e '=->,故()h x 单调递增，()00h =,()()0f x h x ∴>>.（2）设()()()()2cos sin x k x g x ax g x a e x x a ''=--=-=+--，则()()k x f x '=,由（1）知，当5,4x π⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0k x '≥,()k x 在5,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增, ()02k a =-. （Ⅰ）若2a >,()00k <,()ln 10k a +>,故存在唯一()00,ln 1x a ∈+,使得()00k x =.当()00,x x ∈时，()0k x <,()2g x ax --单调递减，而()0200g a --⨯=,故()0020g x ax --<；（Ⅱ）若02a <<,()0k x >,()0k π-<,故存在唯一()1,0x π∈-，使得()10k x =,当()1,0x x ∈时，()0k x >,()2g x ax --单调递增，而,()0200g a --⨯=,故()1120g x ax --<；（Ⅲ）若0a ≤,2022g a ππ⎛⎫⎛⎫----< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（Ⅳ）若2a =,()k x 单调递增，()00k =. 当5,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时, ()0k x <,()220g x x -->;当(),2x ∈-∞-时, ()0k x <,()220g x x -->;当[)0,x ∈+∞时, ()0k x >,()02200g --⨯=,故()220g x x -->. 综上, =2a .【评析】本题的两问难度较大，考察三角函数的导数、证明不等式恒成立问题，构造函数、分类讨论单调区间、极值点和零点的概念，充分体现了在知识交汇处命题的意图．同时，对知识的考查注重理解和应用，体现了新课程理念，也重点考查了学生的学科素养．本题解题关键在于求出导函数()cos sin x f x e x x '=-+，从讨论x 的区间入手，判断()f x '的符号，结合三角函数的有界性和不等式放缩求出()f x 的范围，进而分类讨论参数a ，求出a 的值.本题易错的主要原因：其一，运算不过关．具体表现在导数公式记忆出错、求导法则应用出错等，导致后面求解出现错误，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是解题严谨性欠缺,对函数单调性的分类讨论不全面，从导函数的符号到函数的增减性分析不完整；数学思想方法掌握不到位．在第（2）问中，无法找到对参数讨论的分界点、不会对参数进行讨论，导致错误.二、解决问题的思考与对策（一）重温概念的来龙去脉，理清知识网络，切实掌握三角函数的概念，图象与性质．高考对三角函数的考查，尤其是选择题（2021年，2022年新高考增加多选题）、填空题对三角函数的考查， 2022年往往以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式等作为出发点，考查三角函数的求值问题；以三角函数的图象与性质为载体，考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等．复习过程中，要关注三角函数的定义，以此为基础掌握同角公式、诱导公式、和差倍角公式；要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的重要性，它们都是重要的解题辅助工具；要关注思想方法的渗透，特别是化归与转化思想，它是三角恒等变形的主导思想．【例7】（2022·新高考Ⅱ）（多选题）9．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(0)ϕπ<<的图像关于点2(,0)3π中心对称，则 A ．()f x 在区间5(0,)12π单调递减 B ．()f x 在区间11(,)1212ππ-有两个极值点C ．直线76x π=是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线【解析】因为()sin(2)f x x ϕ=+(0)ϕπ<<的图象关于点2(,0)3π中心对称，223k πϕπ∴⨯+=，k Z ∈， 43k πϕπ∴=-+， 又0ϕπ<<，23πϕ∴=， 2()sin(2)3f x x π∴=+． 令232232x πππ<+<，解得51212x ππ-<<， ()f x ∴在区间5(0,)12π单调递减， A 正确； 11(,)1212x ππ∈-，252(,)322x πππ∴+∈， 根据函数的单调性，函数()f x 在区间11(,)1212ππ-只有一个极值点，B 错误；令2232x k πππ+=+，k Z ∈ 得122k x ππ=-+，k Z ∈，C 错误； 2()sin(2)3f x x π=+，2()2cos(2)3f x x π'∴=+，令2()2cos(2)13f x x π'∴=+=-，即21cos(2)32x π+=-， 解得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，()y f x ∴=在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为1-，()y f x ∴=的切线方程为y x =，D 正确． 故选AD ．【评析】本题考查的知识点有三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力．本题的解题关键在于利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步考查函数的单调性、对称轴、极值点及切线．本题易错的主要原因：其一，学生不会利用函数的对称性求ϕ值，从而无法得出函数的关系式；本题的另一个易错点对函数()f x 的极值点和切线的求解掌握不到位.（二）强化学生三角函数公式的记忆，关注公式的正用、逆用与公式的变形，提高学生三角函数求值和三角恒等变换问题的解题能力．理清三角函数求值的常见类型，特别是给角求值、给值求值问题．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的． 【例8】（2022·上海高考）（填空题）3．函数22()cos sin 1f x x x =-+的周期为 ． 【解析】2222222()cos sin 1cos sin cos sin 2cos cos 21f x x x x x x x x x =-+=-++==+，22T ππ∴==． 答案为：π．【评析】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用．三角恒等变换是高考对三角函数考查的重点内容．在三角恒等变换中，一要熟悉公式正用、逆用，也要注意公式的变形，如21cos 22cos αα+=，21cos22sin αα-=，1tan πtan()1tan 4ααα+=--，tan tan tan()[1tan ]αβαβαβ±=±等；二要注意拆角、拼角的方法和技巧，如()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--等；三要关注常用的解题思路，如“1”的代换、“正切为弦”、“化异为同”等．本题解题关键由三角函数的恒等变换化简函数可得()cos 21f x x =+，根据周期公式即可求值． 本题易错的主要原因：对二倍角公式在三角函数化简求值的应用不熟练，从而无法解决问题.【例9】（2016全国Ⅰ卷文）14．已知θ是第四象限角，且π3sin()45θ+=，则πtan()4θ-= ．【解析】思路1： 考虑到πππ()()442θθ+--=，令ππ,=44αθβθ=+-，则π2βα=-，因为θ是第四象限角，所以cos 0α>，故4cos 5α=，所以πcos 4tan tan()2sin 3αβαα=-=-=-． 思路2：考虑ππ()44θθ+-=，运用两角和的正切公式．令π4αθ=+，则π4θα=-，因为θ是第四象限角，所以cos 0α>，故4cos 5α=，从而sin 3tan cos 4ααα==，所以πtan tan()4θα=-tan 1tan 1αα-=+ 17=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+． 思路3：πcos()πtan 1cos sin 44tan()π41tan sin cos 3sin()4θθθθθθθθθ+---==-=-=-+++． 思路4：展开π3sin()45θ+=求出sin θ，运用两角和的正切公式．因为π3sin()45θ+=，所以sin cos 5θθ+=，7sin cos 50θθ=-，因为θ是第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，解得sin 10θ=-，cos 10θ=，所以1tan 7θ=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+． 思路5： 运用两角和的正弦公式求出sin θ，再运用两角和的正切公式．因为π3sin()45θ+=，θ是第四象限角，所以π4cos()45θ+=，从而ππsin sin()44θθ=+-ππ))44θθ=++34()55-=，cos θ=，所以1tan 7θ=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+． 【评析】本题解题关键在于从观察角π4θ+和π4θ-关系入手，进而运用两角和差的正弦、余弦或正切公式都可以解题.本题易错的主要原因：其一，没找出两角关系特点从而无法解决问题；本题的另一个易错点是两角和差公式计算错误.（三）重视函数三种表征的理解和应用，加强函数()sin()f x A x b ωϕ=++图象与性质的研究．突破三角函数图象与性质问题的关键是识图、用图能力的形成以及利用三角公式进行三角恒等变换能力的培养．高考复习中，要重视对正弦型三角函数概念及正弦型三角函数三种表征的理解与转换；重视对三角函数的数形结合思想的应用；重视基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力的培养． 【例10】多选题（2021年“八省联考”）12．函数cos2()2sin cos xf x x x=+，则A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增D ． ()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 【解析】思路1：A 选项考察周期性.由()cos 2cos 2cos 20()2=22sin cos sin 2+4sin 24x x x f x x x x x -==⨯⨯+--，得()f x 的几何意义为单位圆上动点()sin 2,cos 2x x 与点()4,0-连线斜率的2倍来判断BCD 选项，其中，B 选项也可用辅112sin 22,2sin 2222x x x x -≤∴+≥,解得cos 2()1sin 2+22x f x x =的最大值． 故选AD ．思路2：由()()2414sin 2()4sin 2x f x x -+'=+，结合三角函数的零点、单调性、区间上的值域求解．【评析】该题作为多项选择题的压轴题，需要学生能够梳理好解决问题的切入点，从选项中找到突破口．题目中考查的知识点较为综合，难度较大，需要学生在复习备考中紧抓基础知识和基本技能，注重常规、常法，重在落实好数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，不仅要学到知识更要形成适应社会发展的必备品格和关键能力，最终学会用数学的眼光观察世界．该题考察的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，关系式和斜率的转换，主要考察学生的运算能力、转换能力及思维能力。

高考数学必考题型及答题技巧
高考数学考试中必考的题型主要有四类：
一、选择题：选择题主要旨在考查学生对概念的理解，对简单的思考能力和算法的应用能力。

考生可以根据对题目的直观判断，先粗略浏览后做出选择，再进行必要的计算核验。

二、填空题：填空题主要考查学生对数学概念的分析，抽象思维能力及抒写能力。

考生在作答过程中，要充分发挥自己的想象、理解力，仔细阅读题目，把握答题全部思路，列出方程组并求解。

三、解答题：解答题是数学考试题型中吃重的部分，考查的是数学的基本解题思路和综合运用概念、定义和公式等进行解题的能力。

只要考生能正确理解题意，把握解题要点，充分利用所学的平行线性和定理，充分发挥思维的能力，就能得出合理的解答。

四、操作题：操作题是高考数学中成绩较好的组成部分，是考查学生解题时手算能力和推理能力的一个重要题型。

考生需要认真细致，结合例题和考题有针对性地分析，把握答题全过程，并有恰当的计算步骤、略去文字介绍及不必要步骤，正确无误地把答案计算出来。

答题技巧：
一、明确求解目标：考生在进入考场之前，应将题目整体对准并把握题意，仔细阅读确定考查的知识点，掌握准确解法，列出详细的步骤或必要的公式，并将解题过程完整地记录下来，按照顺序仔细算出答案。

二、利用图形分析：考生可以利用几何图形的周长、面积、棱形等，联系各个形体的变化，来简便地求解几何形体的相关量的关系及把握方程的概念，从而减少复杂的数学计算，使解题速度更快、工作量更少，得出正确的结果。

三、充分利用现有资料：考生在做高考数学的时候，可以充分发挥自身的思维、分析、绘图、猜测等能力，仔细分析题目，利用资料，找出解题思路，进行有效的数学计算，考试出百分满分的成绩。

高考数学必考题型及答题技巧高考数学答题技巧进入考试先审题考试开始后，很多学生喜欢奋笔疾书;但切记：审题一定要仔细，一定要慢。

数学题经常在一个字、一个数据里边暗藏着解题的关键，这个字、这个数据没读懂，要么找不着解题的关键，要么你误读了这个题目。

你在误读的基础上来做的话，你可能感觉做得很轻松，但这个题一分不得。

所以审题一定要仔细，你只有把题意弄明白了，这个题目才有可能做对。

会做的题目是不耽误时间的，真正耽误时间的是在审题的过程中，在找思路的过程中，只要找到思路了，单纯地写那些步骤并不占用时间。

充分利用考前5分钟很多学生或家长不知道，按照大型的考试的要求，考前五分钟是发数学卷时间，考生填写准考证。

这五分钟是不准做题的，但是可以看题。

发现很多考生拿到试卷之后就从第一个题开始看，给大家的建议是，拿过这套卷子来，这五分钟是用来制定整个战略的关键时刻。

之前没看到题目，你只是空想，当你看到题目以后，你得利用这五分钟迅速制定出整个考试的战略来。

节约时间的关键是一次做对有些学生，好不容易遇到一个简单的题目，就一味地求快，争取时间去做不会做的题目，这是严重的误区。

希望学生在考试的时候，一定要培养一次就做对的习惯，不要指望通过最后的检查力挽狂澜。

越是重要的考试，往往越没有时间回来检查，因为题目越往后越难，可能你陷在里面出不来，抬起头来的时候已经开始收卷了。

高考数学答题注意事项越是容易的题要越小心，因为这样的题很可能有陷阱。

出现怪异的答案的题要小心，因为很有可能计算错误。

任何带有数字的题要多问一下自己，有没有遗漏答案，如出现2的答案，就要考虑-2有没有可能也是答案。

最后一道填空题很有可能是难题，如果不能马上解出，应迅速放在一边进行下面答题，毕竟这道题再难也分数也有限，不应恋战。

数学选择题答题技巧数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。

因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。

12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。