高三数学备考冲刺140分问题15平面向量中的最值范围问题含解析27

问题7平面向量中最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．.2．四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(1,y 1),b ＝(2,y 2),则a ·b ＝12＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则的最小值是_______．【答案】【分析】由题意，以点A 为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.【解析】由题意，以点A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，则向量，所以又由，则，整理得，又由，设，整理得，解得， 所以，所以的最小值为.【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求解【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______．【答案】【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以,从而02b <≤,所以,又,即,解得,故.(二) 平面向量模的取值范围问题 设(,)a x y =,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足a 与b 的夹角为4π,,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设；以OA 所在直线为,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,∵a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （,y ）∵,∴2+y 2-6-2y+9=0,即（-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；∵圆心到B 的距离为,∴c a -的最大值为12+．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量,且,则OC 的最大值为__________．【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,,,如图,取AB 中点D ,则,12OD =,,由可得, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32. (三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,0t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________.【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ ,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．【解析】由题意知, , ,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以322πθπ<<. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为【解析】,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以,即,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． （四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且与的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ． 【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由,解得310<λ,当向量与共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>． 【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中,.（1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）.（2）建立如图所示的平面直角坐标,则.设,由,得.所以.所以..因为,所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1； 当或即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，，则的最小值为_____．【答案】【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，∴可设C（3，n），又所以，，即，＝＝，当且仅当，即n＝1，m＝时，取等号，故答案为.2．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】已知点P 在圆M：(-a)2 +(y－a+2)2＝1 上，A，B 为圆C：2 +(y-4)2＝4 上两动点，且AB ＝2, 则的最小值是____．【答案】【解析】取AB的中点D，因为AB ＝2，R＝2，CD＝＝1，所以，＝.C（0,4），M（a，a－2）当C、D、P、M在一条直线上时，｜PD｜最小，此时，｜PD｜＝｜CM｜－｜CD｜－｜PM｜＝所以，＝≥19－12，当a＝3时取到最小值19－12.故答案为：.3．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.【答案】【解析】设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为，因为，所以设所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，由于点在圆上运动，所以，所以正数m的取值范围为.故答案为：4．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．【答案】．【解析】根据D为AB的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足,则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则.6．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】4【解析】以A 坐标原点,AB,AD 所在直线为,y 轴建立直角坐标系,设所以AP AQ ⋅因为,所以因为,所以因此7．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______. 【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设,则,,故答案为[]3,1-.8．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时,即AB CD ⋅9．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________．【解析】∴2a xb -的最小值为.10．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________． 【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<, 故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得, 此时,则：,当且仅当时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 11．已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是 ． 【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：,而,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-12．在ABC ∆中, ,则角A 的最大值为_________.【答案】6π 【解析】试题分析由题设可得,即,也即,故,由于,因此,故,所以,所以6m a x π=A ,应填答案6π. 13．在平面内,定点,,,A B C D 满足,动点,P M 满足,则BM 的最大值是__________.【答案】1 【解析】 试题分析设,则.由题设可知,且.建立如图所示的平面直角坐标系,则,由题意点P在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案1.14．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC ,CD 上运动（包括端点,且满足,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为,y 轴建立直角坐标系,则,设,因为,所以33xb -=,则,故,所以,故填[1,9].15.在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若,则x 的取值范围是__________．【答案】()2,0- 【解析】 因为,因为12BC CD =,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈, 因为,所以()2,0x ∈-.16．已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．17．在ABC ∆中,已知AB =3C π=,则CA CB ⋅uu r uu r的最大值为 .【答案】32【解析】,由余弦定理得：,所以32CA CB ⋅≤uu r uu r ,当且仅当a b =时取等号18．已知△ABC 中,4AB =,2AC =,（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是 ． 【答案】94-【解析】令()f λ＝＝216λ＋24(22)λ-＋＝,当cos 0A =时,()f λ＝,因为2>,所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当c o s 0A ≠时,()f λ＝＋1cos ]2A+≥,解得1c o s 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以P B P C⋅＝＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。

ʏ刘 哲平面向量是高中数学知识的一个重要交汇点,以向量为背景的最值问题,综合性较强,涉及的知识点多,解法灵活多样㊂下面就向量有关的最值问题的求解策略举例分析,供同学们学习与提高㊂一㊁利用不等式的性质例1 已知P 是边长为2的正六边形A B C D E F 内的一点,则A P ң㊃A B ң的取值范围是㊂解:如图1,以A 为坐标原点,A B 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系x A y㊂图1易得点A (0,0),B (2,0),C (3,3),F (-1,3)㊂设点P (x ,y ),-1<x <3,则A P ң=(x ,y),A B ң=(2,0)㊂所以A P ң㊃A B ң=(x ,y )㊃(2,0)=2x ɪ(-2,6),即A P ң㊃A B ңɪ(-2,6)㊂评析:在不等式的两边同乘以一个正数,不等式的方向不变㊂二㊁利用x 2ȡ0例2 已知әA B C 是边长为2的等边三角形,P 为平面A B C 内一点,则P A ң㊃(P B ң+P C ң)的最小值是㊂解:如图2,以B C 的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系x O y ㊂图2易得点A (0,3),B (-1,0),C (1,0)㊂设点P (x ,y ),则P A ң=(-x ,3-y ),P B ң=(-1-x ,-y ),P C ң=(1-x ,-y ),所以P A ң㊃(P B ң+P C ң)=2x 2-23y +2y 2=2x 2+y -322-34㊂故所求的最小值为2ˑ-34=-32,此时x =0,y =32㊂评析:完全平方式的和为非负数㊂三㊁利用三角形的三边关系例3 已知|A B ң|=10,|A C ң|=7,则|B C ң|的取值范围是( )㊂A.[3,17] B .(3,17)C .(3,10)D .[3,10]解:依题意得|A B ң|-|A C ң|ɤ|B C ң|ɤ|A C ң|+|A B ң|,故3ɤ|B C ң|ɤ17,即|B C ң|的取值范围是[3,17]㊂应选A ㊂评析:三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边㊂四㊁利用二次函数的性质例4 如图3所示,在四边形A B C D 中,øB =60ʎ,A B =3,B C =6,A D ң=λB C ң,A D ң㊃A B ң=-32,若M ,N 是线段B C 上的动点,且|MN ң|=1,则DM ң㊃D N ң的最小值为㊂图3解:因为A D ң=λB C ң,所以A D ʊB C ,则øB A D =120ʎ,所以A D ң㊃A B ң=|A D ң|㊃|A B ң|㊃c o s 120ʎ=-32,可得|A D ң|=1㊂已知向量A D ң,B C ң同向,且B C =6,在四边形A B C D 中,作A O ʅB C 于点O ,则B O =A B ㊃c o s 60ʎ=32,A O =A B ㊃s i n 60ʎ=332㊂以O 为坐标原点,B C ,A O 所在直线分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系x O y (如图3)㊂51知识结构与拓展高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.设点M (a ,0),不妨设点N 在点M 右侧,则N (a +1,0),易得-32ɤa ɤ72㊂因为点D 1,332 ,所以DM ң=a -1,-332,D N ң=a ,-332,所以DM ң㊃D N ң=a 2-a +274=a -122+132㊂故当a =12时,DM ң㊃D N ң取得最小值132,即DM ң㊃D N ң的最小值为132㊂评析:二次函数y =a x 2+b x +c ,当a >0时,y 有最小值;当a <0时,y 有最大值㊂五㊁利用余弦函数的性质例5 若向量a ,b 满足a =(c o s θ,s i n θ)(θɪR ),|b |=2,则|2a -b |的取值范围为㊂解:设a 与b 的夹角为α,则(2a -b )2=4a 2+b 2-4a ㊃b =8-8c o s α㊂因为αɪ[0,π],-1ɤc o s αɤ1,所以0ɤ8-8c o s αɤ16,所以0ɤ|2a -b |ɤ4,所以|2a -b |的取值范围为[0,4]㊂评析:余弦函数y =c o s x 在[0,π]上单调递减,其值域为[-1,1]㊂六㊁利用正弦函数的性质例6 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量a =(-1,2),点A (8,0),C (k s i n θ,t )0ɤθɤπ2㊂若向量A C ң与向量a 共线,当k >4,且t s i n θ取最大值4时,则O A ң㊃O C ң=㊂解:由题设知A C ң=(k s i n θ-8,t)㊂因为A C ң与a 共线,所以t =-2k s i n θ+16,所以t s i n θ=(-2k s i n θ+16)s i n θ=-2k ㊃s i n θ-4k2+32k ㊂因为k >4,所以0<4k<1,所以当s i n θ=4k 时,t s i n θ取得最大值32k㊂由32k =4,可得k =8,此时θ=π6,t =8,则O C ң=(4,8),所以O A ң㊃O C ң=(8,0)㊃(4,8)=32㊂评析:解题时,不要忽视了4k 的取值范围㊂七㊁利用不等式|a |+|b |ȡ|a +b |ȡ||a |-|b ||例7 已知a ,b 是单位向量,a ㊃b =0㊂若向量c 满足|c -a -b |=1,则|c |的最大值是㊂解:由|a |=|b |=1,a ㊃b =0,可得|a +b |=2㊂由|c -a -b |=|c -(a +b )|ȡ||c |-|a +b ||=||c |-2|,结合已知条件得||c |-2|ɤ1,所以|c |ɤ1+2㊂故|c |m a x =2+1,即|c |的最大值是2+1㊂评析:含有绝对值不等式的性质:||a |-|b ||ɤ|a ʃb |ɤ|a |+|b |,当a ,b 为向量时也适用㊂八㊁利用圆的性质例8 已知点A ,B ,C 均在半径为2的圆上,若|A B |=2,则A C ң㊃B C ң的最大值为( )㊂A.3+22 B .2+22C .4D .2解:如图4,设A ,B ,C 三点所在圆的圆心为O ,取A B 中点D ,则A C ң㊃B C ң=C A ң㊃C B ң=(C D ң+D A ң)㊃(C D ң+D B ң)=(C D ң+D A ң)㊃(C D ң-D A ң)=C D ң2-D A ң2=C D ң2-1=|C D ң|2-1㊂图4由于A ,B ,C 三点在圆O 上,所以C D长度的最大值为r +d ,其中d 为圆心O 到弦A B 的距离,r 为圆O 的半径,故C D 长度的最大值为1+2㊂故|C D ң|2-1的最大值为(1+2)2-1=2+22㊂应选B ㊂评析:本题是利用圆的垂直平分线必过圆心这一性质求解的㊂作者单位:湖北省恩施市第三高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

平面向量中的最值(范围)问题【专题解读】平面向量中的最值(范围)问题的类型(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).微点1利用函数型【例1】(1)设θ为两个非零向量a，b的夹角，对任意实数t，|b－t a|的最小值为1，那么()A.假设θ确定，那么|a|唯一确定B.假设θ确定，那么|b|唯一确定C.假设|a|确定，那么θ唯一确定D.假设|b|确定，那么θ唯一确定(2)m，n是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，那么|m＋n|＋|n|的最大值为()A. 5B.10C.4D.5解析(1)由|b－t a|的最小值为1知(b－t a)2的最小值为1，令f(t)＝(b －t a)2，即f(t)＝b2－2t a·b＋t2a2，那么对于任意实数t，f(t)的最小值为4a2·b2－〔2a·b〕24a2＝4a2b2－〔2|a||b|cos θ〕24a2＝1，化简得b2(1－cos2θ)＝1，观察此式可知，当θ确定时，|b|唯一确定，选B.(2)因为(m＋2n)2＝4n2＋4m·n＋1＝9，所以n2＋m·n＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝5－n2，所以|m＋n|＋|n|＝5－|n|2＋|n|.令|n|＝x(0<x≤5)，f(x)＝5－x2＋x，那么f′(x)＝－2x25－x2＋1.由f′(x)＝0，得x＝102，所以当0<x<102时，f′(x)>0时，当102<x≤5时，f′(x)<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，102上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤102，5上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫102＝10，应选B. 答案 (1)B (2)B【训练1】 (1)(2021·浙江卷)向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，那么|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.(2)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，那么AP →·BP→的取值范围是________；假设向量AC →＝λDE →＋μAP →，那么λ＋μ的最小值为________.解析 (1)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))， 那么a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ).令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝〔2＋cos θ〕2＋sin 2θ＋〔cos θ－2〕2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，那么y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.(2)以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，那么易得A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，P (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，那么AP →·BP →＝(cos θ，sin θ)·(cos θ－1，sin θ)＝cos 2θ－cos θ＋sin 2θ＝1－cos θ，又因为0≤θ≤π2，所以AP →·BP→＝1－cos θ∈[0，1].由AC →＝λDE →＋μAP →得(1，1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1＋μ(cos θ，sin θ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μcos θ，－λ＋μsin θ，所以⎩⎨⎧12λ＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，那么λ＋μ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＋32cos θ＋sin θ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ，当θ＝π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝5，当θ≠π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ，设f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x(x ≥0)，那么 f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋3x x 2＋1〔2＋x 〕－〔2x －2＋3x 2＋1〕〔2＋x 〕2＝6x 2＋1＋6x －3〔2＋x 〕2x 2＋1>0(x ≥0)，所以函数f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x 在[0，＋∞)上单调递增，那么当tan θ＝0时，λ＋μ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ取得最小值12.综上所述，λ＋μ的最小值为12.答案 (1)4 25 (2)[0，1] 12微点2 利用不等式型【例2】 (1)(2021·浙江名校新高考研究联盟三联)边长为1的正方形ABCD ，E ，F 分别是边BC ，DC 上的两个动点，AE→＋AF →＝xAB →＋yAD →，假设x ＋y ＝3，那么|EF→|的最小值为________. (2)(一题多解)(2021·七彩阳光联盟三联)平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝0，那么|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b 的最小值为( ) A.172B.2C.52D. 5(3)(2021·浙江卷)向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.假设对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，那么a ·b 的最大值是________.解析 (1)因为四边形ABCD 是正方形，以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么A (1，1)，B (1，0)，C (0，0).设E (a ，0)，F (0，b )，那么0≤a ，b ≤1.所以AE→＝(a －1，－1)，AF →＝(－1，b －1)，因为AE →＋AF→＝xAB →＋yAD →，所以有y ＝2－a ，x ＝2－b .因为x ＋y ＝3，所以a ＋b ＝1.所以|EF→|＝a 2＋b 2≥〔a ＋b 〕22＝22，所以|EF →|min ＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取到最小值.(2)法一 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b .所以通过计算有|2c －a |＝|c －2a |，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝|c －2a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12b ＝172，应选A. 法二 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b ，所以可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，那么有x 2＋y 2＝1，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝〔2x －1〕2＋4y 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －12＝4x 2－4x ＋1＋4y 2＋14x 2＋14y 2－y ＋1＝x 2－4x ＋4＋y 2＋x 2＋y 2－y ＋14＝〔x －2〕2＋y 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≥22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝172，应选A. (3)由可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12. 答案 (1)22 (2)A (3)12【训练2】 (1)(2021·杭州四中仿真)假设非零向量a ，b 满足a 2＝(5a －4b )·b ，那么cos 〈a ，b 〉的最小值为________.(2)(2021·浙江名师预测卷一)向量a ，b 满足|b |＝1，|a ＋b |＝2|a －b |，那么|a |2－|b |2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，8 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，19 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，19 (3)(2021·温州适应性测试)平面向量a ，b ，c 满足：a ·b ＝0，|c |＝1，|a －c |＝|b －c |＝5，那么|a －b |的最小值为( )A.5B.6C.7D.8解析 (1)由a 2＝(5a －4b )·b 得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)≥15×2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，那么cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |时等号成立，所以cos 〈a ，b 〉的最小值为45.(2)因为|b |＝1，所以|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＝2.两边平方得|a ＋b |2＋|a －b |2－2(|a |2－|b |2)＝4，又|a ＋b |＝2|a －b |，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42，又因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(a －b )|≤|a ＋b |＋|a －b |，即|a －b |≤2≤3|a －b |，故23≤|a －b |≤2，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8，应选A. (3)|a －b |2＝|(a －c )－(b －c )|2＝(a －c )2－2(a －c )(b －c )＋(b －c )2＝50－2(a ·b －a ·c －b ·c ＋1)＝48＋2(a ＋b )·c ＝48＋2|a ＋b |cos θ(其中θ为a ＋b 与c 的夹角)，因为|a －b |＝|a ＋b |，所以|a －b |2＝48＋2|a －b |cos θ，那么由cos θ∈[－1，1]，得48－2|a －b |≤|a －b |2≤48＋2|a －b |，解得6≤|a －b |≤8，即|a －b |的最小值为6，此时向量a －b 的方向与向量c 的方向相反，应选B.答案 (1)45 (2)A (3)B微点3 利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例3】 (1)如图是蜂巢结构图的一局部，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点〞.假设A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点〞处，且A ，B 的位置如下图，那么AB →·CD→的最大值为________.(2)|a |＝2，|b |＝|c |＝1，那么(a －b )·(c －b )的最大值为________，最小值为________.解析 (1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，92，当CD →在AB →方向上的投影最大时，AB →·CD →最大，此时取C (0，5)，D (－3，0)，即(AB →·CD →)max ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，－92·(－3，－5)＝32＋452＝24.(2)设M ＝a ·c －a ·b －b ·c ，那么(a －b )(c －b )＝a ·c －a ·b －b ·c ＋b 2＝1＋a ·c －a ·b －b ·c ＝1＋M .而(b －a －c )2＝6＋2M ，M ＝－3＋12(b －a －c )2，∴当(b －a －c )2＝0时，M min ＝－3，∴[(a －b )(c －b )]min ＝1－3＝－2；当b ，－a ，－c 共线且同向时，M max ＝－3＋12(1＋2＋1)2＝5，∴[(a－b )·(c －b )]max ＝1＋5＝6.答案 (1)24 (2)6 －2【训练3】 (1)向量a ，b ，c 满足|b |＝|c |＝2|a |＝1，那么(c －a )·(c －b )的最大值是________，最小值是________.(2)|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，|OP →|＝1，且OA →＝BO →，记P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A.6B.4C.－2D.－4解析 (1)由题意得|a |＝12，|b |＝|c |＝1，那么(c －a )·(c －b )＝|c |2－c ·b －c ·a ＋a ·b ＝|c |2＋12(－a －b ＋c )2－12(|a |2＋|b |2＋|c |2)＝－18＋12(－a －b ＋c )2，那么当向量－a ，－b ，c 同向共线时，(c －a )·(c －b )取得最大值－18＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋12＝3，当－a －b ＋c ＝0时，(c －a )·(c －b )取得最小值－18.(2)因为P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →＝(OA →－OP →)·(OB→－OP →)＋(OB →－OP →)·(OC →－OP →)＋(OC →－OP →)·(OA →－OP →)＝3OP →2－2OP →·OC→－4，令3OP →＝OQ →，2OC →＝OM →，P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →＝OP →·MQ→－4，如图，设OC →与OP →夹角为θ(θ∈[0，π]).因为MQ →＝OQ →－OM →.所以MQ →·OP →|OP→|＝OP →(3OP→－2OC →)＝3－4cos θ，又因为cos θ∈[－1，1]，所以MQ →在OP →方向上的投影d ∈[－1，7]，即M ＝3，m ＝－5，所以M ＋m ＝－2，应选C.答案 (1)3 －18 (2)C微点4 利用轨迹图形性质(数形结合)型【例4】 (1)(一题多解)(2021·浙江卷)a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.假设非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，那么|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1C.2D.2－ 3(2)向量|a |＝3，|b |＝6，a ·b ＝9，那么|a ＋t (b －a )|＋|(1－t )(b －a )－13b |(其中t ∈[0，1])的最小值是________.解析 (1)法一 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA→|－|CB →|＝3－1.应选A.法二 由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，那么B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA→|－|BC →|≥3－1.应选A.(2)由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12得a ，b 的夹角为60°，又因为|a |＝3，|b |＝6，所以△OAB 为直角三角形，B ＝30°.如图，令a ＝OA →，b ＝OB →，∠BOA ＝60°，AC→＝tAB →，DB →＝13OB →，那么|OA →＋tAB →|＝|OC →|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1－t )AB →－13OB →＝|CD →|，问题转化为当点C 在线段AB 上运动时，求|OC→|＋|CD →|的最小值.作点D 关于线段AB 对称的点G ，连接OG ，那么OG 即为所求的最小值.在Rt △BDE 中，∠BED ＝90°，BD ＝2，B ＝30°，那么DE ＝1，DG ＝2DE ＝2，在△ODG 中，OD ＝4，∠ODG ＝120°，DG ＝2，由余弦定理得OG ＝OD 2＋DG 2－2OD ·DG cos ∠ODG ＝27. 答案 (1)A (2)27【训练4】 (1)|a |＝|b |＝1，向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，那么|c |的最大值为________.(2)(一题多解)(2021·宁波模拟)向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －b |＝1，那么|a ＋c |的取值范围为________.解析 (1)由|c －(a ＋b )|＝|a －b |得向量c 的终点的轨迹为以向量a ＋b 的终点为圆心，|a －b |为半径的圆，那么|c |的最大值为|a ＋b |＋|a －b |， 又因为|a ＋b |＋|a －b |≤2[〔a ＋b 〕2＋〔a －b 〕2]＝2〔|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|a |2－2a ·b ＋|b |2〕＝22，当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2.(2)法一 令m ＝a ＋c ，那么问题转化为|m |的取值范围.由三角不等式有||m |－|a ＋b ||≤|m －(a ＋b )|，那么|a ＋b |－1≤|m |≤1＋|a ＋b |，又||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，即1≤|a ＋b |≤3，故0≤|m |≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].法二 如图，由，作OB→＝b ，分别以点O ，B 为圆心作单位圆，那么－a 的终点A 在圆O 上，c 的终点C 在圆B 上，那么AC→＝c －(－a )＝c ＋a ，故|a ＋c |＝|AC→|表示两圆上两点连线的长，因此，由圆的性质得0≤|AC→|≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].答案 (1)22 (2)[0，4] 【专题集训】1.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，那么1x ＋4y 的最小值为( )A.32 B.2 C.52D.92解析 由图可设AD→＝λAB →＋(1－λ)AC →，AE →＝μAB →＋(1－μ)AC →，其中λ，μ∈(0，1)，那么AD→＋AE →＝(λ＋μ)AB →＋(2－λ－μ)AC →.由题知，x ＝λ＋μ，y ＝2－λ－μ，所以有x ＋y ＝2，所以1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ×4x y ＝92，当且仅当y ＝2x ，即x ＝23，y ＝43时，取等号，应选D. 答案 D2.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝45°，B 为锐角，点O 是△ABC 外接圆的圆心，那么OA →·BC →的取值范围是( ) A.(]－2，22 B.(]－22，2 C.[]－22，22D.()－2，2解析 依题意得△ABC 的外接圆半径R ＝12·BCsin 45°＝2，|OA→|＝2， 如下图，A 在弧A 1C 上(端点除外)， OA 2→与BC →同向，此时OA →·BC →有最大值22， 又OA 1→·BC →＝－2，故OA →·BC →∈(]－2，22.应选A. 答案 A3.记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .在△AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为斜边AB 上一动点.设M ＝max{OP →·OA →，OP →·OB →}，那么当M 取最小值时，APPB ＝( )A.OA OBB.OA OBC.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 3解析 M 取最小值时，OP →·OA →＝OP →·OB →，即OP →·AB →＝0，亦即OP ⊥AB .根据直角三角形的射影定理可得|AP ||PB |＝AP ·PB PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OP PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2，应选C. 答案 C4.(2021·浙江名师预测卷四)a ，b 是单位向量，向量c 满足|c －b ＋a |＝|a ＋b |，那么|c |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.3D.3 2解析 由|c －(b －a )|＝|a ＋b |得向量c 的终点的轨迹为以向量b －a 的终点为圆心，|a ＋b |为半径的圆，那么|c |的最大值为|a ＋b |＋|b －a |. 又因为|a ＋b |＋|b －a |≤2[〔a ＋b 〕2＋〔b －a 〕2]＝2〔|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|b |2－2a ·b ＋|a |2〕＝2 2.当且仅当|a ＋b |＝|b －a |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2. 答案 B5.(2021·浙江教育绿色评价联盟适考)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，假设BP →＝λBA →＋μBC →，设λ＋2μ的最大值为M ，最小值为N ，那么M －N 的值为( )A.2105B.3105C.4105D.10解析 如图，以C 为坐标原点，分别以直线BC ，CD 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，那么B (－2，0)，A (－2，1)，由，圆C 的方程为x 2＋y 2＝45，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ，又BP →＝λBA →＋μBC →，那么⎩⎨⎧25cos θ＋2＝2μ， 25sin θ＝λ，即λ＋2μ＝25(sin θ＋cos θ)＋2＝225sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2，故M －N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫225＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－225＋2＝4105，应选C.答案 C6.(2021·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.假设点E 为边CD 上的动点，那么AE →·BE →的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D.3解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，那么32×(－12)＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3).因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫538 2－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，应选A. 答案 A7.(2021·浙江新高考仿真卷二)在△ABC 中，A ＝120°，BC ＝213，AC ＝2，那么AB ＝________；当|CB →＋λCA →|取到最小值时，那么λ＝________.解析 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，即(213)2＝22＋AB 2－2×2AB cos 120°，解得AB ＝6，那么cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝〔213〕2＋22－622×213×2＝51326，那么|CB →＋λCA →|2＝|CB →|2＋λ2|CA →|2＋2λCB →·CA →＝(213)2＋λ2×22＋2λ×213×2×51326＝4λ2＋20λ＋52，那么当λ＝－202×4＝－52时，|CB →＋λCA →|取得最小值. 答案 6 －528.假设非零向量a 和b 满足|a ＋b |＝|b |＝2，那么|a |的取值范围是________，|a －b |的取值范围是________.解析 因为||a ＋b |－|b ||≤|a |＝|a ＋b －b |≤|a ＋b |＋|b |＝4，又a 是非零向量，所以|a |的取值范围是(0，4]，因为|a －b |＋|a ＋b |≥2|b |＝|(a ＋b )－(a －b )|≥||a －b |－|a ＋b ||，所以－4≤|a －b |－|a ＋b |≤4，|a －b |＋|a ＋b |≥4，又|a ＋b |＝2，解得|a －b |的取值范围是[2，6]. 答案 (0，4) [2，6]9.(2021·杭州三校三联)如图，圆O 是半径为1的圆，OA ＝12，设B ，C 为圆上的任意2个点，那么AC →·BC→的取值范围是________.解析 设a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，那么有|a |＝12，|b |＝|c |＝1，那么AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≤|c －a |·|c －b |≤(|c |＋|a |)·(|c |＋|b |)＝32×2＝3，当且仅当a ，b 同向共线，且与c 反向共线时，等号成立，所以AC →·BC →的最大值为 3.AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )＝1－c ·(a ＋b )＋a ·b ≥1－|c |·|a ＋b |＋a ·b ＝1－|a ＋b |＋a ·b ＝1－54＋2a ·b ＋a ·b ，令a ·b ＝t ，那么易得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≥1－54＋2t ＋t ，设f (t )＝1－54＋2t ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤t ≤12，那么f ′(t )＝1－154＋2t.易得当t ＝－18时，f (t )＝1－54＋2t ＋t 取得最小值－18.综上所述，AC →·BC →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，310.平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －a |＝|c －b |，那么|c |的最小值为________，此时a ·b ＝________.解析 由|c －a |＝|c －b |，得c 2－2a ·c ＋a 2＝c 2－2b ·c ＋b 2，即2b ·c －2a ·c ＝b 2－a 2＝3，那么(b －a )·c ＝32≤|b －a |·|c |≤(|b |＋|a |)·|c |＝3|c |，所以|c |≥12，当且仅当a 与b 方向相反且a ，b ，c 共线时等号成立，所以|c |的最小值为12，此时a ·b ＝|a ||b |cos π＝－2. 答案 12 －211.正三角形ABC 的边长为4，O 是平面ABC 内的动点，且∠AOB ＝π3，那么OC →·AB→的最大值为________. 解析 如图，圆E 2为△ABC 的外接圆，圆E 1与圆E 2关于直线AB 对称，由题意知O 在圆E 1，E 2的优弧AB ︵上(圆E 1，E 2半径相等)，设AB 的中点为D ，OC →·AB →＝(DC →－DO →)·AB →＝BA →·DO →＝|BA →|·|DO →|·cos ∠ADO ，易知当∠ADO 为锐角，且DO →在BA →方向上的射影最大时，OC →·AB→取得最大值，易知DO→在BA →方向上射影的最大值为△ABO 外接圆的半径，故所求最大值为4×42sin π3＝1633.答案 163312.(2021·浙江卷)正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________.解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么AB→＝(1，0)，AD →＝(0，1). 设a ＝λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD → ＝λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5(AB →＋AD →)＋λ6(AD →－AB →) ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD → ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6).故|a|＝〔λ1－λ3＋λ5－λ6〕2＋〔λ2－λ4＋λ5＋λ6〕2. ∵λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0. 考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4时可取到最大值，∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最大值为4＋16＝2 5.答案 0 25。

问题7平面向量中最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．.2．四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(1,y 1),b ＝(2,y 2),则a ·b ＝12＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则的最小值是_______．【答案】【分析】由题意，以点A 为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.【解析】由题意，以点A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，则向量，所以又由，则，整理得，又由，设，整理得，解得， 所以，所以的最小值为.【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求解【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______．【答案】【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以,从而02b <≤,所以,又,即,解得,故.(二) 平面向量模的取值范围问题 设(,)a x y =,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求． 【例2】已知向量,,a b c 满足a 与b 的夹角为4π,,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设；以OA 所在直线为,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,∵a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （,y ）∵,∴2+y 2-6-2y+9=0,即（-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；∵圆心到B 的距离为,∴c a -的最大值为12+．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量,且,则OC 的最大值为__________．【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,,,如图,取AB 中点D ,则,12OD =,,由可得, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32. (三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,0t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________.【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ ,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解． 【解析】由题意知,,,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以322πθπ<<. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为【解析】,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以,即,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． （四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=,()5,3-=,且与的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ． 【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于与的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且与不共线同向,由,解得310<λ,当向量与共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>． 【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中,.（1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）.（2）建立如图所示的平面直角坐标,则.设,由,得.所以.所以..因为,所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1； 当或即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，，则的最小值为_____．【答案】【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，∴可设C（3，n），又所以，，即，＝＝，当且仅当，即n＝1，m＝时，取等号，故答案为.2．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】已知点P 在圆M：(-a)2 +(y－a+2)2＝1 上，A，B 为圆C：2 +(y-4)2＝4 上两动点，且AB ＝2, 则的最小值是____．【答案】【解析】取AB的中点D，因为AB ＝2，R＝2，CD＝＝1，所以，＝.C（0,4），M（a，a－2）当C、D、P、M在一条直线上时，｜PD｜最小，此时，｜PD｜＝｜CM｜－｜CD｜－｜PM｜＝所以，＝≥19－12，当a＝3时取到最小值19－12.故答案为：.3．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.【答案】【解析】设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为，因为，所以设所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，由于点在圆上运动，所以，所以正数m的取值范围为.故答案为：4．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．【答案】．【解析】根据D为AB的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足,则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则.6．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】4【解析】以A 坐标原点,AB,AD 所在直线为,y 轴建立直角坐标系,设所以AP AQ ⋅因为,所以因为,所以因此7．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P是边长为形ABC内切圆上的一点,则PA PB⋅的取值范围为_______.-【答案】[]3,1【解析】以正三角形ABC的中心为原点,以AB边上的高为y轴建立坐标系,则,正三角形ABC内切圆的方程为221+=,所以可设,则x y,-.8．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为A B C D四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B的位置所图所示, 1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,则AB CD⋅的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD⋅取最大值时,即AB CD⋅9．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________．【解析】∴2a xb -的最小值为.10．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________． 【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<, 故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时,则：,当且仅当时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 11．已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是 ． 【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：,而,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-12．在ABC ∆中, ,则角A 的最大值为_________.【答案】6π 【解析】试题分析由题设可得,即,也即,故,由于,因此,故,所以,所以6max π=A ,应填答案6π. 13．在平面内,定点,,,A B C D 满足,动点,P M 满足,则BM 的最大值是__________.【答案】1 【解析】 试题分析设,则.由题设可知,且.建立如图所示的平面直角坐标系,则,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案1.14．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC ,CD 上运动（包括端点,且满足,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为,y 轴建立直角坐标系,则,设,因为,所以33xb -=,则,故,所以,故填[1,9].15.在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若,则x 的取值范围是__________．【答案】()2,0- 【解析】 因为,因为12BC CD =,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈, 因为,所以()2,0x ∈-.16．已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅,即,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．17．在ABC ∆中,已知AB =3C π=,则CA CB ⋅uu r uu r的最大值为 .【答案】32【解析】,由余弦定理得：,所以32C A C B ⋅≤uu r uu r ,当且仅当a b =时取等号18．已知△ABC 中,4AB =,2AC =,（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是 ． 【答案】94-【解析】令()f λ＝＝216λ＋24(22)λ-＋＝,当cos 0A =时,()f λ＝,因为2>,所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当c o s 0A ≠时,()f λ＝＋1cos ]2A+≥,解得1c o s 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以P B P C⋅＝＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。