古典概型与几何概型考点与题型归纳

第15讲拉普拉斯试验—古典概型与几何概型学习目标1.掌握古典概型和几何概型的定义及性质2.掌握古典概型和几何概型的常见题型入门测单选题练习1.在区间[1，10]上任取一个实数x，则2x≤8的概率为（）A．B．C．D．练习2.在庆祝“东北育才70年华诞”活动中，某班级学生画了6幅国画作品为校庆献礼，分别为人物、山水，花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）A．B．C．D．练习3.同时抛掷两枚骰子，朝上的点数之和为奇数的概率是（）A．B．C．D．情景导入古典概型也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯(Laplace)提出的。

如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。

在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。

古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。

知识精讲古典概型知识讲解1．等可能事件和等可能事件的概率【知识点的认识】等可能事件：如果一个事件中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，这种事件叫等可能事件．比方说买彩票，那么你每买一张彩票，在没看之前它们中奖的概率是相等的，也就是说每张彩票中奖的概率是等可能事件．2．古典概型及其概率计算公式【考点归纳】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．【解题技巧】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．3．列举法计算基本事件数及事件发生的概率【知识点的知识】1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝．等可能条件下概率的特征：（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；（2）每一个结果出现的可能性相等．2、概率的计算方法：（1）列举法（列表或画树状图），（2）公式法；列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．列表法（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．（2）列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．树状图法（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．（2）运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．例题精讲古典概型例1.从集合A={1，3，5，7，9}，集合B={2，4，6，8}中各取一个数，那么这两个数之和能被3整除的概率是（）A．B．C．D．例2.若定义形如“132”这样中间大于两边的数叫凸数，现从用2、3、7三个数组成没有重复数字的三位数中任取一个，则该数为凸数的概率为（）A．B．C．D．例3.2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）A．B．C．D．几何概型知识讲解1．几何概型1．定义：若一个试验具有下列特征：（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）＝称为事件A的几何概率．例题精讲几何概型例1.设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）<1的概率为（）A．B．C．D．例2.一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，如图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为（）A．2B．3C．4D．5例3.'已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），求当x，y∈R时，P满足（x-2）2+（y-2）2≤4的概率．'当堂练习单选题练习1.已知正数a，b均小于2，若a、b、2能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形的三条边长的概率是（）A．B．C．D．练习2.利用Excel产生两组[0，1]之间的均匀随机数：a=rand（），b=rand（）：若产生了2019个样本点（a，b），则落在曲线y=1、y=和x=0所围成的封闭图形内的样本点个数估计为（）A．673B．505C．1346D．1515练习3.如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．练习4.在区间[0，π]上随机取一个数x，使得sin x的概率为（）A．B．C．D．练习5.一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为．若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域的概率为（）A．B．C．D．练习6.在区间[-，]上随机取一个数x，cos x的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．练习7.已知圆C：x2+y2-2x=0，在圆C中任取一点P，则点P的横坐标小于1的概率为（）A．B．C．D．以上都不对填空题练习1.某三位数密码锁，每位数字在0-9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是__．练习2.随机选取集合{地铁5号线，BRT，莘南线}的非空子集A和B且A∩B≠∅的概率是__．练习3.连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量=（m，n），则与=（1，-1）的夹角成为直角三角形内角的概率是__．解答题练习1.'一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球．如果不放回的依次取出2个球．回答下列问题：（Ⅰ）第一次取出的是黑球的概率；（Ⅱ）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；（Ⅲ）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．'练习2.'为了纪念五四运动100周年和建团97周年，某校团委开展“青春心向党，建功新时代”知识问答竞赛．在小组赛中，甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行比赛，另1人当裁判，每一局的输方担任下局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，甲、乙、丙3人实力相当．（Ⅰ）若第1局是由甲担任裁判，求第4局后仍是甲担任裁判的概率（Ⅱ）甲、乙、丙3人进行的擂台赛结束后，经统计，甲共参赛了6局，乙共参赛了5局，而丙共担任了2局裁判则甲、乙、丙3人进行的擂台赛共进行了多少局？若从小组赛中，甲、乙、丙比赛的所有场次中任取2场，则均是由甲担任裁判的概率是多少？'练习3.'为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2014年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，并且进入“电影社的概率小于进入“心理社的概率（Ⅰ）求该同学分别通过选拔进入“电影社的概率p1和进入“心理社的概率p2；（Ⅱ）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社的同学增加0.5个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率．'练习4.'某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理，化学，生物，历史，地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量ξ=，求P（ξ=2）．'练习5.'某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品．已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为．若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销．'练习6.'在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．（Ⅲ）若规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由．'出门测单选题练习1.若，则tan2α>1的概率为（）A．B．C．D．练习2.在区间[-1，4]内随机取一个实数a，使得关于x的方程x2+4x+2a=0有实数根的概率为（）A．B．C．D．练习3.若连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y2=15内的概率为（）A．B．C．D．练习4.已知100件产品中有3件次品，现不放回地随机抽取2次，每次抽取1件，若第1次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率是（）A．B．C．D．。

高考总复习：古典概型与几何概型【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。

2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。

（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。

3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。

如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即n m A P =)(。

所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）应用公式()m P A n=求值。

5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。

利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。

知识点二、几何概型1. 定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。

满足以上条件的试验称为几何概型。

2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。

3.几何概型的概率计算公式：随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。

所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：Ω=μμA A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。

第八讲古典概型和几何概型唐僧师徒四人走在无边无际的沙漠上，他们又饿又累，猪八戒想：如果有一顿美餐该有多好啊！孙悟空可没有八戒那么贪心，悟空只想喝一杯水就够了。

孙悟空想着想着，眼前就出现了一户人家，门口的桌上正好放了一杯牛奶，孙悟空连忙上前，准备把这杯牛奶喝了，可主人家却说：“大圣且慢，如果您想喝这杯奶就必须回答对一道数学题。

”孙悟空想，不就一道数学题吗，难不倒俺老孙。

孙悟空就答应了。

那位主人家出题：倒了一杯牛奶，你先喝了1/2加满水，再喝1/3，又加满水，最后把这杯饮料全喝下，问你喝的牛奶和水哪个多些？为什么？一．自主归纳，自我查验1.自主归纳①．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是________的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成______________的和．②．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件______________．(2)每个基本事件出现的可能性________．③．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是______；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝______.④．古典概型的概率公式P(A)＝________________________.⑤．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________(________或________)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为____________．⑥．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝________________________________________________________________.⑦．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．⑧．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．⑨．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．2.自我查验①．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________． ②．(2011·课标全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )A.13B.12C.23D.34 ③．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是( )A.23B.14C.25D.15④．(2011·福建)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取 一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23⑤．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为( )A.22 B.22π C.16D.16π二．典型例题题型一 基本事件和古典概型例题1：盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数； (2)从中一次任取出2只，求2只都是正品的概率变式训练1：甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率题型二古典概型综合例题2：(2011·福建)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．变式训练2：(2010·陕西)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．题型三几何概型综合例题3：设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．变式训练3：如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．思想与方法归纳例题：甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．审题视角：(1)考虑甲、乙两人分别到达某处的时间．在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x，y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间．(2)两人能会面的时间必须满足：|x－y|≤15.这就将问题化归为几何概型问题．解：高分跨越1.(2011·承德模拟)如图所示，在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．2.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．应用体验1．(2011·南阳调研)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.14B.13C.427D.4152．(2011·福建)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.233.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14 4．(2010·湖南)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．5．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________． 复习与巩固A 组一、选择题1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.152．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5，5]，使f (x 0)≤0的概率是( )A ．1 B.23 C.310 D.253．(2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B.19C.536D.164．蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.427B.19C.49D.127二、填空题5．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．6．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．三、解答题7．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．8．抛掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标．(1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随 机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．B 组一、选择题1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 ( )A.12B.13C.23D ．1 2．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是 ( )A.1225B.1325C.1625D.17253．在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为( )A.15B.12C.23D.454．已知区域Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤10，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x －y ≥0，x ≤5，y ≥0}，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率P (A )＝________.二、填空题5．如图在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点．在A 、P 、M 、C 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F.设G 为满足向量=+的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为 .6．如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，则过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．三、解答题7．在3件产品中，有2件正品，记为a 1，a 2，有1件次品，记为b 1，从中任取2件，每次取1件产品．(1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取出后再放回，求两次取出的产品中恰有一次是次品的概率．8．设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．C 组一、选择题 1．(2009·辽宁)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 2．(2011·天津和平区模拟)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.233．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12f (－1)≤3的事件为A ，则事件A 的概率为( )A.58B.12C.38D.144．(2011·滨州模拟)在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )A.π2B.π8C.π6D.π4 二、填空题5．如图所示，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．6．(2011·济南模拟)在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．三、解答题7．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．8．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．答案：1.自主归纳①．(1)互斥 (2)基本事件②．(1)只有有限个 (2)相等③.1n mn ④.A 包含的基本事件的个数基本事件的总数⑤．长度 面积 体积 几何概型⑥.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)2.自我查验①.25 ②.A ③.C ④．C ⑤．D 例题1(1)将灯泡中2只正品记为a 1，a 2,1只次品记为b 1，则第一次取1只，第二次取1只，基本事件总数为9个， a 1a 1b 1a 2 a 2a 1b 1a 2 b 1a 1b 1a 2①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a 1，a 1)(a 1，a 2)(a 2，a 1)(a 2，a 2)共4个基本事件；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a 1，b 1)(a 2，b 1)(b 1，a 1)(b 1，a 2)共4个基本事件．(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即a 1a 2，a 1b 1，a 2b 1，“2只都是正品”的基本事件数是1，所以其概率为P ＝13.变式训练1(1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果为：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25.例题2(1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c ＝220＝0.1.从而a ＝0.35－b －c ＝0.1， 所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.(2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}． 设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个． 又基本事件的总数为10，故所求的概率P (A )＝410＝0.4.变式训练2(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率p ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥. 从上述6人中任选2人的树状图为：故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2=915=35. 例题3设事件A 为“方程x2+2ax+b2=0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a ≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b}， 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.变式训练3∵∠B ＝60°，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝75°， 在Rt △ADB 中，AD ＝3，∠B ＝60°，∴BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式得P (N )＝30°75°＝25.思想与方法归纳 规范解答解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是 |x-y|≤15. 在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示． 由几何概型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716. 所以，两人能会面的概率是716.高分跨越：1.解 在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝{在∠ACB 内部作出一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM<AC}，则μΩ＝90°，μA ＝67.5°，P(A)＝μA μΩ＝67.5°90°＝34.2.解 设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x ≤24,0≤y ≤24且y －x ≥4或y －x ≤－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或y －x ≤－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P(A)＝S 阴影部分S 正方形＝2×12×20×2024×24＝2536.应用体验：1．A [∵AM 2∈[36,81]，∴AM ∈[6,9]，∴P ＝9－612＝312＝14.]2．C [这是一道几何概型的概率问题，点Q 取自△ABE 内部的概率为S △ABES 矩形ABCD ＝12·|AB|·|AD||AB|·|AD|＝12.故选C .] 3．C [当∠A ′OA ＝π3时，AA ′＝OA ，∴P ＝23π2π＝13.]4.23解析 由|x|≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.5.1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×(12)2π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×(14)2π×12＝116，∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316. 复习与巩固： A 组1．D 2.C 3.D 4.D 5.34 6.357．解 (1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A ，事件A 包含的基本事件为：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，即事件A 包含的基本事件数为3，由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为P (A )＝38.8．解 (1)以0、2、4为横、纵坐标的点P 共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C 内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个， ∴所求概率为P=49. (2)∵区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π，∴所求概率为P ＝410π＝25π.B 组1．C 2．D 3.D 4.14 5.34 6．1－327．解 (1)取后不放回，所有可能结果组成的基本事件为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，取出的两件中，恰有一件次品的事件包括：(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，所以P (A )＝46＝23.(2)每次取后放回，所有可能结果为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(a 1，a 1)，(a 2，a 2)，(b 1，b 1)，两件中恰好只有一件是次品的事件B 包括：(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，所以P (B )＝49.8．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为 ⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <60<y <60<x ＋y <6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >6－x －y x ＋6－x －y >y y ＋6－x －y >x，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3y <3x <3，所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.C 组1．B [当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝μA μΩ＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.]2．C [由于△ABC 、△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，即构成一个几何概型，∴所求的概率为|AE||AB|＝34.]3．A [满足0≤b ≤4,0≤c ≤4的区域的面积为4×4＝16， 由⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12f (－1)≤3， 得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8－b ＋c ≤2，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为12×(2＋4)×2＋12×2×4＝10，故事件A 的概率为1016＝58.]4．D [区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为P ＝S 半圆S △ABC ＝π212×22×2＝π4.]5.7781解析 由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上， 圆环的面积为π×92－π×22＝77π，故所求概率为77π81π＝7781.6.π4解析 根据题意易知输出数对(x ，y)的概率即为满足x 2＋y 2≤12的平面区域与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1所表示的平面区域面积的比，即P(A)＝π×122＝π4.7．解 (1)设CM ＝x ， 则0<x<a(不妨设BC ＝a)．若∠CAM<30°，则0<x<33a ，故∠CAM<30°的概率为P(A)＝区间⎝⎛⎭⎫0，33a 的角度区间(0，a )的角度＝33.(6分)(2)设∠CAM ＝θ，则0°<θ<45°. 若∠CAM<30°，则0°<θ<30°， 故∠CAM<30°的概率为P(B)＝区间(0°，30°)的长度区间(0°，45°)的长度＝23.(12分)8．解 (1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25(个)．(2分)函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b. 因为事件“a 2≥4b ”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝1225.(7分)(2)∵a ，b 都是从区间[0,4]任取的一个数，f(1)＝－1＋a －b>0，∴a －b>1，此为几何概型，所以事件“f(1)>0”的概率为P ＝12×3×34×4＝932.(14分)。

专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12【变式探究】(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．【举一反三】(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．ⅰ试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；ⅰ设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 高频考点二 综合考查古典概型与其他知识【例2】（2020·河南省焦作模拟）从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )A.16B.13C.14D.12【变式探究】（2020·黑龙江省大庆模拟）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为 ．【举一反三】（2020·江苏省宿迁模拟）已知a ＝log 0.55，b ＝log 32，c ＝20.3，d ＝⎝⎛⎭⎫122，从这四个数中任取一个数m ，使函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋x ＋2有极值点的概率为( )A.14B.12C.34D ．1高频考点三 与长度、角度有关的几何概型【例3】（2020·浙江省舟山模拟）在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16 B.13 C.23D.45【方法技巧】长度、角度等测度的区分方法(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．【变式探究】（2020·安徽省芜湖模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在ⅰDAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为 ．高频考点四 与体积有关的几何概型【例4】（2020·江西省南昌模拟）在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π 【方法技巧】与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积，求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积．【变式探究】（2020·广东省江门模拟）在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ．高频考点五 与面积有关的几何概型【例5】（2020·山东省淄博模拟）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.14B.18C.38D.316【变式探究】（2020·山东省滨州模拟）已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，2x ＋y －4≤0，x ≥0表示的平面区域为M ，在区域M 内随机取一点N (x 0，y 0)，则3x 0－y 0－2≤0的概率为( )A.56B.34C.35D.13【举一反三】（2020·陕西省宝鸡模拟）在区间(0,2)内随机取一个实数a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥0，x －a ≤0的点(x ，y )构成区域的面积大于1的概率是( )A.18B.14C.12D.34专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【答案】13，1 【解析】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率． 【解析】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6ⅰ9ⅰ10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人． (2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．(ⅰ)由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝1115.【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13 D.12【答案】(1)B (2)D【解析】(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D 。