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14年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结

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~ 1 ~ 2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结

2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结 知识点梳理： 1. 椭圆定义： 第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a?|F2F2|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为椭圆 ; ; 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹不存在; 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为 以F1、F2为端点的线段 椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0?e?1)的点的轨迹为椭圆 . 2.椭圆的方程与几何性质: y2x2x2y2标准方程 ??1(a?b?0) ??1(a?b?0)a2b2a2b2 性

质 参数关系 焦点 焦距 范围 顶点 对称性 离心率 a2?b2?c2 (c,0),(?c,0) ================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============

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~ 2 ~ (0,c),(0,?c) 2c |x|?a,|y|?b

(?a,0),(a,0),(0,?b),(0,b) |y|?a,|x|?b

(0,?a),(0,a),(?b,0),(b,0) 关于x轴、y轴和原点对称 ce??(0,1) a准线 a2x?? ca2y??

c 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ]

椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 A．4a B．2(a－c)

C．2(a+c) D．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况:

(1)A?C?A,此时小球经过的路程为2(a－c); (2)A?B?D?B?A, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A?P?B?Q?A此时小球经过的路程为4a,故选D 总结：考虑小球的运行路径要全面 练习 2的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============

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~ 3 ~ 于A、B3两点，则△ABF2的周长为

[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12 C A O y P D B x Q 1.短轴长为5，离心率e?x2y2??1上的一点，M,N分别为圆(x?3)2?y2?1和圆2.已知P为椭圆 2516(x?3)2?y2?4上的点，则PM?PN的最小值为 A． 5

B． 7 C ．13 D． 15

|PC|?|PD|?10，PM?PN的最[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，?小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程.

【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来

x2y2x2y2[解析]设椭圆的方程为2?2?1或2?2?1(a?b?0)， abbab?c??则?a?c?4(2?1)， ?a2?b2?c2?x2y2x2y2?1或??1. 解之得：a?42，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为?32161632总结：准确把握================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============

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~ 4 ~ 图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系． ［警示］易漏焦点在y轴上的情况． 练习： 3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

x2y22[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1.

焦点在y轴上，则>2，即k 22kk又k>0，∴0 4.已知方程x2cos??y2sin??1,??(0,?),讨论方程表示的曲线的形状 ?[解析]当??(0,)时，sin??cos?，方程表示焦点在y轴上的椭圆， 4?当??时，sin??cos?，方程表示圆心在原点的圆， 4??当??(,)时，sin??cos?，方程表示焦点在x轴上的椭圆 425. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦 点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.

2??a?c?3x2yx2y2?a?23??[解析] ?，?b?3，所求方程为+=1或+=1.

129129??a?2c?c?3 考点2 椭圆的几何性质 题型1:求椭圆的离心================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============

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~ 5 ~ 率 [例3 ] 在△ABC中，?A?300,|AB|?2,S?ABC?3．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e? ． 【解题思路】条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析]

S?ABC?1|AB|?|AC|sinA?3， 2?|AC|?23，|BC|?|AB|2?|AC|2?2|AB|?|AC|cosA?2

e?|AB|23?1 ??|AC|?|BC|23?22总结：

离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定 只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率 “焦点三角形”应给予足够关注 练习

6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 1532

A. B. C. D. 2422[解析]选B x2y2?1的离心7.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆?mn率为 ?2n?2m?n?m?2x2y22?22?1的离心率为[解析]?n?mn??，椭圆? ================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============

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~ 6 ~ mn2?n?4?mn?0?题型2:椭圆的其他几何性质的运用 x2y2?1,求x2?y2?x的最大值与最小值 [例4 ] 已知实数x,y满足?42【解题思路】 把x2?y2?x看作x的函数 1x2y2?1得y2?2?x2, [解析] ?242?2?12x?0??2?x?2

2113?x2?y2?x?x2?x?2?(x?1)2?,x?[?2,2]

2223当x?1时,x2?y2?x取得最小值,当x??2时,x2?y2?x取得最大值6 2练习 x2y29.已知点A,B是椭圆2?2?1上两点,且AO??BO,则?= mn

[解析] AO??BO知点A,O,B共线,因椭圆关于原点对称,????1 x2y210.如图，把椭圆??1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭 2516圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点 则

________________

PF?P?P12F?PF34F?P5F?P6F?P7F?［解析］椭圆的对称性知：

P1F?P7F?P2F?P6F?P3F?P5F?2a?35 ． 考点3 椭圆的最值问题 x2y2??1上的================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============

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~ 7 ~ 点到直线l:x?y?9?0的距离的最小值为[例5 ]椭圆

169___________． 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点P,设P(4cos?,3sin?). 那么点P到直线l的距离为：

|4cos??3sin??12|12?12?2|5sin(???)?9|?22.

2总结： 也可以直接设点P(x,y)，用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键是要具有“函数思想”

练习： x2y2?1的内接矩形的面积的最大值为 11.椭圆?169[解析]设内接矩形的一个顶点为(4cos?,3sin?)， 矩形的面积S?48sin?cos??24sin2??24

x2y212. P是椭圆2?2?1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，求|PF1|?|PF2|的

ab最大值与最小值

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我的高考椭圆知识点总结

我的高考椭圆知识点总结

椭圆知识点

一、椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；

若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形.

二、椭圆的标准方程

1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac

2．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；

注：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(ba和222bac；

3．椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c，)0,(c；

当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c，),0(c

三、椭圆的简单几何性质

椭圆：12222byax)0(ba的简单几何性质

（1）对称性：对于椭圆标准方程12222byax)0(ba说明：把x换成x、或把y换成y、或把x、

y同时换成x、y、原方程都不变，所以椭圆12222byax是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范 围：椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。

（3）顶 点：① 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ② 椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为

)0,(1aA，)0,(2aA，),0(1bB，),0(2bB

③ 线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221,bBB221。

高考数学 专题06 椭圆解题技法(解析版)

高考数学 专题06 椭圆解题技法(解析版)

1 专题06椭圆解题技法

一．【学习目标】

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．

2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归．

3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用．

二．【知识要点】

1．椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

2．椭圆的标准方程

(1) ______________ (a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝_____________．

(2)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，焦点___________________，其中c＝_____________．

3．椭圆的几何性质以x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)为例

(1)范围：________________．

(2)对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：O(0，0)．

(3)顶点：长轴端点：A1(－a，0)，A2(a，0)，短轴端点：B1(0，－b)，B2(0，b)；长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，焦距|F1F2|＝2c.

(4)离心率e＝_______，0

(5)a，b，c的关系：c2＝a2－b2或a2＝c2＋b2.

三．【题型总结】

（一）椭圆的定义应用

（二）焦点三角形的应用

（三）椭圆的几何意义与离心率

（四）椭圆与圆的综合

（五）向量的几何意义与椭圆

（六）向量的数量积与椭圆综合

（七）椭圆中的反射

（八）椭圆的应用问题

（九）轨迹的求法

四．【题型方法】

（一）椭圆的定义应用

例1．曲线方程2222+4)+4)10xyxy（（的化简结果为（ ）

A.2212516xy B.2212516yx C.221259xy D.221259yx

2 【答案】D

【解析】曲线方程2222+4+410xyxy，

高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结

高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结

椭圆的定义、性质及标准方程

高三数学备课组 刘岩老师

1. 椭圆的定义：

⑴第一定义：平面内与两个定点12FF、的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)10(ee，则动点M的轨迹叫做椭圆。

定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段12FF。

②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。

2.

椭圆的标准方程、图形及几何性质：

标准方程 )0(12222babyax中心在原点，焦点在x轴上 )0(12222babxay

中心在原点，焦点在y轴上

图形

范围 xayb， xbya，

顶点 12120000AaAaBbBb，、，，、， 12120000AaAaBbBb，、，，、，

对称轴 x轴、y轴；

长轴长2a，短轴长2b；

焦点在长轴上 x轴、y轴；

长轴长2a，短轴长2b；

焦点在长轴上

焦点 1200FcFc，、， 1200FcFc，、，

焦距 )0(221ccFF )0(221ccFF

离心率 )10(eace )10(eace

准线 2axc 2ayc 参数方程与普通方程 22221xyab的参数方程为

cossinxayb为参数

22221yxab的参数方程为

cossinyaxb为参数

3. 焦半径公式：

椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设12FF、分别是椭圆的左、右焦点，00Pxy，是椭圆上任一点，则10PFaex，20PFaex。

推导过程：由第二定义得11PFed（1d为点P到左准线的距离），

2014北京高考数学圆锥曲线及解题技巧

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椭圆与双曲线的性质

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.

6. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.

7. 椭圆22221xyab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.

8. 椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式：

10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc , 2(,0)Fc00(,)Mxy).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka，

即0202yaxbKAB。

12. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.

13. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.